mapa bilineal

Función de dos vectores lineales en cada argumento.

En matemáticas , una aplicación bilineal es una función que combina elementos de dos espacios vectoriales para producir un elemento de un tercer espacio vectorial, y es lineal en cada uno de sus argumentos. La multiplicación de matrices es un ejemplo.

Definición

Espacios vectoriales

Sean y tres espacios vectoriales sobre el mismo campo base . Un mapa bilineal es una función. ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle B:V\times W\to X}$$

${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle B_{w}}$

$${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$

mapa lineal ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle B_{v}}$

$${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$

${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$

Un mapa de este tipo satisface las siguientes propiedades. ${\displaystyle B}$

• Para cualquier , ${\displaystyle \lambda \in F}$ ${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).}$
• El mapa es aditivo en ambos componentes: si y entonces y ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}$ ${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ ${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

Si y tenemos B ( v , w ) = B ( w , v ) para todos entonces decimos que B es simétrico . Si X es el campo base F , entonces el mapa se llama forma bilineal , que está bien estudiada (por ejemplo: producto escalar , producto interno y forma cuadrática ). ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle v,w\in V,}$

Módulos

La definición funciona sin cambios si en lugar de espacios vectoriales sobre un campo F , usamos módulos sobre un anillo conmutativo R . Se generaliza a funciones n -arias, donde el término adecuado es multilineal .

Para anillos no conmutativos R y S , un módulo R izquierdo M y un módulo S derecho N , un mapa bilineal es un mapa B  : M × N → T con T un ( R , S ) - bimódulo , y para el cual cualquier n en N , m ↦ B ( m , n ) es un homomorfismo de módulo R , y para cualquier m en M , n ↦ B ( m , n ) es un homomorfismo de módulo S. Esto satisface

segundo ( r ⋅ metro , norte ) = r ⋅ segundo ( metro , norte )

segundo ( metro , norte ⋅ s ) = segundo ( metro , norte ) ⋅ s

para todo m en M , n en N , r en R y s en S , además de que B es aditivo en cada argumento.

Propiedades

Una consecuencia inmediata de la definición es que B ( v , w ) = 0 _X siempre que v = 0 _V o w = 0 _W. Esto se puede ver escribiendo el vector cero 0 _V como 0 ⋅ 0 _V (y de manera similar para 0 _W ) y moviendo el escalar 0 "afuera", delante de B , por linealidad.

El conjunto L ( V , W ; X ) de todos los mapas bilineales es un subespacio lineal del espacio ( es decir, espacio vectorial , módulo ) de todos los mapas desde V × W hasta X.

Si V , W , X son de dimensión finita , entonces también lo es L ( V , W ; X ) . Para las formas bilineales, la dimensión de este espacio es tenue V × tenue W (mientras que el espacio L ( V × W ; F ) de formas lineales es de dimensión tenue V + tenue W ). Para ver esto, elija una base para V y W ; entonces cada mapa bilineal puede representarse de forma única mediante la matriz B ( e _i , f _j ) y viceversa. Ahora, si X es un espacio de dimensión superior, obviamente tenemos dim L ( V , W ; X ) = dim V × dim W × dim X . ${\displaystyle X=F,}$

Ejemplos

• La multiplicación de matrices es un mapa bilineal M( m , n ) × M( n , p ) → M( m , p ) .
• Si un espacio vectorial V sobre números reales lleva un producto interno , entonces el producto interno es un mapa bilineal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} .}$
• En general , para un espacio vectorial V sobre un campo F , una forma bilineal en V es lo mismo que un mapa bilineal V × V → F.
• Si V es un espacio vectorial con espacio dual V ^∗ , entonces el mapa de evaluación canónico , b ( f , v ) = f ( v ) es un mapa bilineal desde V ^∗ × V hasta el campo base.
• Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo base F. Si f es miembro de V ^∗ y g es miembro de W ^∗ , entonces b ( v , w ) = f ( v ) g ( w ) define un mapa bilineal V × W → F.
• El producto cruzado es un mapa bilineal. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.}$
• Sea un mapa bilineal y sea un mapa lineal , entonces ( v , u ) ↦ B ( v , Lu ) es un mapa bilineal en V × U. ${\displaystyle B:V\times W\to X}$ ${\displaystyle L:U\to W}$

Continuidad y continuidad separada.

Supongamos que y son espacios vectoriales topológicos y sea un mapa bilineal. Entonces se dice que b es ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$continuo por separado si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. porque todo el mapa dado por es continuo; ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$
2. porque todo el mapa dado por es continuo. ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle X\to Z}$ ${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$

Muchos bilineales continuos por separado que no lo son satisfacen una propiedad adicional: hipocontinuidad . ^[1] Todos los mapas bilineales continuos son hipocontinuos.

Condiciones suficientes para la continuidad

Muchos mapas bilineales que ocurren en la práctica son continuos por separado, pero no todos son continuos. Aquí enumeramos condiciones suficientes para que un mapa bilineal continuo por separado sea continuo.

• Si X es un espacio de Baire e Y es metrizable, entonces cada aplicación bilineal continua por separado es continua. ^[1] ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• Si son los duales fuertes de los espacios de Fréchet , entonces cada mapa bilineal continuo por separado es continuo. ^[1] ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• Si un mapa bilineal es continuo en (0, 0), entonces es continuo en todas partes. ^[2]

Mapa de composición

Sean espacios de Hausdorff localmente convexos y sea el mapa de composición definido por En general, el mapa bilineal no es continuo (sin importar qué topologías se den los espacios de los mapas lineales). Sin embargo, tenemos los siguientes resultados: ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$ ${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$ ${\displaystyle C}$

Asigne a los tres espacios de mapas lineales una de las siguientes topologías:

1. dar a los tres la topología de la convergencia acotada;
2. dar a los tres la topología de la convergencia compacta ;
3. Dé a los tres la topología de la convergencia puntual .

• Si es un subconjunto equicontinuo de entonces la restricción es continua para las tres topologías. ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L(Y;Z)}$ ${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$
• Si es un espacio en forma de barril , entonces para cada secuencia que converge a in y cada secuencia que converge a in la secuencia converge a in ^[1] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L(Y;Z),}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle v\circ u}$ ${\displaystyle L(Y;Z).}$

Ver también

• Producto tensorial  : operación matemática en espacios vectoriales
• Forma sesquilineal  - Generalización de una forma bilineal
• Filtrado bilineal  : método de interpolación de funciones en una cuadrícula 2DPages displaying short descriptions of redirect targets
• Mapa multilineal  : función vectorial de múltiples vectores, lineal en cada argumento

Referencias

1. Trèves 2006, págs. 424–426.
2. Schaefer y Wolff 1999, pág. 118.

Bibliografía

• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

enlaces externos

• "Mapeo bilineal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]