grupo clasico

En matemáticas , los grupos clásicos se definen como los grupos lineales especiales sobre los reales , los números complejos y los cuaterniones junto con grupos de automorfismos especiales ^[1] de formas bilineales simétricas o sesgadas-simétricas y formas hermitianas o sesquilineales sesgadas-hermitianas definidas en reales. , espacios vectoriales de dimensión finita complejos y cuaterniónicos. ^[2] De estos, los grupos de Lie clásicos complejos son cuatro infinitas familias de grupos de Lie que junto con los grupos excepcionales agotan la clasificación de grupos de Lie simples . Los grupos clásicos compactos son formas reales compactas de los grupos clásicos complejos. Los análogos finitos de los grupos clásicos son los grupos clásicos de tipo Lie . El término "grupo clásico" fue acuñado por Hermann Weyl , siendo el título de su monografía de 1939 The Classical Groups . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Los grupos clásicos forman la parte más profunda y útil del tema de los grupos de Lie lineales. ^[4] La mayoría de los tipos de grupos clásicos encuentran aplicación en la física clásica y moderna. Algunos ejemplos son los siguientes. El grupo de rotación SO(3) es una simetría del espacio euclidiano y de todas las leyes fundamentales de la física, el grupo de Lorentz O(3,1) es un grupo de simetría del espaciotiempo de la relatividad especial . El grupo unitario especial SU(3) es el grupo de simetría de la cromodinámica cuántica y el grupo simpléctico Sp( m ) encuentra aplicación en la mecánica hamiltoniana y sus versiones de la mecánica cuántica .

los grupos clasicos

Los grupos clásicos son exactamente los grupos lineales generales sobre , y junto con los grupos de automorfismos de formas no degeneradas que se analizan a continuación. ^[5] Estos grupos suelen estar restringidos adicionalmente a los subgrupos cuyos elementos tienen el determinante 1, de modo que sus centros son discretos. Los grupos clásicos, con la condición del determinante 1, se enumeran en la siguiente tabla. En lo sucesivo, la condición del determinante 1 no se utiliza de manera consistente en aras de una mayor generalidad. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Los grupos clásicos complejos son SL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , SO( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y Sp( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Un grupo es complejo según si su álgebra de Lie es compleja. Los grupos clásicos reales se refieren a todos los grupos clásicos ya que cualquier álgebra de Lie es un álgebra real. Los grupos clásicos compactos son las formas reales compactas de los grupos clásicos complejos. Estos son, a su vez, SU( n ) , SO( n ) y Sp( n ) . Una caracterización de la forma real compacta es en términos del álgebra de Lie g . Si g = u + i u , la complejización de u , y si el grupo conectado K generado por {exp( X ): X ∈ u } es compacto, entonces K es una forma real compacta. ^[6]

Los grupos clásicos se pueden caracterizar uniformemente de forma diferente utilizando formas reales . Los grupos clásicos (aquí con la condición del determinante 1, pero esto no es necesario) son los siguientes:

Los grupos algebraicos lineales complejos SL( n , ), SO( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y Sp( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ junto con sus formas reales . ^[7]

Por ejemplo, SO ^∗ (2 n ) es una forma real de SO(2 n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , SU( p , q ) es una forma real de SL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y SL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {H} }$ es una forma real de SL (2 norte , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Sin la condición del determinante 1, reemplace los grupos lineales especiales con los grupos lineales generales correspondientes en la caracterización. Los grupos algebraicos en cuestión son grupos de Lie, pero se necesita el calificador "algebraico" para obtener la noción correcta de "forma real".

Formas bilineales y sesquilineales

Los grupos clásicos se definen en términos de formas definidas en R ⁿ , C ⁿ y H ⁿ , donde R y C son los campos de los números reales y complejos . Los cuaterniones , H , no constituyen un campo porque la multiplicación no conmuta; Forman un anillo de división o un campo sesgado o campo no conmutativo . Sin embargo, todavía es posible definir grupos cuaterniónicos matriciales. Por esta razón, se permite definir un espacio vectorial V sobre R , C y H a continuación. En el caso de H , V es un espacio vectorial derecho para hacer posible la representación de la acción grupal como multiplicación de matrices desde la izquierda , al igual que para R y C. ^[8]

Una forma φ : V × V → F en algún espacio vectorial derecho de dimensión finita sobre F = R , C o H es bilineal si

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$y si

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Se llama sesquilineal si

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$y si

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Estas convenciones se eligen porque funcionan en todos los casos considerados. Un automorfismo de φ es un mapa A en el conjunto de operadores lineales en V tal que

El conjunto de todos los automorfismos de φ forman un grupo, se llama grupo de automorfismos de φ , denotado Aut( φ ) . Esto lleva a una definición preliminar de un grupo clásico:

Un grupo clásico es un grupo que conserva una forma bilineal o sesquilineal en espacios vectoriales de dimensión finita sobre R , C o H.

Esta definición tiene cierta redundancia. En el caso de F = R , bilineal equivale a sesquilineal. En el caso de F = H , no existen formas bilineales distintas de cero. ^[9]

Formas simétricas, simétricas sesgadas, hermitianas y hermitianas sesgadas

Una forma es simétrica si

${\displaystyle \varphi (x,y)=\varphi (y,x).}$

Es simétrico sesgado si

${\displaystyle \varphi (x,y)=-\varphi (y,x).}$

Es hermitiano si

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}}$

Finalmente, es sesgado-hermitiano si

${\displaystyle \varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.}$

Una forma bilineal φ es únicamente una suma de una forma simétrica y una forma sesgada-simétrica. Una transformación que preserva φ preserva ambas partes por separado. Por tanto, los grupos que conservan formas simétricas y sesgadas pueden estudiarse por separado. Lo mismo se aplica, mutatis mutandis, a las formas hermitianas y sesgadas-hermitianas. Por esta razón, a efectos de clasificación, sólo se consideran las formas puramente simétricas, simétricas sesgadas, hermitianas o hermitianas sesgadas. Las formas normales de las formas corresponden a elecciones específicas adecuadas de bases. Son bases que dan las siguientes formas normales en coordenadas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }\xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{2}\eta _{2}+\cdots +\xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {C} )\\{\text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},&&(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }{\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},&&(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},&&(\mathbf {H} )\end{aligned}}}$

La j en la forma sesgada-hermitiana es el tercer elemento de base en la base ( 1 , i , j , k ) para H . Prueba de existencia de estas bases y la ley de inercia de Sylvester , la independencia del número de signos más y menos, p y q , en las formas simétrica y hermitiana, así como la presencia o ausencia de los campos en cada expresión, se puede encontrar en Rossmann (2002) o Goodman & Wallach (2009). El par ( p , q ) , y a veces p − q , se denomina firma del formulario.

Explicación de la aparición de los campos R , C , H : No existen formas bilineales no triviales sobre H. En el caso bilineal simétrico, sólo las formas sobre R tienen firma. En otras palabras, una forma bilineal compleja con "firma" ( p , q ) puede, mediante un cambio de base, reducirse a una forma donde todos los signos son " + " en la expresión anterior, mientras que esto es imposible en el caso real. , en el que p − q es independiente de la base cuando se expresa de esta forma. Sin embargo, las formas hermitianas tienen una firma independiente de la base tanto en el caso complejo como en el cuaterniónico. (El caso real se reduce al caso simétrico). Una forma sesgada-hermitiana en un espacio vectorial complejo se convierte en hermitiana mediante la multiplicación por i , por lo que en este caso, solo H es interesante.

Grupos de automorfismo

Hermann Weyl , autor de Los grupos clásicos . Weyl hizo contribuciones sustanciales a la teoría de la representación de los grupos clásicos.

La primera sección presenta el marco general. Las otras secciones agotan los casos cualitativamente diferentes que surgen como grupos de automorfismos de formas bilineales y sesquilineales en espacios vectoriales de dimensión finita sobre R , C y H.

Aut( φ ) – el grupo de automorfismos

Supongamos que φ es una forma no degenerada en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre R , C o H. El grupo de automorfismo se define, según la condición ( 1 ), como

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.}$

Cada A ∈ M _n ( V ) tiene un adjunto A ^φ con respecto a φ definido por

Usando esta definición en la condición ( 1 ), se ve que el grupo de automorfismo está dado por

Fijar una base para V . En términos de esta base, ponga

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}}$

donde ξ _i , η _j son los componentes de x , y . Esto es apropiado para las formas bilineales. Las formas sesquilineales tienen expresiones similares y se tratan por separado más adelante. En notación matricial se encuentra

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y}$

y

de ( 2 ) donde Φ es la matriz ( φ _ij ) . La condición de no degeneración significa precisamente que Φ es invertible, por lo que el adjunto siempre existe. Aut( φ ) expresado con esto se convierte en

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\left\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\right\}.}$

El álgebra de Lie aut ( φ ) de los grupos de automorfismos se puede escribir inmediatamente. De manera abstracta, X ∈ aut ( φ ) si y sólo si

${\displaystyle (e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1}$

para todo t , correspondiente a la condición en ( 3 ) bajo el mapeo exponencial de álgebras de Lie, de modo que

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\right\},}$

o en una base

como se ve utilizando la expansión en series de potencias del mapeo exponencial y la linealidad de las operaciones involucradas. Por el contrario, supongamos que X ∈ aut ( φ ) . Luego, usando el resultado anterior, φ ( Xx , y ) = φ( x , X ^φ y ) = −φ( x , Xy ) . Así, el álgebra de Lie se puede caracterizar sin referencia a una base, o al adjunto, como

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.}$

La forma normal de φ se dará para cada grupo clásico a continuación. A partir de esa forma normal, la matriz Φ se puede leer directamente. En consecuencia, las expresiones para las álgebras adjunta y de Lie se pueden obtener usando las fórmulas ( 4 ) y ( 5 ). Esto se demuestra a continuación en la mayoría de los casos no triviales.

Caso bilineal

Cuando la forma es simétrica, Aut( φ ) se llama O( φ ) . Cuando es asimétrico, entonces Aut( φ ) se llama Sp( φ ) . Esto se aplica a los casos reales y complejos. El caso cuaterniónico está vacío ya que no existen formas bilineales distintas de cero en espacios vectoriales cuaterniónicos. ^[12]

caso real

El caso real se divide en dos casos, las formas simétrica y antisimétrica, que deben tratarse por separado.

O( p , q ) y O( n ) – los grupos ortogonales

Si φ es simétrico y el espacio vectorial es real, se puede elegir una base tal que

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.}$

El número de signos más y menos es independiente de la base particular. ^[13] En el caso V = R ⁿ se escribe O( φ ) = O( p , q ) donde p es el número de signos más y q es el número de signos menos, p + q = n . Si q = 0 la notación es O( n ) . La matriz Φ es en este caso

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}}$

después de reordenar la base si es necesario. La operación adjunta ( 4 ) entonces se convierte en

${\displaystyle A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),}$

que se reduce a la transpuesta habitual cuando p o q es 0. El álgebra de Lie se encuentra usando la ecuación ( 5 ) y un ansatz adecuado (esto se detalla para el caso de Sp ( m , R ) a continuación),

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},}$

y el grupo según ( 3 ) viene dado por

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.}$

Los grupos O( p , q ) y O( q , p ) son isomórficos a través del mapa

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].}$

Por ejemplo, el álgebra de Lie del grupo de Lorentz podría escribirse como

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.}$

Naturalmente, es posible reorganizarlo para que el bloque q esté en la parte superior izquierda (o cualquier otro bloque). Aquí el "componente de tiempo" termina como la cuarta coordenada en una interpretación física, y no la primera como puede ser más común.

Sp( m , R) – el grupo simpléctico real

Si φ es asimétrico y el espacio vectorial es real, existe una base que da

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

donde norte = 2 metro . Para Aut( φ ) se escribe Sp( φ ) = Sp( V ) En caso de V = R ⁿ = R ^{2 m} se escribe Sp( m , R ) o Sp(2 m , R ) . De la forma normal se lee

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.}$

Al hacer el ansatz

${\displaystyle V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),}$

donde X , Y , Z , W son matrices m -dimensionales y considerando ( 5 ),

${\displaystyle \left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)}$

se encuentra el álgebra de Lie de Sp( m , R ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

y el grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Caso complejo

Como en el caso real, hay dos casos, el simétrico y el antisimétrico, cada uno de los cuales produce una familia de grupos clásicos.

O( n , C) – el grupo ortogonal complejo

Si el caso φ es simétrico y el espacio vectorial es complejo, una base

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}}$

Sólo se pueden utilizar signos más. El grupo de automorfismo se llama en el caso de V = C ⁿ O(n, C ) . El álgebra de mentira es simplemente un caso especial de o ( p , q ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},}$

y el grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.}$

En términos de clasificación de álgebras de Lie simples , las so ( n ) se dividen en dos clases, aquellas con n impar con sistema de raíces B _n y n pares con sistema de raíces D _n .

Sp( m , C) – el grupo simpléctico complejo

Para φ simétrico sesgado y el complejo espacial vectorial, la misma fórmula,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

se aplica como en el caso real. Para Aut( φ ) se escribe Sp( φ ) = Sp( V ) . En el caso se escribe Sp( m , ) o Sp(2 m , ) . El álgebra de Lie es paralela a la de sp ( m , ) , ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{2m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

y el grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

caso sesquilineal

En el caso sesquilineal, se hace un enfoque ligeramente diferente para la forma en términos de una base,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.}$

Las otras expresiones que se modifican son

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,}$^[14]

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},}$

El caso real, por supuesto, no aporta nada nuevo. El caso complejo y el cuaterniónico se considerarán a continuación.

Caso complejo

Desde un punto de vista cualitativo, la consideración de las formas sesgadas-hermitianas (hasta el isomorfismo) no proporciona nuevos grupos; la multiplicación por i genera una forma hermitiana sesgada, y viceversa. Por tanto, sólo es necesario considerar el caso hermitiano.

U( p , q ) y U( n ) – los grupos unitarios

Una forma hermitiana no degenerada tiene la forma normal.

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.}$

Como en el caso bilineal, la firma ( p , q ) es independiente de la base. El grupo de automorfismo se denota U( V ) o, en el caso de V = C ⁿ , U( p , q ) . Si q = 0 la notación es U( n ) . En este caso, Φ toma la forma

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},}$

y el álgebra de Lie viene dada por

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.}$

El grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.}$

donde g es una matriz compleja general nxn y se define como la transpuesta conjugada de g, lo que los físicos llaman . ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g^{\dagger }}$

A modo de comparación, una matriz unitaria U(n) se define como

${\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.}$

Observamos que es lo mismo que ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n,0)}$

caso cuaterniónico

El espacio H ⁿ se considera como un espacio vectorial recto sobre H . De esta manera, A ( vh ) = ( Av ) h para un cuaternión h , un vector columna de cuaternión v y una matriz de cuaternión A . Si H ⁿ fuera un espacio vectorial izquierdo sobre H , entonces se requeriría la multiplicación de matrices desde la derecha en vectores de fila para mantener la linealidad. Esto no corresponde a la operación lineal habitual de un grupo en un espacio vectorial cuando se da una base, que es la multiplicación de matrices desde la izquierda en vectores columna. Por tanto, V es en adelante un espacio vectorial recto sobre H. Aun así , se debe tener cuidado debido a la naturaleza no conmutativa de H. Los detalles (en su mayoría obvios) se omiten porque se utilizarán representaciones complejas.

Cuando se trata de grupos cuaterniónicos, es conveniente representarlos utilizando matrices complejas de 2 × 2 ,

Con esta representación, la multiplicación cuaterniónica se convierte en multiplicación de matrices y la conjugación cuaterniónica pasa a tomar el adjunto hermitiano. Además, si un cuaternión según la codificación compleja q = x + j y se da como un vector columna ( x , y ) ^T , entonces la multiplicación desde la izquierda por una representación matricial de un cuaternión produce un nuevo vector columna que representa el cuaternión correcto. . Esta representación difiere ligeramente de una representación más común que se encuentra en el artículo del cuaternión . La convención más común forzaría la multiplicación desde la derecha en una matriz de filas para lograr lo mismo.

Por cierto, la representación anterior deja claro que el grupo de cuaterniones unitarios ( α α + β β = 1 = det Q ) es isomorfo a SU(2) .

Las matrices cuaterniónicas n × n pueden, por extensión obvia, representarse mediante matrices de bloques de 2 n × 2 n ^{de números complejos. [16]} Si uno acepta representar un vector de columna cuaterniónico n ×1 mediante un vector de columna 2 n ×1 con números complejos de acuerdo con la codificación anterior, siendo los n números superiores α _i y los n inferiores β i _, entonces una matriz cuaterniónica n × n se convierte en una matriz compleja 2 n × 2 n exactamente de la forma dada anteriormente, pero ahora con matrices α y β n × n . Más formalmente

Una matriz T ∈ GL(2 n , C ) tiene la forma mostrada en ( 8 ) si y sólo si J _n T = TJ _n . Con estas identificaciones,

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.}$

El espacio M _n ( H ) ⊂ M _{2 n} ( C ) es un álgebra real, pero no es un subespacio complejo de M _{2 n} ( C ) . La multiplicación (desde la izquierda) por i en M _n ( H ) usando la multiplicación cuaterniónica de entrada y luego mapeando a la imagen en M _{2 n} ( C ) produce un resultado diferente que multiplicar de entrada por i directamente en M _{2 n} ( C ) . Las reglas de multiplicación cuaterniónica dan i ( X + j Y ) = ( i X ) + j (− i Y ) donde los nuevos X e Y están dentro de los paréntesis.

La acción de las matrices cuaterniónicas sobre vectores cuaterniónicos ahora se representa mediante cantidades complejas, pero por lo demás es la misma que para las matrices y vectores "ordinarios". Los grupos cuaterniónicos están así incluidos en M _{2 n} ( C ) donde n es la dimensión de las matrices cuaterniónicas.

El determinante de una matriz cuaterniónica se define en esta representación como el determinante complejo ordinario de su matriz representativa. La naturaleza no conmutativa de la multiplicación cuaterniónica sería, en la representación cuaterniónica de matrices, ambigua. La forma en que M _n ( H ) está incrustada en M _{2 n} ( C ) no es única, pero todas esas incrustaciones están relacionadas a través de g ↦ AgA ⁻¹ , g ∈ GL(2 n , C ) para A ∈ O(2 n , C ) , sin afectar el determinante. ^[17] El nombre de SL( n , H ) en esta forma compleja es SU ^∗ (2 n ) .

A diferencia del caso de C , tanto el caso hermitiano como el sesgado hermitiano aportan algo nuevo cuando se considera H , por lo que estos casos se consideran por separado.

GL( norte , H ) y SL( norte , H )

Bajo la identificación anterior,

${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J,\mathrm {det} \quad g\neq 0\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).}$

Su álgebra de Lie gl ( n , H ) es el conjunto de todas las matrices en la imagen del mapeo M _n ( H ) ↔ M _{2 n} ( C ) de arriba,

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).}$

El grupo lineal especial cuaterniónico viene dado por

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),}$

donde el determinante se toma en las matrices en C ^{2 n} . Alternativamente, se puede definir esto como el núcleo del determinante Dieudonné . El álgebra de Lie es ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).}$

Sp( p , q ) – el grupo unitario cuaterniónico

Como arriba en el caso complejo, la forma normal es

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}}$

y el número de signos más es independiente de la base. Cuando V = H ⁿ con esta forma, Sp( φ ) = Sp( p , q ) . La razón de la notación es que el grupo se puede representar, usando la prescripción anterior, como un subgrupo de Sp( n , C ) preservando una forma hermitiana compleja de firma (2 p , 2 q ) ^[18] Si p o q = 0 el grupo se denota U( n , H ) . A veces se le llama grupo hiperunitario .

En notación cuaterniónica,

${\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}=I_{p,q}}$

lo que significa que las matrices cuaterniónicas de la forma

satisfará

${\displaystyle \Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},}$

consulte la sección sobre u ( p , q ) . Se debe tener precaución al tratar con la multiplicación de matrices cuaterniónicas, pero aquí solo intervienen I y - I y estos conmutan con cada matriz de cuaterniones. Ahora aplique la prescripción ( 8 ) a cada bloque,

${\displaystyle {\mathcal {X}}={\begin{pmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Y}}={\begin{pmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{pmatrix}},}$

y las relaciones en ( 9 ) se cumplirán si

${\displaystyle X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}.}$

El álgebra de Lie se convierte en

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}\right|X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.}$

El grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\quad K=\operatorname {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)\right\}.}$

Volviendo a la forma normal de φ ( w , z ) para Sp( p , q ) , haga las sustituciones w → u + jv y z → x + jy con u, v, x, y ∈ C ⁿ . Entonces

${\displaystyle \varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\quad K_{p,q}=\mathrm {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)}$

visto como una forma con valor H en C ^{2 n} . ^[19] Así, los elementos de Sp( p , q ) , vistos como transformaciones lineales de C ^{2 n} , conservan tanto una forma hermitiana de firma (2 p , 2 q ) como una forma sesgada-simétrica no degenerada. Ambas formas toman valores puramente complejos y, debido al prefactor de j de la segunda forma, se conservan por separado. Esto significa que

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right)\cap \mathrm {Sp} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2}\right)}$

y esto explica tanto el nombre del grupo como la notación.

O ^∗ (2 n ) = O( n , H)- grupo ortogonal cuaterniónico

La forma normal para una forma sesgada-hermitiana está dada por

${\displaystyle \varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},}$

donde j es el tercer cuaternión base en el listado ordenado ( 1 , i , j , k ) . En este caso, Aut( φ ) = O ^∗ (2 n ) puede realizarse, utilizando la codificación matricial compleja anterior, como un subgrupo de O(2 n , C ) que conserva una forma compleja sesgada-hermitiana no degenerada de firma ( n , n ) . ^[20] De la forma normal se ve que en notación cuaterniónica

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}}$

y de ( 6 ) se sigue que

para V ∈ o (2 norte ) . Ahora pon

${\displaystyle V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)}$

según prescripción médica ( 8 ). La misma prescripción da para Φ ,

${\displaystyle \Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.}$

Ahora la última condición en ( 9 ) en notación compleja dice

${\displaystyle \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.}$

El álgebra de Lie se convierte en

${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},}$

y el grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid \mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\right\}.}$

El grupo SO ^∗ (2 n ) se puede caracterizar como

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta \left({\overline {g}}\right)=g\right\},}$^[21]

donde el mapa θ : GL(2 n , C ) → GL(2 n , C ) está definido por g ↦ − J _{2 n} gJ _{2 n} .

Además, la forma que determina el grupo se puede ver como una forma con valor H en C ^{2 n} . ^[22] Haga las sustituciones x → w ₁ + iw ₂ e y → z ₁ + iz ₂ en la expresión de la forma. Entonces

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).}$

La forma φ ₁ es hermitiana (mientras que la primera forma en el lado izquierdo es sesgada-hermitiana) de firma ( n , n ) . La firma se hace evidente mediante un cambio de base de ( e , f ) a (( e + i f )/ √ 2 , ( e − i f )/ √ 2 ) donde e , f son los primeros y últimos n vectores de base respectivamente. La segunda forma, φ ₂ es definida positiva simétrica. Así, debido al factor j , O ^∗ (2 n ) preserva ambos por separado y se puede concluir que

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right),}$

y se explica la notación "O".

Grupos clásicos sobre campos generales o álgebras.

Los grupos clásicos, considerados más ampliamente en álgebra, proporcionan grupos matriciales particularmente interesantes . Cuando el campo  F de los coeficientes del grupo de matrices es un número real o un número complejo, estos grupos son simplemente los grupos de Lie clásicos. Cuando el campo fundamental es un campo finito , entonces los grupos clásicos son grupos de tipo Lie . Estos grupos juegan un papel importante en la clasificación de grupos finitos simples . Además, se pueden considerar grupos clásicos sobre un álgebra asociativa unital  R sobre F ; donde R  =  H (un álgebra sobre reales) representa un caso importante. En aras de la generalidad, el artículo se referirá a grupos sobre R , donde R puede ser el propio campo de tierra  F.

Considerando su teoría abstracta de grupos, muchos grupos lineales tienen un subgrupo " especial ", que generalmente consiste en los elementos del determinante 1 sobre el campo base, y la mayoría de ellos tienen cocientes " proyectivos " asociados, que son los cocientes por el centro del grupo. . Para grupos ortogonales en la característica 2, "S" tiene un significado diferente.

La palabra " general " delante del nombre de un grupo normalmente significa que al grupo se le permite multiplicar algún tipo de forma por una constante, en lugar de dejarla fija. El subíndice n suele indicar la dimensión del módulo sobre el que actúa el grupo; es un espacio vectorial si R  =  F . Advertencia: esta notación choca un poco con la n de los diagramas de Dynkin, que es el rango.

Grupos lineales generales y especiales.

El grupo lineal general GL _n ( R ) es el grupo de todos los automorfismos R -lineales de R ⁿ . Hay un subgrupo: el grupo lineal especial SL _n ( R ), y sus cocientes: el grupo lineal general proyectivo PGL _n ( R ) = GL _n ( R )/Z(GL _n ( R )) y el grupo lineal especial proyectivo PSL _norte ( R ) = SL _norte ( R )/Z(SL _norte ( R )). El grupo lineal especial proyectivo PSL _n ( F ) sobre un campo F es simple para n  ≥ 2, excepto en los dos casos en los que n  = 2 y el campo tiene orden ^{[ aclaración necesaria ]} 2 o 3.

Grupos unitarios

El grupo unitario U _n ( R ) es un grupo que conserva una forma sesquilineal en un módulo. Hay un subgrupo, el grupo unitario especial SU _n ( R ) y sus cocientes el grupo unitario proyectivo PU _n ( R ) = U _n ( R )/Z(U _n ( R )) y el grupo unitario especial proyectivo PSU _n ( R ) = SU _norte ( R )/Z(SU _norte ( R ))

Grupos simplécticos

El grupo simpléctico Sp _{2 n} ( R ) conserva una forma simétrica sesgada en un módulo. Tiene un cociente, el grupo simpléctico proyectivo PSp _{2 n} ( R ). El grupo simpléctico general GSp _{2 n} ( R ) consta de los automorfismos de un módulo que multiplica una forma simétrica sesgada por algún escalar invertible. El grupo simpléctico proyectivo PSp _{2 n} ( F _q ) sobre un cuerpo finito es simple para n  ≥ 1, excepto en los casos de PSp ₂ sobre campos de dos y tres elementos.

Grupos ortogonales

El grupo ortogonal O _n ( R ) conserva una forma cuadrática no degenerada en un módulo. Hay un subgrupo, el grupo ortogonal especial SO _n ( R ) y cocientes, el grupo ortogonal proyectivo PO _n ( R ) y el grupo ortogonal especial proyectivo PSO _n ( R ). En la característica 2 el determinante es siempre 1, por lo que el grupo ortogonal especial a menudo se define como el subgrupo de elementos del invariante 1 de Dickson.

Hay un grupo sin nombre a menudo denotado por Ω _n ( R ) que consta de los elementos del grupo ortogonal de elementos de la norma de espinor 1, con los correspondientes subgrupos y grupos cocientes SΩ _n ( R ), PΩ _n ( R ), PSΩ _n ( R ). (Para formas cuadráticas definidas positivas sobre los reales, el grupo Ω resulta ser el mismo que el grupo ortogonal, pero en general es más pequeño). También hay una doble cobertura de Ω _n ( R ), llamada grupo de pines Pin _n ( R ), y tiene un subgrupo llamado grupo de espín Spin _n ( R ). El grupo ortogonal general GO _n ( R ) consta de los automorfismos de un módulo que multiplica una forma cuadrática por algún escalar invertible.

Convenciones de notación

Contraste con grupos de Lie excepcionales

En contraste con los grupos de Lie clásicos están los grupos de Lie excepcionales , G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ , que comparten sus propiedades abstractas, pero no su familiaridad. ^[23] Estos sólo fueron descubiertos alrededor de 1890 en la clasificación de las álgebras de Lie simples sobre los números complejos por Wilhelm Killing y Élie Cartan .

Notas

1. Aquí, especial significa el subgrupo del grupo de automorfismo completo cuyos elementos tienen el determinante 1.
2. Rossmann 2002 p. 94.
3. Weil 1939
4. Rossmann 2002 p. 91.
5. Rossmann 2002 p. 94
6. Rossmann 2002 p. 103
7. Goodman & Wallach 2009 Ver final del capítulo 1
8. Rossmann 2002p. 93.
9. Rossmann 2002 p. 105
10. Rossmann 2002 p. 91
11. Rossmann 2002 p. 92
12. Rossmann 2002 p. 105
13. Rossmann 2002 p. 107.
14. Rossmann 2002 p. 93
15. Rossmann 2002 p. 95.
16. Rossmann 2002 p. 94.
17. Goodman & Wallach 2009 Ejercicio 14, Sección 1.1.
18. Rossmann 2002 p. 94.
19. Goodman & Wallach 2009 Ejercicio 11, Capítulo 1.
20. Rossmann 2002 p. 94.
21. Goodman y Wallach 2009 p.11.
22. Goodman & Wallach 2009 Ejercicio 12 Capítulo 1.
23. Wybourne, BG (1974). Grupos clásicos para físicos , Wiley-Interscience. ISBN  0471965057 .

Referencias

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• Buen hombre, huevas; Wallach, Nolan R. (2009), Simetría, representaciones e invariantes , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 255, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-79851-6
• Knapp, AW (2002). Grupos de mentiras más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. vol. 120 (2ª ed.). Boston·Basilea·Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.
• VL Popov (2001) [1994], "Grupo clásico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Rossmann, Wulf (2002), Grupos de mentiras: una introducción a través de grupos lineales , Textos de posgrado en matemáticas de Oxford, Publicaciones científicas de Oxford, ISBN 0-19-859683-9
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