Grupo de spinning

Grupo de Lie de doble recubrimiento del grupo ortogonal especial

En matemáticas, el grupo de espín , denotado Spin( n ), ^{[1] [2]} es un grupo de Lie cuya variedad subyacente es la doble cobertura del grupo ortogonal especial SO( n ) = SO( n , R ) , tal que existe una secuencia exacta corta de grupos de Lie (cuando n ≠ 2 )

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.}$

La ley de multiplicación de grupos en la doble cubierta se da levantando la multiplicación en . ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

Como grupo de Lie, Spin( n ) comparte por tanto su dimensión , n ( n − 1)/2 , y su álgebra de Lie con el grupo ortogonal especial.

Para n > 2 , Spin( n ) está simplemente conexo y por lo tanto coincide con la cobertura universal de SO( n ) .

El elemento no trivial del núcleo se denota −1, que no debe confundirse con la transformada ortogonal de reflexión a través del origen , generalmente denotada − I.

Spin( n ) se puede construir como un subgrupo de los elementos invertibles en el álgebra de Clifford Cl( n ). Un artículo específico analiza las representaciones de spin .

Motivación e interpretación física

El grupo de espín se utiliza en física para describir las simetrías de los fermiones (eléctricamente neutros, sin carga) . Su complejización, Spinc, se utiliza para describir los fermiones cargados eléctricamente, más notablemente el electrón . Estrictamente hablando, el grupo de espín describe un fermión en un espacio de dimensión cero; sin embargo, el espacio no es de dimensión cero, y por lo tanto el grupo de espín se utiliza para definir estructuras de espín en variedades (pseudo) de Riemann : el grupo de espín es el grupo de estructura de un fibrado de espinores . La conexión afín en un fibrado de espinores es la conexión de espín ; la conexión de espín puede simplificar los cálculos en relatividad general . La conexión de espín a su vez permite que la ecuación de Dirac se escriba en el espacio-tiempo curvo (efectivamente en las coordenadas de la tétrada ), lo que a su vez proporciona una base para la gravedad cuántica , así como una formalización de la radiación de Hawking (donde uno de un par de fermiones virtuales entrelazados cae más allá del horizonte de eventos, y el otro no).

Construcción

La construcción del grupo de espín suele comenzar con la construcción de un álgebra de Clifford sobre un espacio vectorial real V con una forma cuadrática definida q . ^[3] El álgebra de Clifford es el cociente del álgebra tensorial T V de V por un ideal bilateral. El álgebra tensorial (sobre los números reales) puede escribirse como

${\displaystyle \mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots }$

El álgebra de Clifford Cl( V ) es entonces el álgebra del cociente

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes v-q(v)\right),}$

donde es la forma cuadrática aplicada a un vector . El espacio resultante es de dimensión finita, naturalmente graduado (como un espacio vectorial) y puede escribirse como ${\displaystyle q(v)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}}$

donde es la dimensión de , y . El álgebra de espín se define como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{1}=V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {spin}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),}$

donde el último es una abreviatura de V , que es un espacio vectorial real de dimensión real n . Es un álgebra de Lie ; tiene una acción natural sobre V y, de esta manera, se puede demostrar que es isomorfa al álgebra de Lie del grupo ortogonal especial . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

El grupo de pines es un subgrupo del grupo de Clifford de todos los elementos de la forma ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k},}$

donde cada uno tiene una longitud unitaria: ${\displaystyle v_{i}\in V}$ ${\displaystyle q(v_{i})=1.}$

El grupo de espín se define entonces como

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},}$

donde es el subespacio generado por elementos que son el producto de un número par de vectores. Es decir, Spin( V ) consta de todos los elementos de Pin( V ), dados anteriormente, con la restricción de que k sea un número par. La restricción al subespacio par es clave para la formación de espinores de dos componentes (Weyl), construidos a continuación. ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots }$

Si el conjunto es una base ortonormal del espacio vectorial (real) V , entonces el cociente anterior dota al espacio de una estructura anticonmutativa natural: ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$para ${\displaystyle i\neq j,}$

que sigue considerando para . Esta anticonmutación resulta ser importante en física, ya que captura el espíritu del principio de exclusión de Pauli para fermiones . Una formulación precisa está fuera del alcance aquí, pero implica la creación de un fibrado de espinores en el espacio-tiempo de Minkowski ; los campos de espinores resultantes pueden verse como anticonmutativos como un subproducto de la construcción del álgebra de Clifford. Esta propiedad de anticonmutación también es clave para la formulación de la supersimetría . El álgebra de Clifford y el grupo de espín tienen muchas propiedades interesantes y curiosas, algunas de las cuales se enumeran a continuación. ${\displaystyle v\otimes v}$ ${\displaystyle v=e_{i}+e_{j}}$

Construcción geométrica

Los grupos de espín se pueden construir de forma menos explícita pero sin recurrir a las álgebras de Clifford. Como variedad, es la doble cobertura de . Su ley de multiplicación se puede definir elevando de la siguiente manera. Llamemos a la función de recubrimiento . Entonces es un conjunto con dos elementos, y se puede elegir uno sin pérdida de generalidad para que sea la identidad. Llamemos a esto . Luego, para definir la multiplicación en , para elegir caminos que satisfagan , y . Estos definen un camino en definido que satisface . Dado que es una doble cobertura, existe una elevación única de con . Luego, defina el producto como . ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle p:\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle p^{-1}(\{e\})}$ ${\displaystyle {\tilde {e}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}(0)=\gamma _{b}(0)={\tilde {e}}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}(1)=a,\gamma _{b}(1)=b}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \gamma (t)=p(\gamma _{a}(t))\cdot p(\gamma _{b}(t))}$ ${\displaystyle \gamma (0)=e}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {e}}}$ ${\displaystyle a\cdot b={\tilde {\gamma }}(1)}$

Se puede demostrar entonces que esta definición es independiente de los caminos , que la multiplicación es continua y que los axiomas del grupo se satisfacen con la inversión siendo continua, formando un grupo de Lie. ${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$

Doble cobertura

Para un espacio cuadrático V , se puede dar explícitamente un doble recubrimiento de SO( V ) por Spin( V ), de la siguiente manera. Sea una base ortonormal para V . Definamos un antiautomorfismo mediante ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.}$

Esto se puede extender a todos los elementos de por linealidad. Es un antihomomorfismo ya que ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle (ab)^{t}=b^{t}a^{t}.}$

Observe que Pin( V ) puede entonces definirse como todos los elementos para los cuales ${\displaystyle a\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle aa^{t}=1.}$

Ahora definamos el automorfismo que sobre elementos de grado 1 viene dado por ${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \alpha (v)=-v,\quad v\in V,}$

y sea , que es un antiautomorfismo de Cl( V ). Con esta notación, un doble recubrimiento explícito es el homomorfismo dado por ${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle \alpha (a)^{t}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)}$

${\displaystyle \rho (a)v=ava^{*},}$

donde . Cuando a tiene grado 1 (es decir ), corresponde una reflexión a través del hiperplano ortogonal a a ; esto se desprende de la propiedad anticonmutativa del álgebra de Clifford. ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle a\in V}$ ${\displaystyle \rho (a)}$

Esto da una doble cobertura de O( V ) por Pin( V ) y de SO( V ) por Spin( V ) porque da la misma transformación que . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Espacio espinorial

Conviene revisar cómo se construyen el espacio de espinores y los espinores de Weyl , dado este formalismo. Dado un espacio vectorial real V de dimensión n = 2 m un número par, su complejización es . Puede escribirse como la suma directa de un subespacio de espinores y un subespacio de antiespinores: ${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$

${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

El espacio está abarcado por los espinores para y los espinores conjugados complejos abarcan . Es fácil ver que los espinores conmutan en forma anti y que el producto de un espinor y un antiespinor es un escalar. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq m}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$

El espacio de espín se define como el álgebra exterior . El álgebra de Clifford (complejificada) actúa naturalmente sobre este espacio; el grupo de espín (complejificado) corresponde a los endomorfismos que preservan la longitud . Existe una gradación natural en el álgebra exterior: el producto de un número impar de copias de corresponde a la noción física de fermiones; el subespacio par corresponde a los bosones. Las representaciones de la acción del grupo de espín sobre el espacio de espín se pueden construir de una manera relativamente sencilla. ^[3] ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ ${\displaystyle W}$

Caso complejo

El grupo Spin ^C se define por la secuencia exacta

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Es un subgrupo multiplicativo de la complejización del álgebra de Clifford, y específicamente, es el subgrupo generado por Spin( V ) y el círculo unitario en C . Alternativamente, es el cociente ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim }$

donde la equivalencia identifica ( a , u ) con (− a , − u ) . ${\displaystyle \sim }$

Esto tiene importantes aplicaciones en la teoría de 4 variedades y en la teoría de Seiberg-Witten . En física, el grupo de espín es apropiado para describir fermiones sin carga, mientras que el grupo de espín ^C se utiliza para describir fermiones con carga eléctrica. En este caso, la simetría U(1) es específicamente el grupo de calibración del electromagnetismo .

Isomorfismos excepcionales

En dimensiones bajas, existen isomorfismos entre los grupos de Lie clásicos llamados isomorfismos excepcionales . Por ejemplo, existen isomorfismos entre grupos de espín de dimensiones bajas y ciertos grupos de Lie clásicos, debido a isomorfismos de dimensiones bajas entre los sistemas de raíces (y los isomorfismos correspondientes de los diagramas de Dynkin ) de las diferentes familias de álgebras de Lie simples . Escribiendo R para los reales, C para los números complejos, H para los cuaterniones y el entendimiento general de que Cl( n ) es una abreviatura de Cl( R ⁿ ) y que Spin( n ) es una abreviatura de Spin( R ⁿ ) y así sucesivamente, se tiene entonces que ^[3]

Cl ^par (1) = R los números reales

Pin(1) = {+i, −i, +1, −1}

Spin(1) = O(1) = {+1, −1} el grupo ortogonal de dimensión cero.

--

Cl ^par (2) = C los números complejos

Spin(2) = U(1) = SO(2) , que actúa sobre z en R ² por rotación de doble fase z ↦ u ² z . Corresponde al abeliano . dim = 1 ${\displaystyle D_{1}}$

--

Cl ^par (3) = H los cuaterniones

Spin(3) = Sp(1) = SU(2) , correspondiente a . dim = 3 ${\displaystyle B_{1}\cong C_{1}\cong A_{1}}$

--

Cl ^par (4) = H ⊕ H

Spin(4) = SU(2) × SU(2), correspondiente a . dim = 6 ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$

--

Cl ^par (5)= M(2, H ) las matrices dos por dos con coeficientes cuaterniónicos

Spin(5) = Sp(2) , correspondiente a . dim = 10 ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$

--

Cl ^par (6)= M(4, C ) las matrices de cuatro por cuatro con coeficientes complejos

Spin(6) = SU(4) , correspondiente a . dim = 15 ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$

Quedan ciertos vestigios de estos isomorfismos para n = 7, 8 (ver Spin(8) para más detalles). Para valores n mayores , estos isomorfismos desaparecen por completo.

Firma indefinida

En la firma indefinida , el grupo de espín Spin( p , q ) se construye a través de álgebras de Clifford de manera similar a los grupos de espín estándar. Es una doble cobertura de SO ₀ ( p , q ) , el componente conexo de la identidad del grupo ortogonal indefinido SO( p , q ) . Para p + q > 2 , Spin( p , q ) es conexo; para ( p , q ) = (1, 1) hay dos componentes conexos. ^{[4] : 193} Como en la firma definida, hay algunos isomorfismos accidentales en dimensiones bajas:

Giro(1, 1) = GL(1, R )

Giro(2, 1) = SL(2, R )

Giro(3, 1) = SL(2, C )

Espín(2, 2) = SL(2, R ) × SL(2, R )

Giro(4, 1) = Sp(1, 1)

Espín(3, 2) = Sp(4, R )

Giro(5, 1) = SL(2, H )

Giro(4, 2) = SU(2, 2)

Giro(3, 3) = SL(4, R )

Giro(6, 2) = SU(2, 2, H )

Tenga en cuenta que Spin( p , q ) = Spin( q , p ) .

Consideraciones topológicas

Los grupos de Lie conexos y simplemente conexos se clasifican por su álgebra de Lie. Por lo tanto, si G es un grupo de Lie conexo con un álgebra de Lie simple, con G ′ como recubrimiento universal de G , existe una inclusión

${\displaystyle \pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),}$

con Z( G ′) el centro de G ′. Esta inclusión y el álgebra de Lie de G determinan G completamente (nótese que no es el caso que y π ₁ ( G ) determinen G completamente; por ejemplo SL(2, R ) y PSL(2, R ) tienen la misma álgebra de Lie y el mismo grupo fundamental Z , pero no son isomorfos). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Las firmas definidas Spin( n ) están todas simplemente conexas para n  > 2, por lo que son las coberturas universales de SO( n ).

En la firma indefinida, Spin( p , q ) no es necesariamente conexo, y en general el componente identidad , Spin ₀ ( p , q ), no es simplemente conexo, por lo que no es una cobertura universal. El grupo fundamental se entiende más fácilmente considerando el subgrupo compacto máximo de SO( p , q ), que es SO( p ) × SO( q ), y notando que en lugar de ser el producto de las coberturas dobles (por lo tanto, una cobertura cuádruple), Spin( p , q ) es la cobertura doble "diagonal" – es un cociente doble de la cobertura cuádruple. Explícitamente, el subgrupo compacto máximo conexo de Spin( p , q ) es

Espín( p ) × Espín( q )/{(1, 1), (−1, −1)}.

Esto nos permite calcular los grupos fundamentales de SO( p , q ), tomando p ≥ q :

${\displaystyle \pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} &p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}}$

Por lo tanto, una vez que p , q > 2 el grupo fundamental es Z ₂ , ya que es un cociente doble de un producto de dos coberturas universales.

Las funciones de los grupos fundamentales se dan de la siguiente manera. Para p , q > 2 , esto implica que la función π ₁ (Spin( p , q )) → π ₁ (SO( p , q )) está dada por 1 ∈ Z ₂ yendo a (1, 1) ∈ Z ₂ × Z ₂ . Para p = 2, q > 2 , esta función está dada por 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z ₂ . Y finalmente, para p = q = 2 , (1, 0) ∈ Z × Z se envía a (1,1) ∈ Z × Z y (0, 1) se envía a (1, −1) .

Grupos fundamentales de SO(n)

Los grupos fundamentales se pueden derivar de forma más directa utilizando resultados de la teoría de homotopía . En particular, podemos encontrar que para los tres más pequeños tienen variedades subyacentes conocidas: es la variedad de puntos, y (mostrada utilizando la representación eje-ángulo ). ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))}$ ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle SO(1)}$ ${\displaystyle SO(2)\cong S^{1}}$ ${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3}}$

La prueba utiliza resultados conocidos en topología algebraica . ^[5]

El mismo argumento se puede utilizar para demostrar , considerando una fibración donde es la lámina superior de un hiperboloide de dos láminas , que es contráctil , y es el componente identidad del grupo de Lorentz propio (el grupo de Lorentz ortocrónico propio). ${\displaystyle \pi ({\text{SO}}(1,n)^{\uparrow })\cong \pi ({\text{SO}}(n))}$ $${\displaystyle {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }\rightarrow H^{n},}$$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }}$

Centro

Los centros de los grupos de espín, para n ≥ 3 , (complejos y reales) se dan de la siguiente manera: ^{[4] : 208}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Grupos de cocientes

Los grupos cocientes se pueden obtener a partir de un grupo de espín mediante el cociente por un subgrupo del centro, siendo entonces el grupo de espín un grupo de cobertura del cociente resultante y teniendo ambos grupos el mismo álgebra de Lie.

Al cocientear por el centro completo se obtiene el grupo mínimo de este tipo, el grupo ortogonal especial proyectivo , que no tiene centro , mientras que al cocientear por {±1} se obtiene el grupo ortogonal especial: si el centro es igual a {±1} (es decir, en dimensión impar), estos dos grupos cocientes coinciden. Si el grupo de espín está simplemente conectado (como Spin( n ) lo está para n > 2 ), entonces Spin es el grupo máximo en la secuencia, y se tiene una secuencia de tres grupos,

Espín( n ) → SO( n ) → PSO( n ),

La división por paridad da como resultado:

Espín(2 n ) → SO(2 n ) → PSO(2 n ),

Espín(2 n + 1) → SO(2 n + 1) = PSO(2 n + 1),

¿Cuáles son las tres formas reales compactas (o dos, si SO = PSO ) del álgebra de Lie compacta ? ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).}$

Los grupos de homotopía de la cubierta y el cociente están relacionados por la secuencia larga y exacta de una fibración , con fibra discreta (la fibra es el núcleo); por lo tanto, todos los grupos de homotopía para k > 1 son iguales, pero π ₀ y π ₁ pueden diferir.

Para n > 2 , Spin( n ) está simplemente conexo ( π ₀ = π ₁ = Z ₁ es trivial), por lo que SO( n ) está conexo y tiene grupo fundamental Z ₂ mientras que PSO( n ) está conexo y tiene grupo fundamental igual al centro de Spin( n ).

En la firma indefinida, las coberturas y los grupos de homotopía son más complicados: Spin( p , q ) no es simplemente conexo, y el cociente también afecta a los componentes conexos. El análisis es más simple si se considera el compacto maximal (conexo) SO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q ) y el grupo de componentes de Spin( p , q ) .

Torre Whitehead

El grupo de espín aparece en una torre Whitehead anclada por el grupo ortogonal :

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)}$

La torre se obtiene eliminando sucesivamente (matando) grupos de homotopía de orden creciente. Esto se hace construyendo secuencias exactas cortas comenzando con un espacio de Eilenberg-MacLane para el grupo de homotopía que se va a eliminar. Al matar el grupo de homotopía π ₃ en Spin( n ), se obtiene el grupo de cuerdas de dimensión infinita String( n ).

Subgrupos discretos

Los subgrupos discretos del grupo de espín se pueden entender relacionándolos con subgrupos discretos del grupo ortogonal especial ( grupos de puntos rotacionales ).

Dada la doble cobertura Spin( n ) → SO( n ) , por el teorema de red , existe una conexión de Galois entre subgrupos de Spin( n ) y subgrupos de SO( n ) (grupos puntuales rotacionales): la imagen de un subgrupo de Spin( n ) es un grupo puntual rotacional, y la preimagen de un grupo puntual es un subgrupo de Spin( n ), y el operador de cierre sobre subgrupos de Spin( n ) es la multiplicación por {±1}. Estos pueden llamarse "grupos puntuales binarios"; el más conocido es el caso tridimensional, conocido como grupos poliédricos binarios .

Concretamente, cada grupo puntual binario es o bien la preimagen de un grupo puntual (denotado por tanto 2 G , para el grupo puntual G ), o bien es un subgrupo de índice 2 de la preimagen de un grupo puntual que se mapea (isomorfamente) sobre el grupo puntual; en el último caso el grupo binario completo es abstracto (ya que {±1} es central). Como ejemplo de estos últimos, dado un grupo cíclico de orden impar en SO( n ), su preimagen es un grupo cíclico de doble orden, y el subgrupo Z _{2 k +1} < Spin( n ) se mapea isomorfamente a Z _{2 k +1} < SO( n ) . ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times G}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2k+1}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},}$

De particular interés son dos series:

• grupos tetraédricos binarios superiores , correspondientes a la doble cobertura de simetrías del n -símplex; este grupo también puede considerarse como la doble cobertura del grupo simétrico , 2⋅A _n → A _n , siendo el grupo alterno el grupo de simetría (rotacional) del n -símplex.
• grupos octaédricos binarios superiores , correspondientes a las cubiertas dobles del grupo hiperoctaédrico (simetrías del hipercubo , o equivalentemente de su dual, el politopo cruzado ).

Para los grupos de puntos que invierten la orientación, la situación es más complicada, ya que hay dos grupos de pines , por lo que hay dos grupos binarios posibles correspondientes a un grupo de puntos dado.

Véase también

• Álgebra de Clifford
• Análisis de Clifford
• Espinor
• Haz espinorial
• Estructura de giro
• Tabla de grupos de Lie
• Alguien
• Enredo de orientación

Grupos relacionados

• Grupo Pin Pin( n ) – doble cobertura del grupo ortogonal , O( n )
• Grupo metapléctico Mp(2 n ) – doble cobertura del grupo simpléctico , Sp(2 n )
• Grupo de cadenas String(n): el siguiente grupo en la torre Whitehead

Referencias

1. Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría del espín . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.página 14
2. Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría riemanniana , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2055-1página 15
3. Jürgen Jost, Geometría riemanniana y análisis geométrico , (2002) Springer Verlag ISBN 3-540-42627-2 (Ver Capítulo 1.) 
4. Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0821835742.OCLC 55487352  .
5. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (PDF) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521795401. Recuperado el 24 de febrero de 2023 .

Enlaces externos

• La dimensión esencial de los grupos de espín es OEIS:A280191.
• El "índice de torsión" de Grothendieck es OEIS:A096336.

Lectura adicional

• Karoubi, Max (2008). Teoría K. Springer. Págs. 210-214. ISBN. 978-3-540-79889-7.