mapa antilineal

Mapa aditivo homogéneo conjugado

En matemáticas , una función entre dos espacios vectoriales complejos se dice que es antilineal o lineal conjugada si ${\displaystyle f:V\to W}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (additivity) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (conjugate homogeneity) }}\\\end{alignedat}}}$$

número complejoconjugado complejo ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s.}$

Los mapas antilineales contrastan con los mapas lineales , que son mapas aditivos que son homogéneos en lugar de homogéneos conjugados . Si los espacios vectoriales son reales , entonces la antilinealidad es lo mismo que la linealidad.

Los mapas antilineales ocurren en la mecánica cuántica en el estudio de la inversión del tiempo y en el cálculo de espinores, donde se acostumbra reemplazar las barras sobre los vectores base y los componentes de los objetos geométricos por puntos colocados sobre los índices. Los mapas antilineales de valores escalares a menudo surgen cuando se trata de productos internos complejos y espacios de Hilbert .

Definiciones y caracterizaciones

Una función se llama antilineal o lineal conjugada si es aditiva y conjugada homogénea . Un funcional antilineal en un espacio vectorial es un mapa antilineal de valor escalar. ${\displaystyle V}$

Una función se llama aditiva si ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y}$$

conjugado homogéneo

$${\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$

homogéneahomogénea ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$

Un mapa antilineal puede describirse de manera equivalente en términos del mapa lineal desde el espacio vectorial conjugado complejo ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {W}}.}$

Ejemplos

Mapa dual antilineal

Dado un espacio vectorial complejo de rango 1, podemos construir un mapa dual antilineal que es un mapa antilineal. ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }$$

${\displaystyle x_{1}+iy_{1}}$ ${\displaystyle x_{1},y_{1}\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}$$

${\displaystyle a_{1},b_{1}.}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

$${\displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}$$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}$$

${\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .}$

Isomorfismo de dual antilineal con dual real

El dual antilineal ^{[1] pg 36} de un espacio vectorial complejo ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$$

${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle \ell :V\to \mathbb {C} }$$

$${\displaystyle \operatorname {Im} (\ell ):V\to \mathbb {R} }$$

$${\displaystyle \lambda :V\to \mathbb {R} }$$

$${\displaystyle \ell (v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)}$$

Propiedades

La combinación de dos aplicaciones antilineales es una aplicación lineal . La clase de mapas semilineales generaliza la clase de mapas antilineales.

Espacio anti-dual

El espacio vectorial de todas las formas antilineales en un espacio vectorial se llama espacio antidual algebraico de Si es un espacio vectorial topológico , entonces el espacio vectorial de todos los funcionales antilineales continuos denotado por se llama espacio antidual continuo o simplemente espacio anti-dual de ^[2] si no puede surgir confusión. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$

Cuando es un espacio normado, entonces la norma canónica en el espacio antidual (continuo) denotado por se define usando esta misma ecuación: ^[2] ${\displaystyle H}$ ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ ${\textstyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}$

$${\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

Esta fórmula es idéntica a la fórmula para la norma dual en cuyo espacio dual continuo está definido por ^[2] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}$$

Isometría canónica entre lo dual y antidual

El conjugado complejo de un funcional se define enviando a Satisface ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}$ ${\textstyle {\overline {f(x)}}.}$

$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}$$

biyección ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$

$${\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}$$

las isometríaslos homeomorfismos ${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}$

Si entonces y este mapa canónico se reduce al mapa de identidad. ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}$

Espacios interiores de productos

Si es un espacio de producto interno , entonces tanto la norma canónica on y on satisfacen la ley del paralelogramo , lo que significa que la identidad de polarización se puede usar para definir un producto interno canónico en y también sobre el cual este artículo denotará mediante las notaciones ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$$

${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$ ${\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }:}$

$${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}$$

Si es un espacio de producto interno , entonces los productos internos en el espacio dual y el espacio antidual denotados respectivamente por y están relacionados por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ ${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}$ ${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}$

$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}$$

$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

Ver también

• Ecuación funcional de Cauchy  - Ecuación funcional
• Conjugado complejo  : operación fundamental con números complejos
• Espacio vectorial conjugado complejo  – Concepto matemáticoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema fundamental de los espacios de Hilbert
• Espacio de producto interno  : generalización del producto escalar; utilizado para definir espacios de Hilbert
• Mapa lineal  - Función matemática, en álgebra lineal
• Similitud matricial
• Teorema de representación de Riesz  - Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert
• Forma sesquilineal  - Generalización de una forma bilineal
• Inversión del tiempo  : simetría de inversión del tiempo en física

Citas

1. Birkenhake, Cristina (2004). Variedades abelianas complejas. Herbert Lange (Segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC  851380558.
2. Trèves 2006, págs. 112-123.

Referencias

• Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (Los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3). 
• Horn y Johnson, Análisis matricial, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (Los mapas antilineales se analizan en la sección 4.6). 
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.