Invariante de Kervaire

En matemáticas, la invariante de Kervaire es una invariante de una variedad dimensional enmarcada que mide si la variedad podría convertirse quirúrgicamente en una esfera. Este invariante se evalúa como 0 si la variedad se puede convertir en una esfera y 1 en caso contrario. Esta invariante lleva el nombre de Michel Kervaire , quien se basó en el trabajo de Cahit Arf . ${\displaystyle (4k+2)}$

El invariante de Kervaire se define como el invariante Arf de la forma cuadrática sesgada en el grupo de homología de dimensión media . Puede considerarse como el grupo L cuadrático simplemente conexo y, por lo tanto, análogo a los otros invariantes de la teoría L: la firma , un invariante dimensional (ya sea simétrico o cuadrático ), y el invariante de De Rham , a - Invariante simétrico dimensional . ${\displaystyle L_{4k+2}}$ ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle L^{4k}\cong L_{4k}}$ ${\displaystyle (4k+1)}$ ${\displaystyle L^{4k+1}}$

En cualquier dimensión dada, sólo hay dos posibilidades: o todas las variedades tienen el invariante Arf-Kervaire igual a 0, o la mitad tiene el invariante Arf-Kervaire 0 y la otra mitad tiene el invariante Arf-Kervaire 1.

El problema del invariante de Kervaire es el problema de determinar en qué dimensiones el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero. Para variedades diferenciables , esto puede suceder en las dimensiones 2, 6, 14, 30, 62 y posiblemente 126, y en ninguna otra dimensión. El caso final de la dimensión 126 fue resuelto en mayo de 2024 por Weinan Lin, Guozhen Wang y Zhouli Xu.

Definición

El invariante de Kervaire es el invariante Arf de la forma cuadrática determinada por el encuadre en el grupo de homología de coeficientes de dimensión media. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

${\displaystyle q\colon H_{2m+1}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

y por eso a veces se le llama invariante de Arf-Kervaire . La forma cuadrática (propiamente, forma cuadrática sesgada ) es un refinamiento cuadrático de la forma ε-simétrica habitual en la homología de dimensión media de una variedad de dimensión par (sin marco); el encuadre produce el refinamiento cuadrático.

La forma cuadrática q puede definirse mediante topología algebraica utilizando cuadrados funcionales de Steenrod , y geométricamente a través de las autointersecciones de inmersiones determinadas por el encuadre, o por la trivialidad/no trivialidad de los paquetes normales de incrustaciones (para ) y el mod 2. Invariante de Hopf de mapas (para ). ${\displaystyle S^{2m+1}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle M^{4m+2}}$ ${\displaystyle S^{2m+1}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle M^{4m+2}}$ ${\displaystyle m\neq 0,1,3}$ ${\displaystyle S^{4m+2+k}\to S^{2m+1+k}}$ ${\displaystyle m=0,1,3}$

Historia

El invariante de Kervaire es una generalización del invariante Arf de una superficie enmarcada (es decir, una variedad bidimensional con un paquete tangente trivializado de manera estable) que fue utilizado por Lev Pontryagin en 1950 para calcular el grupo de mapas de homotopía (para ), que es el grupo de cobordismo de superficies incrustadas con paquete normal trivializado. ${\displaystyle \pi _{n+2}(S^{n})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{n+2}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle S^{n+2}}$

Kervaire (1960) usó su invariante para n  = 10 para construir la variedad Kervaire , una variedad PL de 10 dimensiones sin estructura diferenciable , el primer ejemplo de tal variedad, al mostrar que su invariante no desaparece en esta variedad PL, sino desaparece en todos los colectores lisos de dimensión 10.

Kervaire y Milnor (1963) calculan el grupo de esferas exóticas (en dimensión mayor que 4), y un paso del cálculo depende del problema invariante de Kervaire. Específicamente, muestran que el conjunto de esferas exóticas de dimensión n , específicamente el monoide de estructuras suaves en la n -esfera estándar, es isomorfo al grupo de clases de h -cobordismo de n -esferas de homotopía orientada . Calculan esto último en términos de un mapa. ${\displaystyle \Theta _{n}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,\,}$

donde está el subgrupo cíclico de n -esferas que unen una variedad paralelizable de dimensión , es el n- ésimo grupo de esferas de homotopía estable , y J es la imagen del J-homomorfismo , que también es un grupo cíclico. Los grupos y tienen factores cíclicos de fácil comprensión, que son triviales o de orden dos excepto en dimensión , en cuyo caso son grandes, con orden relacionado con los números de Bernoulli . Los cocientes son las partes difíciles de los grupos. El mapa entre estos grupos de cocientes es un isomorfismo o es inyectivo y tiene una imagen de índice 2. Es este último si y sólo si hay una variedad enmarcada de n dimensiones de invariante de Kervaire distinto de cero y, por lo tanto, la clasificación de esferas exóticas depende hasta un factor de 2 en el problema del invariante de Kervaire. ${\displaystyle bP_{n+1}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ ${\displaystyle bP_{n+1}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle n=4k+3}$

Ejemplos

Para el toro incrustado estándar , la forma simétrica sesgada está dada por (con respecto a la base simpléctica estándar ), y el refinamiento cuadrático sesgado está dado por con respecto a esta base: las curvas de base no se autoenlazan; y : a (1,1) autoenlaces, como en la fibración de Hopf . Por lo tanto, esta forma tiene el invariante Arf 0 (la mayoría de sus elementos tienen norma 0; tiene índice de isotropía 1) y, por lo tanto, el toro incrustado estándar tiene el invariante Kervaire 0. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle Q(1,0)=Q(0,1)=0}$ ${\displaystyle Q(1,1)=1}$

Problema invariante de Kervaire

La cuestión de en qué dimensiones n hay variedades enmarcadas de n dimensiones de invariante de Kervaire distinto de cero se denomina problema del invariante de Kervaire . Esto sólo es posible si n es 2 mod 4, y de hecho uno debe tener n es de la forma (dos menos que una potencia de dos). La pregunta está casi completamente resuelta: hay variedades con invariante de Kervaire distinto de cero en las dimensiones 2, 6, 14, 30, 62 y ninguna en todas las demás dimensiones excepto posiblemente 126. ${\displaystyle 2^{k}-2}$

Los principales resultados son los de William Browder  (1969), quien redujo el problema de la topología diferencial a la teoría de la homotopía estable y demostró que las únicas dimensiones posibles son , y los de Michael A. Hill, Michael J. Hopkins y Douglas C. Ravenel.  (2016), quienes demostraron que no existían tales variedades para ( ). Junto con construcciones explícitas para dimensiones inferiores (hasta 62), esto deja abierta solo la dimensión 126. ${\displaystyle 2^{k}-2}$ ${\displaystyle k\geq 8}$ ${\displaystyle n\geq 254}$

Michael Atiyah conjeturó que existe tal variedad en la dimensión 126, y que las variedades de dimensiones superiores con invariante de Kervaire distinto de cero están relacionadas con variedades exóticas bien conocidas dos dimensiones superiores, en las dimensiones 16, 32, 64 y 128. a saber, el plano proyectivo de Cayley (dimensión 16, plano proyectivo octoniónico) y los planos proyectivos análogos de Rosenfeld (el plano proyectivo biooctoniónico en dimensión 32, el plano proyectivo cuateroctoniónico en dimensión 64 y el plano proyectivo octooctoniónico en dimensión 128), específicamente que existe una construcción que toma estos planos proyectivos y produce una variedad con invariante de Kervaire distinto de cero en dos dimensiones inferiores. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {O} P^{2}}$

Historia

• Kervaire (1960) demostró que el invariante de Kervaire es cero para variedades de dimensión 10, 18
• Kervaire y Milnor (1963) demostraron que el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero para variedades de dimensión 6, 14.
• Anderson, Brown y Peterson (1966) demostraron que la invariante de Kervaire es cero para variedades de dimensión 8 n +2 para n >1
• Mahowald y Tangora (1967) demostraron que el invariante de Kervaire puede ser distinto de cero para variedades de dimensión 30
• Browder (1969) demostró que el invariante de Kervaire es cero para variedades de dimensión n que no son de la forma 2 ^k  −  2 .
• Barratt, Jones y Mahowald (1984) demostraron que el invariante de Kervaire es distinto de cero para alguna variedad de dimensión 62. Más tarde, Xu (2016) proporcionó una prueba alternativa.
• Hill, Hopkins y Ravenel (2016) demostraron que el invariante de Kervaire es cero para variedades enmarcadas de n dimensiones para n = 2 ^k − 2 con k ≥ 8. Construyeron una teoría de cohomología Ω con las siguientes propiedades de las cuales su resultado se deduce inmediatamente:
  • Los grupos de coeficientes Ω ⁿ (punto) tienen período 2 ⁸  = 256 en n
  • Los grupos de coeficientes Ω ⁿ (punto) tienen una "brecha": desaparecen para n = -1, -2 y -3
  • Los grupos de coeficientes Ω ⁿ (punto) pueden detectar invariantes de Kervaire que no desaparecen: más precisamente, si el invariante de Kervaire para variedades de dimensión n es distinto de cero, entonces tiene una imagen distinta de cero en Ω ^{− n} (punto)

Invariante de Kervaire-Milnor

El invariante de Kervaire-Milnor es un invariante estrechamente relacionado de la cirugía enmarcada de una variedad enmarcada de 2, 6 o 14 dimensiones, que proporciona isomorfismos del segundo y sexto grupo de esferas de homotopía estable a y un homomorfismo del decimocuarto grupo de homotopía estable de esferas sobre . Para n = 2, 6, 14 hay un encuadre exótico con el invariante 1 de Kervaire-Milnor. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{n/2}\times S^{n/2}}$

Ver también

• Firma , una invariante de 4k dimensiones
• Invariante de De Rham , un invariante dimensional (4 k  + 1)

Referencias

1. comentario de André Henriques el 1 de julio de 2012 a las 19:26, sobre "Invariante de Kervaire: ¿Por qué la dimensión 126 es especialmente difícil?", MathOverflow

• Anderson, Donald W.; Brown, Edgar H. Jr.; Peterson, Franklin P. (enero de 1966). "SU-corbodismo, números característicos KO y la invariante de Kervaire". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 83 (1). Departamento de Matemáticas, Universidad de Princeton: 54–67. doi :10.2307/1970470. JSTOR  1970470.
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• Browder, William (1969). "La invariante de Kervaire de variedades enmarcadas y su generalización". Anales de Matemáticas . 90 (1): 157–186. doi :10.2307/1970686. JSTOR  1970686.
• Browder, William (1972), Cirugía en variedades simplemente conectadas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 65, Nueva York-Heidelberg: Springer, págs. ix+132, ISBN 978-0-387-05629-6, SEÑOR  0358813
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• Xu, Zhouli (2016), "El problema del invariante de Kervaire fuerte en la dimensión 62", Geometría y topología , 20 (3): 1611–1624, arXiv : 1410.6199 , doi :10.2140/gt.2016.20.1611, MR  3523064

enlaces externos

• Diapositivas y vídeo de la conferencia de Hopkins en Edimburgo, 21 de abril de 2009.
• Página de inicio de Arf-Kervaire de Doug Ravenel
• Seminario de verano Harvard-MIT sobre la invariante de Kervaire
• 'Kervaire Invariant One Problem' Resuelto, 23 de abril de 2009, publicación de blog de John Baez y debate, The n-Category Café
• Esferas exóticas en el atlas múltiple

Noticias populares

• Hypersphere Exotica: ¡El problema del invariante de Kervaire tiene solución! Un problema de 45 años sobre esferas de dimensiones superiores está resuelto, probablemente, por Davide Castelvecchi, agosto de 2009 Scientific American
• Bola, Felipe (2009). "Resuelto el acertijo oculto de las formas". Naturaleza . doi : 10.1038/news.2009.427.
• Los matemáticos resuelven un rompecabezas invariante de Kervaire de hace 45 años, Erica Klarreich, 20 de julio de 2009