Invariante de De Rham

Invariante mod 2 de una variedad de dimensión (4k+1)

En topología geométrica , el invariante de De Rham es un invariante módulo 2 de una variedad de (4 k +1) dimensiones, es decir, un elemento de – 0 o 1. Puede considerarse como el L-grupo simétrico simplemente conexo y, por lo tanto, análogo a los otros invariantes de la teoría L: la signatura , un invariante de 4 k dimensiones (simétrico o cuadrático, ), y el invariante de Kervaire , un invariante cuadrático de (4 k +2) dimensiones. ${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$ ${\displaystyle L^{4k+1},}$ ${\displaystyle L^{4k}\cong L_{4k}}$ ${\displaystyle L_{4k+2}.}$

Recibe su nombre del matemático suizo Georges de Rham y se utiliza en la teoría de la cirugía . ^{[1] [2]}

Definición

El invariante de De Rham de una variedad de dimensión (4 k +1) se puede definir de varias formas equivalentes: ^[3]

• el rango de la 2-torsión en como un entero módulo 2; ${\displaystyle H_{2k}(M),}$
• el número de Stiefel–Whitney ; ${\displaystyle w_{2}w_{4k-1}}$
• el número Wu (al cuadrado), donde es la clase Wu del fibrado normal de y es el cuadrado de Steenrod ; formalmente, como con todos los números característicos , esto se evalúa en la clase fundamental : ; ${\displaystyle v_{2k}Sq^{1}v_{2k},}$ ${\displaystyle v_{2k}\in H^{2k}(M;Z_{2})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Sq^{1}}$ ${\displaystyle (v_{2k}Sq^{1}v_{2k},[M])}$
• en términos de una semicaracterística .

Referencias

1. Morgan, John W ; Sullivan, Dennis P. (1974), "La clase característica de transversalidad y los ciclos de enlace en la teoría de la cirugía", Annals of Mathematics , 2, 99 (3): 463–544, doi :10.2307/1971060, JSTOR  1971060, MR  0350748
2. John W. Morgan, Una fórmula de producto para obstrucciones quirúrgicas, 1978
3. (Lusztig, Milnor y Peterson 1969)

• Lusztig, George ; Milnor, John ; Peterson, Franklin P. (1969), "Semicaracterísticas y cobordismo", Topology , 8 (4): 357–360, doi : 10.1016/0040-9383(69)90021-4 , MR  0246308
• Ajedrez, Daniel, Un teorema de tipo Poincaré-Hopf para el invariante de De Rham, 1980