En matemáticas, un grupo de Lie simple es un grupo de Lie G no abeliano conectado que no tiene subgrupos normales conectados no triviales . La lista de grupos de Lie simples se puede utilizar para leer la lista de álgebras de Lie simples y espacios simétricos de Riemann .
Junto con el grupo de Lie conmutativo de los números reales, y el de los números complejos de magnitud unitaria, U(1) (el círculo unitario), los grupos de Lie simples dan los "bloques" atómicos que componen todos (de dimensión finita) grupos de Lie conectados mediante la operación de extensión de grupo . Muchos grupos de Lie que se encuentran comúnmente son simples o "cercanos" a ser simples: por ejemplo, el llamado " grupo lineal especial " SL( n ) de n por n matrices con determinante igual a 1 es simple para todo n > 1.
La primera clasificación de grupos de Lie simples fue realizada por Wilhelm Killing , y este trabajo fue perfeccionado posteriormente por Élie Cartan . La clasificación final a menudo se conoce como clasificación de Killing-Cartan.
Desafortunadamente, no existe una definición universalmente aceptada de grupo de Lie simple. En particular, no siempre se define como un grupo de Lie que sea tan simple como un grupo abstracto. Los autores difieren sobre si un grupo de Lie simple debe estar conectado, si se permite tener un centro no trivial, o si es un grupo de Lie simple.
La definición más común es que un grupo de Lie es simple si es conexo, no abeliano, y cada subgrupo normal cerrado y conexo es la identidad o el grupo completo. En particular, a los grupos simples se les permite tener un centro no trivial, pero no es simple.
En este artículo se enumeran los grupos de Lie simples conectados con centro trivial. Una vez que se conocen, los que tienen un centro no trivial son fáciles de enumerar de la siguiente manera. Cualquier grupo de Lie simple con centro trivial tiene una cobertura universal , cuyo centro es el grupo fundamental del grupo de Lie simple. Los correspondientes grupos de Lie simples con centro no trivial se pueden obtener como cocientes de esta cobertura universal por un subgrupo del centro.
Una definición equivalente de un grupo de Lie simple se desprende de la correspondencia de Lie : Un grupo de Lie conectado es simple si su álgebra de Lie es simple . Un punto técnico importante es que un grupo de Lie simple puede contener subgrupos normales discretos . Por esta razón, la definición de un grupo de Lie simple no es equivalente a la definición de un grupo de Lie que es simple como grupo abstracto .
Los grupos de Lie simples incluyen muchos grupos de Lie clásicos , que proporcionan un fundamento teórico de grupo para la geometría esférica , la geometría proyectiva y geometrías relacionadas en el sentido del programa Erlangen de Felix Klein . Durante la clasificación de grupos de Lie simples se demostró que también existen varias posibilidades excepcionales que no corresponden a ninguna geometría conocida. Estos grupos excepcionales representan muchos ejemplos y configuraciones especiales en otras ramas de las matemáticas, así como en la física teórica contemporánea .
Como contraejemplo, el grupo lineal general no es simple ni semisimple . Esto se debe a que los múltiplos de la identidad forman un subgrupo normal no trivial, evadiendo así la definición. De manera equivalente, el álgebra de Lie correspondiente tiene una forma Killing degenerada , porque los múltiplos de la identidad se asignan al elemento cero del álgebra. Por tanto, el álgebra de Lie correspondiente tampoco es simple ni semisimple. Otro contraejemplo son los grupos ortogonales especiales en dimensión par. Estos tienen la matriz en el centro , y este elemento está conectado por ruta al elemento de identidad, por lo que estos grupos evaden la definición. Ambos son grupos reductivos .
El álgebra de Lie de un grupo de Lie simple es un álgebra de Lie simple. Esta es una correspondencia uno a uno entre grupos de Lie simples conectados con centro trivial y álgebras de Lie simples de dimensión mayor que 1. (Los autores difieren sobre si el álgebra de Lie unidimensional debe contarse como simple).
Sobre los números complejos las álgebras de Lie semisimples se clasifican mediante sus diagramas de Dynkin , de tipo "ABCDEFG". Si L es un álgebra de Lie simple real, su complejización es un álgebra de Lie compleja simple, a menos que L ya sea la complejización de un álgebra de Lie, en cuyo caso la complejización de L es un producto de dos copias de L. Esto reduce el problema de clasificar las álgebras de Lie simples reales al de encontrar todas las formas reales de cada álgebra de Lie simple compleja (es decir, álgebras de Lie reales cuya complejización es el álgebra de Lie compleja dada). Siempre hay al menos dos formas de este tipo: una forma dividida y una forma compacta, y normalmente hay algunas más. Las diferentes formas reales corresponden a las clases de automorfismos de orden como máximo 2 del álgebra de Lie compleja.
Los espacios simétricos se clasifican de la siguiente manera.
Primero, la cobertura universal de un espacio simétrico sigue siendo simétrica, por lo que podemos reducirla al caso de espacios simétricos simplemente conexos. (Por ejemplo, la cobertura universal de un plano proyectivo real es una esfera).
En segundo lugar, el producto de espacios simétricos es simétrico, por lo que también podemos clasificar los irreducibles simplemente conexos (donde irreducible significa que no pueden escribirse como un producto de espacios simétricos más pequeños).
Los espacios simétricos simplemente conexos irreducibles son la recta real, y exactamente dos espacios simétricos corresponden a cada grupo de Lie simple no compacto G , uno compacto y otro no compacto. El no compacto es una cobertura del cociente de G por un subgrupo compacto máximo H , y el compacto es una cobertura del cociente de la forma compacta de G por el mismo subgrupo H . Esta dualidad entre espacios simétricos compactos y no compactos es una generalización de la bien conocida dualidad entre geometría esférica e hiperbólica.
Un espacio simétrico con una estructura compleja compatible se llama hermitiano. Los espacios simétricos hermitianos irreducibles, compactos y simplemente conectados se dividen en 4 familias infinitas con 2 excepcionales sobrantes, y cada uno tiene un dual no compacto. Además el plano complejo es también un espacio simétrico hermitiano; esto proporciona la lista completa de espacios simétricos hermitianos irreducibles.
Las cuatro familias son los tipos A III, B I y D I para p = 2 , D III y C I, y las dos excepcionales son los tipos E III y E VII de dimensiones complejas 16 y 27.
representan los números reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones .
En símbolos como E 6 −26 para los grupos excepcionales, el exponente −26 es la firma de una forma bilineal simétrica invariante que es definida negativa en el subgrupo compacto máximo. Es igual a la dimensión del grupo menos el doble de la dimensión de un subgrupo compacto máximo.
El grupo fundamental que figura en la siguiente tabla es el grupo fundamental del grupo simple con centro trivial. Otros grupos simples con la misma álgebra de Lie corresponden a subgrupos de este grupo fundamental (módulo la acción del grupo de automorfismo externo).
Los grupos de Mentira Simple están completamente clasificados. La clasificación suele plantearse en varios pasos, a saber:
Se puede demostrar que el grupo fundamental de cualquier grupo de Lie es un grupo conmutativo discreto . Dado un subgrupo (no trivial) del grupo fundamental de algún grupo de Lie , se puede utilizar la teoría de cubrir espacios para construir un nuevo grupo con su centro. Ahora se puede obtener cualquier grupo de Lie (real o complejo) aplicando esta construcción a grupos de Lie sin centros. Tenga en cuenta que los grupos de Lie reales obtenidos de esta manera pueden no ser formas reales de ningún grupo complejo. Un ejemplo muy importante de un grupo tan real es el grupo metapléctico , que aparece en la teoría y la física de la representación de dimensión infinita. Cuando se toma el grupo fundamental completo, el grupo de Lie resultante es la cobertura universal del grupo de Lie sin centros y está simplemente conexo. En particular, cada álgebra de Lie (real o compleja) también corresponde a un grupo de Lie único conectado y simplemente conectado con ese álgebra de Lie, llamado "grupo de Lie simplemente conectado" asociado a
Cada álgebra de Lie compleja simple tiene una forma real única cuyo correspondiente grupo de Lie sin centros es compacto . Resulta que el grupo de Lie simplemente conexo en estos casos también es compacto. Los grupos de mentira compacta tienen una teoría de representación particularmente manejable debido al teorema de Peter-Weyl . Al igual que las álgebras de Lie complejas simples, los grupos de Lie compactos sin centros se clasifican mediante diagramas de Dynkin (clasificados por primera vez por Wilhelm Killing y Élie Cartan ).
Para la serie infinita (A, B, C, D) de diagramas de Dynkin, un grupo de Lie compacto conectado asociado a cada diagrama de Dynkin se puede describir explícitamente como un grupo matricial, con el correspondiente grupo de Lie compacto sin centros descrito como el cociente de un subgrupo. de matrices escalares. Para aquellos de tipo A y C podemos encontrar representaciones matriciales explícitas del correspondiente grupo de Lie simplemente conectado como grupos matriciales.
A r tiene como grupo compacto simplemente conectado asociado el grupo unitario especial , SU ( r + 1) y como grupo compacto sin centros asociado el grupo unitario proyectivo PU ( r + 1) .
Br tiene como grupos compactos sin centros asociados los grupos ortogonales especiales impares , SO ( 2r + 1) . Sin embargo, este grupo no está simplemente conectado: su cubierta universal (doble) es el grupo de giro .
C r tiene como grupo asociado simplemente conexo el grupo de matrices simplécticas unitarias , Sp( r ) y como grupo sin centros asociado el grupo de Lie PSp( r ) = Sp( r )/{I, −I} de matrices simplécticas unitarias proyectivas . Los grupos simplécticos tienen una doble cobertura por parte del grupo metapléctico .
D r tiene como grupo compacto asociado los grupos ortogonales especiales pares , SO(2 r ) y como grupo compacto sin centros asociado el grupo ortogonal especial proyectivo PSO(2 r ) = SO(2 r )/{I, −I}. Como ocurre con la serie B, SO(2 r ) no está simplemente conexo; su cubierta universal es nuevamente el grupo de hilatura , pero este último también tiene un centro (cf. su artículo).
El diagrama D 2 son dos nodos aislados, igual que A 1 ∪ A 1 , y esta coincidencia corresponde al homomorfismo del mapa de cobertura de SU(2) × SU(2) a SO(4) dado por la multiplicación de cuaterniones ; ver cuaterniones y rotación espacial . Por tanto, SO (4) no es un grupo simple. Además, el diagrama D 3 es el mismo que A 3 , correspondiente a un homomorfismo de mapa de cobertura de SU(4) a SO(6).
Además de las cuatro familias A i , B i , C i y Di anteriores , existen cinco diagramas de Dynkin llamados excepcionales G 2 , F 4 , E 6 , E 7 y E 8 ; Estos diagramas Dynkin excepcionales también tienen asociados grupos compactos sin centros y simplemente conectados. Sin embargo, los grupos asociados a las familias excepcionales son más difíciles de describir que los asociados a las familias infinitas, en gran medida porque sus descripciones hacen uso de objetos excepcionales . Por ejemplo, el grupo asociado a G 2 es el grupo de automorfismos de los octoniones , y el grupo asociado a F 4 es el grupo de automorfismos de una determinada álgebra de Albert .
Véase también E 7 + 1 ⁄ 2 .
La siguiente tabla enumera algunos grupos de Lie con álgebras de Lie simples de pequeña dimensión. Todos los grupos en una línea dada tienen la misma álgebra de Lie. En el caso de la dimensión 1, los grupos son abelianos y no simples.
Un grupo simplemente entrelazado es un grupo de Lie cuyo diagrama de Dynkin solo contiene enlaces simples y, por lo tanto, todas las raíces distintas de cero del álgebra de Lie correspondiente tienen la misma longitud. Todos los grupos de las series A, D y E están simplemente entrelazados, pero ningún grupo de tipo B, C, F o G está simplemente entrelazado.
