Automorfismo

Isomorfismo de un objeto a sí mismo.

Un automorfismo del grupo de cuatro de Klein que se muestra como un mapeo entre dos gráficos de Cayley , una permutación en notación cíclica y un mapeo entre dos tablas de Cayley .

En matemáticas , un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático a sí mismo. Es, en cierto sentido, una simetría del objeto y una forma de mapear el objeto a sí mismo preservando toda su estructura. El conjunto de todos los automorfismos de un objeto forma un grupo , llamado grupo de automorfismos . Es, en términos generales, el grupo de simetría del objeto.

Definición

En una estructura algebraica como un grupo , un anillo o un espacio vectorial , un automorfismo es simplemente un homomorfismo biyectivo de un objeto en sí mismo. (La definición de homomorfismo depende del tipo de estructura algebraica; véase, por ejemplo, homomorfismo de grupo , homomorfismo de anillo y operador lineal ).

De manera más general, para un objeto de alguna categoría , un automorfismo es un morfismo del objeto respecto de sí mismo que tiene un morfismo inverso; es decir, un morfismo es un automorfismo si existe un morfismo tal que donde está el morfismo de identidad de X. Para estructuras algebraicas, las dos definiciones son equivalentes; En este caso, el morfismo de identidad es simplemente la función de identidad y, a menudo, se denomina automorfismo trivial. ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle g:X\to X}$ ${\displaystyle g\circ f=f\circ g=\operatorname {id} _{X},}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$

Grupo de automorfismo

Los automorfismos de un objeto X forman un grupo bajo composición de morfismos , que se denomina grupo de automorfismos de X. Esto resulta directamente de la definición de una categoría.

El grupo de automorfismo de un objeto X en una categoría C a menudo se denota como Aut _C ( X ), o simplemente Aut( X ) si la categoría se desprende del contexto.

Ejemplos

• En teoría de conjuntos , una permutación arbitraria de los elementos de un conjunto X es un automorfismo. El grupo de automorfismo de X también se llama grupo simétrico en X.
• En aritmética elemental , el conjunto de números enteros , Z , considerados como un grupo bajo suma, tiene un automorfismo no trivial único: la negación. Sin embargo, considerado como un anillo, sólo tiene un automorfismo trivial. En términos generales, la negación es un automorfismo de cualquier grupo abeliano , pero no de un anillo o campo.
• Un automorfismo de grupo es un isomorfismo de grupo de un grupo a sí mismo. Informalmente, es una permutación de los elementos del grupo de modo que la estructura permanece sin cambios. Para cada grupo G existe un homomorfismo de grupo natural G → Aut( G ) cuya imagen es el grupo Inn( G ) de automorfismos internos y cuyo núcleo es el centro de G . Por tanto, si G tiene un centro trivial , puede incluirse en su propio grupo de automorfismos. ^[1]
• En álgebra lineal , un endomorfismo de un espacio vectorial V es un operador lineal V → V. Un automorfismo es un operador lineal invertible en V. Cuando el espacio vectorial es de dimensión finita, el grupo de automorfismo de V es el mismo que el grupo lineal general , GL( V ). (La estructura algebraica de todos los endomorfismos de V es en sí misma un álgebra sobre el mismo campo base que V , cuyos elementos invertibles consisten precisamente en GL( V ).)
• Un automorfismo de campo es un homomorfismo de anillo biyectivo de un campo a sí mismo.
  • El cuerpo de los números racionales no tiene otro automorfismo que el de identidad, ya que un automorfismo debe fijar la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 ; la suma de un número finito de 1 debe ser fija, así como los inversos aditivos de estas sumas (es decir, el automorfismo fija todos los números enteros ); finalmente, dado que todo número racional es el cociente de dos números enteros, todos los números racionales deben fijarse mediante cualquier automorfismo. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
  • El campo de los números reales no tiene otro automorfismo que el de la identidad. De hecho, los números racionales deben fijarse mediante cada automorfismo, como se indicó anteriormente; un automorfismo debe preservar las desigualdades ya que es equivalente y esta última propiedad es preservada por todo automorfismo; finalmente todo número real debe ser fijo ya que es el límite superior mínimo de una secuencia de números racionales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle \exists z\mid y-x=z^{2},}$
  • El campo de los números complejos tiene un automorfismo no trivial único, que remite a la conjugación compleja , pero hay infinitos ( incontables ) muchos automorfismos "salvajes", si se asume el axioma de elección . ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
  • El estudio de los automorfismos de las extensiones de campos algebraicos es el punto de partida y el objeto principal de la teoría de Galois .
• El grupo de automorfismos de los cuaterniones ( H ) como anillo son los automorfismos internos, según el teorema de Skolem-Noether : mapas de la forma a ↦ bab ⁻¹ . ^[4] Este grupo es isomorfo a SO(3) , el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional.
• El grupo de automorfismo de los octoniones ( O ) es el excepcional grupo de Lie G 2 .
• En teoría de grafos, un automorfismo de un gráfico es una permutación de los nodos que preserva los bordes y los no bordes. En particular, si dos nodos están unidos por una arista, también lo están sus imágenes bajo la permutación.
• En geometría , un automorfismo puede denominarse movimiento del espacio. También se utiliza terminología especializada:
  • En geometría métrica, un automorfismo es una autoisometría . El grupo de automorfismo también se llama grupo de isometría .
  • En la categoría de superficies de Riemann , un automorfismo es un mapa biholomórfico (también llamado mapa conforme ), de una superficie a sí misma. Por ejemplo, los automorfismos de la esfera de Riemann son transformaciones de Möbius .
  • Un automorfismo de una variedad diferenciable M es un difeomorfismo de M hacia sí mismo. El grupo de automorfismo a veces se denomina Diff( M ).
  • En topología , los morfismos entre espacios topológicos se denominan mapas continuos , y un automorfismo de un espacio topológico es un homeomorfismo del espacio respecto de sí mismo, o autohomeomorfismo (ver grupo de homeomorfismos ). En este ejemplo no basta con que un morfismo sea biyectivo para ser isomorfismo.

Historia

Uno de los primeros automorfismos de grupo (automorfismo de un grupo, no simplemente un grupo de automorfismos de puntos) fue dado por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosiano , donde descubrió un automorfismo de orden dos, ^[5] escribiendo :

de modo que se trata de una nueva raíz quinta de unidad, conectada con la raíz quinta anterior por relaciones de perfecta reciprocidad. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

Automorfismos internos y externos.

En algunas categorías, en particular grupos , anillos y álgebras de Lie , es posible separar los automorfismos en dos tipos, llamados automorfismos "internos" y "externos".

En el caso de grupos, los automorfismos internos son las conjugaciones de los elementos del propio grupo. Para cada elemento a de un grupo G , la conjugación por a es la operación φ _a  : G → G dada por φ _a ( g ) = aga ⁻¹ (o a ⁻¹ ga ; el uso varía). Se puede comprobar fácilmente que la conjugación por a es un automorfismo de grupo. Los automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut( G ), denotado por Inn( G ); esto se llama lema de Goursat .

Los demás automorfismos se denominan automorfismos externos . El grupo cociente Aut( G ) / Inn( G ) normalmente se denota por Out( G ); los elementos no triviales son las clases laterales que contienen los automorfismos externos.

La misma definición se cumple en cualquier anillo unitario o álgebra donde a es cualquier elemento invertible . Para las álgebras de Lie la definición es ligeramente diferente.

Ver también

• Antiautomorfismo
• Automorfismo (en Sudokus)
• Subgrupo característico
• Anillo de endomorfismo
• Automorfismo de Frobenius
• Morfismo
• Automorfismo de orden (en teoría del orden ).
• Automorfismo que preserva la relación
• Transformada fraccionaria de Fourier

Referencias

1. PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorfismos". Fundamentos matemáticos de la ingeniería computacional (edición de traducción de Felix Pahl). Saltador. pag. 376.ISBN​ 3-540-67995-2.
2. Yale, Paul B. (mayo de 1966). «Automorfismos de los Números Complejos» (PDF) . Revista Matemáticas . 39 (3): 135-141. doi :10.2307/2689301. JSTOR  2689301.
3. Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2ª ed.), Cambridge University Press, págs. 22-23, ISBN 0-521-00551-5
4. Manual de álgebra , vol. 3, Elsevier , 2003, pág. 453
5. Señor William Rowan Hamilton (1856). «Memorando sobre un nuevo Sistema de Raíces de Unidad» (PDF) . Revista Filosófica . 12 : 446. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.

enlaces externos

• Automorfismo en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Automorfismo". MundoMatemático .