Forma sesquilineal

Generalización de una forma bilineal

En matemáticas , una forma sesquilineal es una generalización de una forma bilineal que, a su vez, es una generalización del concepto de producto escalar del espacio euclidiano . Una forma bilineal es lineal en cada uno de sus argumentos, pero una forma sesquilineal permite que uno de los argumentos se "tuerza" de manera semilineal , de ahí el nombre; que se origina del prefijo numérico latino sesqui- que significa "uno y medio". El concepto básico del producto escalar -producir un escalar a partir de un par de vectores- se puede generalizar permitiendo un rango más amplio de valores escalares y, quizás simultáneamente, ampliando la definición de un vector.

Un caso especial motivador es una forma sesquilineal en un espacio vectorial complejo , V. Se trata de una función V × V → C que es lineal en un argumento y "tuerce" la linealidad del otro argumento mediante una conjugación compleja (lo que se denomina antilineal en el otro argumento). Este caso surge de forma natural en aplicaciones de física matemática. Otro caso importante permite que los escalares provengan de cualquier campo y el giro lo proporciona un automorfismo de campo .

Una aplicación en geometría proyectiva requiere que los escalares provengan de un anillo de división (cuerpo sesgado), K , y esto significa que los "vectores" deben ser reemplazados por elementos de un K -módulo . En un contexto muy general, se pueden definir formas sesquilíneas sobre R -módulos para anillos arbitrarios R .

Introducción informal

Las formas sesquilíneas abstraen y generalizan la noción básica de una forma hermítica en un espacio vectorial complejo . Las formas hermíticas se ven comúnmente en física , como el producto interno en un espacio de Hilbert complejo . En tales casos, la forma hermítica estándar en C ⁿ está dada por

${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$

donde denota el conjugado complejo de Este producto puede generalizarse a situaciones en las que no se trabaja con una base ortonormal para C ⁿ , o incluso con ninguna base. Al insertar un factor adicional de en el producto, se obtiene la forma antihermítica , definida con más precisión a continuación. No hay ninguna razón particular para restringir la definición a los números complejos; puede definirse para anillos arbitrarios que tengan un antiautomorfismo , entendido informalmente como un concepto generalizado de "conjugación compleja" para el anillo. ${\displaystyle {\overline {w}}_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}~.}$ ${\displaystyle i}$

Convención

Las convenciones difieren en cuanto a qué argumento debe ser lineal. En el caso conmutativo, tomaremos el primero como lineal, como es común en la literatura matemática, excepto en la sección dedicada a las formas sesquilineales en espacios vectoriales complejos. Allí usamos la otra convención y tomamos el primer argumento como conjugado-lineal (es decir, antilineal) y el segundo como lineal. Esta es la convención utilizada principalmente por los físicos ^[1] y se origina en la notación bra-ket de Dirac en mecánica cuántica . También es consistente con la definición del producto (euclidiano) habitual de como . ${\displaystyle w,z\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle w^{*}z}$

En el contexto no conmutativo más general, con módulos derechos tomamos el segundo argumento como lineal y con módulos izquierdos tomamos el primer argumento como lineal.

Espacios vectoriales complejos

Suposición : En esta sección, las formas sesquilíneas son antilineales en su primer argumento y lineales en su segundo.

Sobre un espacio vectorial complejo, una función es sesquilineal si ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi :V\times V\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)={\overline {a}}b\,\varphi (x,y)\end{aligned}}}$

para todos y todas Aquí, está el conjugado complejo de un escalar ${\displaystyle x,y,z,w\in V}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle {\overline {a}}}$ ${\displaystyle a.}$

Una forma sesquilínea compleja también puede verse como un mapa bilineal complejo donde es el espacio vectorial conjugado complejo a Por la propiedad universal de los productos tensoriales, estos están en correspondencia uno a uno con los mapas lineales complejos $${\displaystyle {\overline {V}}\times V\to \mathbb {C} }$$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle V.}$ $${\displaystyle {\overline {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .}$$

Para un fijo, la función es una función lineal en (es decir, un elemento del espacio dual ). Asimismo, la función es una función lineal conjugada en ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle w\mapsto \varphi (z,w)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle w\mapsto \varphi (w,z)}$ ${\displaystyle V.}$

Dada cualquier forma sesquilínea compleja en podemos definir una segunda forma sesquilínea compleja mediante la transpuesta conjugada : En general, y serán diferentes. Si son iguales, se dice que son hermíticas . Si son negativas entre sí, se dice que son antihermíticas . Toda forma sesquilínea se puede escribir como una suma de una forma hermítica y una forma antihermítica. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Representación matricial

Si es un espacio vectorial complejo de dimensión finita, entonces, en relación con cualquier base , una forma sesquilineal se representa mediante una matriz y se da por donde es la transpuesta conjugada . Los componentes de la matriz se dan por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle A,}$ $${\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}{\overline {w_{i}}}z_{j}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\dagger }Az.}$$ ${\displaystyle w^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).}$

Forma hermítica

El término forma hermítica también puede referirse a un concepto diferente al que se explica a continuación: puede referirse a una determinada forma diferencial en una variedad hermítica .

Una forma hermítica compleja (también llamada forma sesquilínea simétrica ) es una forma sesquilínea tal que La forma hermítica estándar en está dada (nuevamente, usando la convención de "física" de linealidad en la segunda variable y linealidad conjugada en la primera variable) por De manera más general, el producto interno en cualquier espacio de Hilbert complejo es una forma hermítica. ${\displaystyle h:V\times V\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ $${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$$

Se introduce un signo menos en la forma hermítica para definir el grupo SU(1,1) . ${\displaystyle ww^{*}-zz^{*}}$

Un espacio vectorial con forma hermítica se denomina espacio hermítico . ${\displaystyle (V,h)}$

La representación matricial de una forma hermítica compleja es una matriz hermítica .

Una forma hermítica compleja aplicada a un único vector es siempre un número real . Se puede demostrar que una forma sesquilineal compleja es hermítica si y solo si la forma cuadrática asociada es real para todos los $${\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}$$ ${\displaystyle z\in V.}$

Forma hemihermítica oblicua

Una forma antihermítica compleja (también llamada forma sesquilínea antisimétrica ) es una forma sesquilínea compleja tal que Cada forma antihermítica compleja puede escribirse como la unidad imaginaria multiplicada por una forma hermítica. ${\displaystyle s:V\times V\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.}$$ ${\displaystyle i:={\sqrt {-1}}}$

La representación matricial de una forma antihermítica compleja es una matriz antihermítica .

Una forma antihermítica compleja aplicada a un solo vector es siempre un número puramente imaginario . $${\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}$$

Sobre un anillo de división

Esta sección se aplica sin cambios cuando el anillo de división K es conmutativo . También se aplica una terminología más específica: el anillo de división es un cuerpo, el antiautomorfismo también es un automorfismo y el módulo derecho es un espacio vectorial. Lo siguiente se aplica a un módulo izquierdo con un reordenamiento adecuado de expresiones.

Definición

Una forma σ -sesquilínea sobre un K -módulo recto M es una función biaditiva φ  : M × M → K con un antiautomorfismo asociado σ de un anillo de división K tal que, para todos los x , y en M y todos los α , β en K ,

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\sigma (\alpha )\,\varphi (x,y)\,\beta .}$

El antiautomorfismo asociado σ para cualquier forma sesquilínea distinta de cero φ está determinado únicamente por φ .

Ortogonalidad

Dada una forma sesquilínea φ sobre un módulo M y un subespacio ( submódulo ) W de M , el complemento ortogonal de W con respecto a φ es

${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.}$

De manera similar, x ∈ M es ortogonal a y ∈ M con respecto a φ , escrito x ⊥ _φ y (o simplemente x ⊥ y si φ se puede inferir del contexto), cuando φ ( x , y ) = 0 . Esta relación no necesita ser simétrica , es decir, x ⊥ y no implica y ⊥ x (pero vea § Reflexividad a continuación).

Reflexividad

Una forma sesquilínea φ es reflexiva si, para todo x , y en M ,

${\displaystyle \varphi (x,y)=0}$implica ${\displaystyle \varphi (y,x)=0.}$

Es decir, una forma sesquilínea es reflexiva precisamente cuando la relación de ortogonalidad derivada es simétrica.

Variaciones hermíticas

Una forma σ -sesquilínea φ se llama ( σ , ε ) -hermítica si existe ε en K tal que, para todo x , y en M ,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))\,\varepsilon .}$

Si ε = 1 , la forma se llama σ - Hermitiana , y si ε = −1 , se llama σ - anti-Hermitiana . (Cuando σ está implícito, respectivamente simplemente Hermitiana o anti-Hermitiana .)

Para una forma ( σ , ε ) -hermítica distinta de cero, se deduce que para todo α en K ,

${\displaystyle \sigma (\varepsilon )=\varepsilon ^{-1}}$

${\displaystyle \sigma (\sigma (\alpha ))=\varepsilon \alpha \varepsilon ^{-1}.}$

También se deduce que φ ( x , x ) es un punto fijo de la función α ↦ σ ( α ) ε . Los puntos fijos de esta función forman un subgrupo del grupo aditivo de K .

Una forma ( σ , ε ) -hermitiana es reflexiva, y cada forma reflexiva σ -sesquilineal es ( σ , ε ) -hermitiana para algunos ε . ^{[2] [3] [4] [5]}

En el caso especial en que σ es la función identidad (es decir, σ = id ), K es conmutativa, φ es una forma bilineal y ε ² = 1 . Entonces, para ε = 1, la forma bilineal se denomina simétrica , y para ε = −1 se denomina antisimétrica . ^[6]

Ejemplo

Sea V el espacio vectorial tridimensional sobre el cuerpo finito F = GF( q ² ) , donde q es una potencia prima . Con respecto a la base estándar podemos escribir x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) e y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) y definir la función φ por:

${\displaystyle \varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.}$

La función σ  : t ↦ t ^q es un automorfismo involutivo de F . La función φ es entonces una forma σ -sesquilineal. La matriz M _φ asociada a esta forma es la matriz identidad . Esta es una forma hermítica.

En geometría proyectiva

Supuesto : En esta sección, las formas sesquilíneas son antilineales (resp. lineales ) en su segundo (resp. primero) argumento.

En una geometría proyectiva G , una permutación δ de los subespacios que invierte la inclusión, es decir

S ⊆ T ⇒ T ^δ ⊆ S ^δ para todos los subespacios S , T de G ,

se llama correlación . Un resultado de Birkhoff y von Neumann (1936) ^[7] muestra que las correlaciones de las geometrías proyectivas desarguesianas corresponden a las formas sesquilíneas no degeneradas en el espacio vectorial subyacente. ^[5] Una forma sesquilínea φ es no degenerada si φ ( x , y ) = 0 para todo y en V (si y ) solo si x = 0 .

Para lograr la generalidad total de esta afirmación, y puesto que toda geometría proyectiva desarguesiana puede ser coordinada por un anillo de división , Reinhold Baer extendió la definición de una forma sesquilínea a un anillo de división, lo que requiere reemplazar los espacios vectoriales por R -módulos . ^[8] (En la literatura geométrica, estos todavía se conocen como espacios vectoriales izquierdos o derechos sobre campos oblicuos). ^[9]

Sobre anillos arbitrarios

La especialización de la sección anterior en campos sesgados fue una consecuencia de la aplicación a la geometría proyectiva, y no intrínseca a la naturaleza de las formas sesquilineales. Solo se requieren las modificaciones menores necesarias para tener en cuenta la no conmutatividad de la multiplicación para generalizar la versión de campo arbitrario de la definición a anillos arbitrarios.

Sea R un anillo , V un R - módulo y σ un antiautomorfismo de R.​

Una función φ  : V × V → R es σ -sesquilineal si

${\displaystyle \varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)}$

${\displaystyle \varphi (cx,dy)=c\,\varphi (x,y)\,\sigma (d)}$

para todos los x , y , z , w en V y todos los c , d en R.

Un elemento x es ortogonal a otro elemento y con respecto a la forma sesquilínea φ (escrita x ⊥ y ) si φ ( x , y ) = 0 . Esta relación no necesita ser simétrica, es decir, x ⊥ y no implica y ⊥ x .

Una forma sesquilínea φ  : V × V → R es reflexiva (u ortosimétrica ) si φ ( x , y ) = 0 implica φ ( y , x ) = 0 para todo x , y en V .

Una forma sesquilínea φ  : V × V → R es hermítica si existe σ tal que ^{[10] : 325}

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))}$

para todo x , y en V. Una forma hermítica es necesariamente reflexiva, y si no es cero, el antiautomorfismo asociado σ es una involución (es decir, de orden 2).

Puesto que para un antiautomorfismo σ tenemos σ ( st ) = σ ( t ) σ ( s ) para todo s , t en R , si σ = id , entonces R debe ser conmutativo y φ es una forma bilineal. En particular, si, en este caso, R es un campo oblicuo, entonces R es un cuerpo y V es un espacio vectorial con una forma bilineal.

Un antiautomorfismo σ  : R → R también puede verse como un isomorfismo R → R ^op , donde R ^op es el anillo opuesto de R , que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma adición, pero cuya operación de multiplicación ( ∗ ) está definida por a ∗ b = ba , donde el producto de la derecha es el producto en R . De esto se deduce que un R -módulo derecho (izquierdo) V puede convertirse en un R ^op -módulo izquierdo (derecho), V ^o . ^[11] Por lo tanto, la forma sesquilínea φ  : V × V → R puede verse como una forma bilineal φ ′ : V × V ^o → R .

Véase también

• *-anillo

Notas

1. nota al pie 1 en Anthony Knapp Álgebra básica (2007) pág. 255
2. "Combinatorics", Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, celebradas en el castillo de Nijenrode, Breukelen, Países Bajos, del 8 al 20 de julio de 1974 , D. Reidel : 456–457, 1975– [1]
3. Forma sesquilineal en la Enciclopedia de Matemáticas
4. Simeon Ball (2015), Geometría finita y aplicaciones combinatorias , Cambridge University Press , pág. 28– [2]
5. Dembowski 1968, pág. 42
6. Cuando char K = 2 , las formas bilineales antisimétricas y simétricas coinciden, ya que entonces 1 = −1 . En todos los casos, las formas bilineales alternas son un subconjunto de las formas bilineales antisimétricas y no es necesario considerarlas por separado.
7. Birkhoff, G.; von Neumann, J. (1936), "La lógica de la mecánica cuántica", Anales de Matemáticas , 37 (4): 823–843, doi :10.2307/1968621, JSTOR  1968621
8. Baer, ​​Reinhold (2005) [1952], Álgebra lineal y geometría proyectiva , Dover, ISBN 978-0-486-44565-6
9. La terminología de Baer ofrece una tercera forma de referirse a estas ideas, por lo que debe leerse con cautela.
10. Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Geometría proyectiva moderna , Kluwer Academic Publishers
11. Jacobson 2009, pág. 164

Referencias

• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, Sr.  0233275
• Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), Geometría lineal (2.ª ed.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
• Jacobson, Nathan J. (2009) [1985], Álgebra básica I (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

Enlaces externos

• "Forma sesquilineal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]