Muchas ramas de las matemáticas estudian objetos de un tipo determinado y prueban un teorema de clasificación . Un tema común es que la clasificación da como resultado una serie de series de objetos y un número finito de excepciones (a menudo con propiedades deseables) que no encajan en ninguna serie. Estos se conocen como objetos excepcionales . En muchos casos, estos objetos excepcionales desempeñan un papel adicional e importante en el tema. Además, los objetos excepcionales de una rama de las matemáticas a menudo se relacionan con los objetos excepcionales de otras. [1] [2] [3]
Un fenómeno relacionado es el isomorfismo excepcional , cuando dos series son en general diferentes, pero coinciden en algunos valores pequeños. Por ejemplo, los grupos de espín en dimensiones bajas son isomorfos a otros grupos de Lie clásicos . [4]
Los ejemplos prototípicos de objetos excepcionales surgen en la clasificación de politopos regulares : en dos dimensiones, hay una serie de n -gónos regulares para n ≥ 3. En cada dimensión por encima de 2, se pueden encontrar análogos del cubo, el tetraedro y el octaedro. En tres dimensiones, se encuentran dos poliedros regulares más: el dodecaedro (edro de 12) y el icosaedro (edro de 20), lo que forma cinco sólidos platónicos . En cuatro dimensiones, existen un total de seis politopos regulares , incluidos el de 120 celdas , el de 600 celdas y el de 24 celdas . No existen otros politopos regulares, ya que los únicos politopos regulares en dimensiones superiores son los de las series hipercubo , simplex y ortoplex . En todas las dimensiones combinadas hay, por tanto, tres series y cinco politopos excepcionales. [5]
Además, el patrón es similar si se incluyen politopos no convexos: en dos dimensiones, hay un polígono estrella regular para cada número racional . [6] En tres dimensiones, hay cuatro poliedros de Kepler-Poinsot , y en cuatro dimensiones, diez policoras de Schläfli-Hess ; en dimensiones superiores, no hay figuras regulares no convexas.
Estos pueden generalizarse a teselados de otros espacios, especialmente teselados uniformes , en particular mosaicos del espacio euclidiano ( panales ), que tienen objetos excepcionales, y mosaicos del espacio hiperbólico. Hay varios objetos excepcionales en dimensiones inferiores a 6, pero en dimensiones 6 y superiores, los únicos poliedros/mosaicos/mosaicos hiperbólicos regulares son la red simplex, hipercubo, politopo cruzado e hipercubo.
Relacionados con los mosaicos y los poliedros regulares, existen excepcionales triángulos de Schwarz (triángulos que recubren la esfera, o más generalmente el plano euclidiano o el plano hiperbólico a través de su grupo triangular de reflejos en sus aristas), en particular los triángulos de Möbius . En la esfera hay 3 triángulos de Möbius (y 1 familia de 1 parámetro), correspondientes a los 3 grupos excepcionales de sólidos platónicos, mientras que en el plano euclidiano hay 3 triángulos de Möbius, correspondientes a los 3 triángulos especiales: 60-60- 60 ( equilátero ), 45-45-90 (isósceles derecha) y 30-60-90 . Hay triángulos de Schwarz excepcionales adicionales en la esfera y el plano euclidiano. Por el contrario, en el plano hiperbólico existe una familia de triángulos de Möbius de 3 parámetros, y ninguno excepcional.
Los grupos finitos simples se han clasificado en varias series y en 26 grupos esporádicos . [7] De estos, 20 son subgrupos o subcocientes del grupo de los monstruos , denominados la "Familia Feliz", mientras que 6 no lo son, y se les denomina " parias ".
Varios de los grupos esporádicos están relacionados con la red Leech , más notablemente el grupo Conway Co 1 , que es el grupo de automorfismo de la red Leech, citado por su centro.
Sólo hay tres álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre los reales: los números reales , los números complejos y los cuaterniones . La única álgebra de división no asociativa es el álgebra de octoniones . Los octoniones están relacionados con una amplia variedad de objetos excepcionales. Por ejemplo, el álgebra de Jordan formalmente real excepcional es el álgebra de Albert de matrices autoadjuntas de 3 por 3 sobre los octoniones.
Los grupos de Lie simples forman una serie de series ( grupos de Lie clásicos ) denominadas A, B, C y D. Además, existen los grupos excepcionales G 2 (el grupo de automorfismo de los octoniones), F 4 , E 6 , E 7. , E 8 . Estos últimos cuatro grupos pueden verse como los grupos de simetría de planos proyectivos sobre O , C ⊗ O , H ⊗ O y O ⊗ O , respectivamente, donde O son los octoniones y los productos tensoriales están sobre los reales.
La clasificación de los grupos de Lie corresponde a la clasificación de los sistemas de raíces y, por tanto, los grupos de Lie excepcionales corresponden a sistemas de raíces excepcionales y diagramas de Dynkin excepcionales .
Hay algunos objetos excepcionales con supersimetría . La clasificación de superálgebras de Kac y Tierry-Mieg indica que las superálgebras de Lie G(3) en 31 dimensiones y F(4) en 40 dimensiones, y las superálgebras de Jordan K 3 y K 10 , son ejemplos de objetos excepcionales. [8] [9]
Hasta la isometría, sólo hay una red unimodular par en 15 dimensiones o menos: la red E 8 . Hasta la dimensión 24 , sólo hay una red par unimodular sin raíces , la red Leech . Conway descubrió tres de los grupos simples esporádicos mientras investigaba el grupo de automorfismo de la red Leech. Por ejemplo, Co 1 es el propio grupo de automorfismo módulo ±1. Los grupos Co 2 y Co 3 , así como otros grupos esporádicos, surgen como estabilizadores de varios subconjuntos de la red Leech.
Algunos códigos también destacan como objetos excepcionales, en particular el código binario perfecto Golay, que está estrechamente relacionado con la red Leech. El grupo Mathieu , uno de los grupos simples esporádicos, es el grupo de automorfismos del código binario extendido de Golay , y cuatro más de los grupos simples esporádicos surgen como varios tipos de subgrupo estabilizador de .
Un diseño de bloques excepcional es el sistema Steiner S(5,8,24) cuyo grupo de automorfismo es el esporádico grupo simple de Mathieu .
Las palabras clave del código Golay binario extendido tienen una longitud de 24 bits y pesos 0, 8, 12, 16 o 24. Este código puede corregir hasta tres errores. Por lo tanto, cada palabra de 24 bits con peso 5 se puede corregir a una palabra de código con peso 8. Se puede considerar que los bits de una palabra de 24 bits especifican los posibles subconjuntos de un conjunto de 24 elementos. Entonces, el código binario extendido de Golay proporciona un subconjunto único de 8 elementos para cada subconjunto de 5 elementos. De hecho, define S(5,8,24).
Ciertas familias de grupos suelen tener un determinado grupo de automorfismos externos , pero en casos particulares, tienen otros automorfismos externos excepcionales.
Entre las familias de grupos finitos simples, el único ejemplo está en los automorfismos de los grupos simétricos y alternos : porque el grupo alterno tiene un automorfismo externo (correspondiente a la conjugación por un elemento impar de ) y el grupo simétrico no tiene automorfismos externos. Sin embargo, existe un automorfismo externo excepcional de (de orden 2) y, en consecuencia, el grupo de automorfismo externo de no es (el grupo de orden 2), sino más bien el grupo de cuatro de Klein . [10] [11] [12]
Si, en cambio, se considera el grupo lineal especial proyectivo (isomorfo) , entonces el automorfismo externo no es excepcional; por lo tanto, se puede considerar que la excepcionalidad se debe al isomorfismo excepcional. Este automorfismo externo excepcional se realiza dentro del grupo Mathieu y, de manera similar, actúa sobre un conjunto de 12 elementos de 2 maneras diferentes.
Entre los grupos de Lie , el grupo de espín tiene un grupo de automorfismo externo excepcionalmente grande (a saber ), que corresponde a las simetrías excepcionales del diagrama de Dynkin . Este fenómeno se conoce como trialidad .
La excepcional simetría del diagrama también da origen a los grupos de Steinberg .
El invariante de Kervaire es un invariante de una variedad dimensional (4 k + 2) que mide si la variedad podría convertirse quirúrgicamente en una esfera. Este invariante se evalúa como 0 si la variedad se puede convertir en una esfera y 1 en caso contrario. Más específicamente, el invariante de Kervaire se aplica a una variedad enmarcada , es decir, a una variedad equipada con una incrustación en el espacio euclidiano y una trivialización del paquete normal . El problema del invariante de Kervaire es el problema de determinar en qué dimensiones el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero. Para variedades diferenciables, esto puede suceder en las dimensiones 2, 6, 14, 30, 62 y posiblemente 126, y en ninguna otra dimensión. El caso final de la dimensión 126 permanece abierto. [13] [14] Estas cinco o seis clases de variedades de cobordismo enmarcadas que tienen el invariante 1 de Kervaire son objetos excepcionales relacionados con esferas exóticas . Los primeros tres casos están relacionados con los números complejos, cuaterniones y octoniones respectivamente: se puede construir una variedad de invariante 1 de Kervaire como producto de dos esferas, con su marco exótico determinado por el álgebra de división normada. [15]
Debido a similitudes de dimensiones, se conjetura que los casos restantes (dimensiones 30, 62 y 126) están relacionados con los planos proyectivos de Rosenfeld , que se definen sobre álgebras construidas a partir de los octoniones. En concreto, se ha conjeturado que existe una construcción que toma estos planos proyectivos y produce una variedad con invariante de Kervaire distinta de cero en dos dimensiones inferiores, pero esto aún no está confirmado. [dieciséis]
En la teoría de la información cuántica , existen estructuras conocidas como SIC-POVM o SIC, que corresponden a conjuntos máximos de líneas equiangulares complejas . Algunos de los SIC conocidos (aquellos en espacios vectoriales de 2 y 3 dimensiones, así como ciertas soluciones en 8 dimensiones) se consideran objetos excepcionales y se denominan "SIC esporádicos". Se diferencian de los otros SIC conocidos en aspectos que involucran sus grupos de simetría, la teoría de Galois de los valores numéricos de sus componentes vectoriales, etc. [17] Los SIC esporádicos en la dimensión 8 están relacionados con los octoniones integrales. [18]
Se han observado numerosas conexiones entre algunos, aunque no todos, de estos objetos excepcionales. Los más comunes son los objetos relacionados con 8 y 24 dimensiones, teniendo en cuenta que 24 = 8 · 3. Por el contrario, los grupos parias se destacan, como su nombre indica.
Los objetos excepcionales relacionados con el número 8 incluyen los siguientes.
Asimismo, entre los objetos excepcionales relacionados con el número 24 se encuentran los siguientes.
Estos objetos están relacionados con otros fenómenos matemáticos que pueden considerarse sorprendentes pero no "excepcionales". Por ejemplo, en topología algebraica , se puede considerar que la periodicidad de Bott real 8 veces proviene de los octoniones. En la teoría de las formas modulares , la naturaleza de 24 dimensiones de la red Leech subyace a la presencia de 24 en las fórmulas para la función eta de Dedekind y el discriminante modular , cuya conexión se profundiza en Monstrous moonshine , un desarrollo que relaciona las funciones modulares con el Grupo de monstruos. [20]
En la teoría de cuerdas y en la teoría de supercuerdas encontramos a menudo que dimensiones particulares se seleccionan como resultado de fenómenos algebraicos excepcionales. Por ejemplo, la teoría de cuerdas bosónicas requiere un espaciotiempo de dimensión 26 que está directamente relacionado con la presencia de 24 en la función eta de Dedekind . De manera similar, las posibles dimensiones de la supergravedad están relacionadas con las dimensiones de las álgebras de división . [21]
Se ha descubierto que muchos de los objetos excepcionales de las matemáticas y la física están conectados entre sí. Desarrollos como las conjeturas de Monstrous Moonshine muestran cómo, por ejemplo, el grupo Monster está relacionado con la teoría de cuerdas . La teoría de formas modulares muestra cómo el álgebra E 8 está relacionada con el grupo Monster. (De hecho, mucho antes de la prueba de la conjetura del Monstrous moonshine, se descubrió que la función j elíptica codifica las representaciones de E 8. [ 2] [22] [23] ) Otras conexiones interesantes incluyen cómo la red Leech está conectada a través de el código Golay a la matriz de adyacencia del dodecaedro (otro objeto excepcional). A continuación se muestra un mapa mental que muestra cómo se relacionan algunos de los objetos excepcionales en matemáticas y física matemática.
Las conexiones pueden explicarse en parte pensando en las álgebras como una torre de álgebras de operadores de vértices de celosía . Da la casualidad de que las álgebras de vértice en la parte inferior son tan simples que son isomorfas a las álgebras familiares que no son de vértice. Por tanto, las conexiones pueden verse simplemente como la consecuencia de que algunas redes sean subredes de otras.
Las superálgebras de Jordan son un conjunto paralelo de objetos excepcionales con supersimetría . Estas son las superálgebras de Lie que están relacionadas con las redes de Lorentz. Este tema está menos explorado y las conexiones entre los objetos están menos establecidas. Hay nuevas conjeturas paralelas a las conjeturas de Monstrous Moonshine para estos superobjetos, que involucran diferentes grupos esporádicos. [ cita necesaria ]
El objeto "excepcional" está reservado para objetos que son inusuales, es decir, raros, la excepción, no para objetos inesperados o no estándar . Estos fenómenos inesperados pero típicos (o comunes) generalmente se denominan patológicos , como funciones no diferenciables en ninguna parte , o "exóticos", como en las esferas exóticas : hay esferas exóticas en dimensiones arbitrariamente altas (no solo un conjunto finito de excepciones). ), y en muchas dimensiones la mayoría de las esferas (estructuras diferenciales en) son exóticas.
Los objetos excepcionales deben distinguirse de los extremos : aquellos que pertenecen a una familia y son el ejemplo más extremo en cierta medida son interesantes, pero no inusuales en la forma en que lo son los objetos excepcionales. Por ejemplo, la proporción áurea φ tiene la aproximación de fracción continua más simple y, en consecuencia, es más difícil de aproximar mediante racionales ; sin embargo, no es más que uno de una infinidad de números cuadráticos (fracciones continuas).
De manera similar, el triángulo de Schwarz (2,3,7) es el triángulo de Schwarz hiperbólico más pequeño, y el grupo de triángulos (2,3,7) asociado es de particular interés, ya que es el grupo de Hurwitz universal y, por lo tanto, está asociado con las curvas de Hurwitz. , las curvas algebraicas de máxima simetría. Sin embargo, pertenece a una familia de triángulos de este tipo ((2,4,7), (2,3,8), (3,3,7), etc.) y, aunque es el más pequeño, no es excepcional ni diferente del otros.
