En matemáticas, específicamente en el análisis funcional y la teoría de espacios de Hilbert , el teorema fundamental de los espacios de Hilbert da una condición necesaria y suficiente para que un espacio pre-Hilbert de Hausdorff sea un espacio de Hilbert en términos de la isometría canónica de un espacio pre-Hilbert en su antidual.
Supongamos que H es un espacio vectorial topológico (TVS). Una función f : H → se llama semilineal o antilineal [1] si para todo x , y ∈ H y todos los escalares c ,
El espacio vectorial de todas las funciones antilineales continuas en H se denomina espacio antidual o espacio dual conjugado complejo de H y se denota por (en contraste, el espacio dual continuo de H se denota por ), que convertimos en un espacio normado al dotarlo de la norma canónica (definida de la misma manera que la norma canónica en el espacio dual continuo de H ). [1]
Una forma sesquilínea es una función B : H × H → tal que para todo y ∈ H , la función definida por x ↦ B ( x , y ) es lineal , y para todo x ∈ H , la función definida por y ↦ B ( x , y ) es antilineal . [1] Nótese que en Física , la convención es que una forma sesquilínea es lineal en su segunda coordenada y antilineal en su primera coordenada.
Una forma sesquilínea en H se llama definida positiva si B ( x , x ) > 0 para todo x ∈ H distinto de 0 ; se llama no negativa si B ( x , x ) ≥ 0 para todo x ∈ H . [1] Una forma sesquilínea B en H se llama forma hermítica si además tiene la propiedad de que para todo x , y ∈ H . [1]
Un espacio pre-Hilbert es un par que consiste en un espacio vectorial H y una forma sesquilínea no negativa B en H ; si además esta forma sesquilínea B es definida positiva entonces ( H , B ) se llama espacio pre-Hilbert de Hausdorff . [1] Si B no es negativo entonces induce una seminorma canónica en H , denotada por , definida por x ↦ B ( x , x ) 1/2 , donde si B también es definida positiva entonces esta función es una norma . [1] Esta seminorma canónica convierte cada espacio pre-Hilbert en un espacio seminormado y cada espacio pre-Hilbert de Hausdorff en un espacio normado . La forma sesquilínea B : H × H → es uniformemente continua por separado en cada uno de sus dos argumentos y por lo tanto puede extenderse a una forma sesquilínea continua por separado al completarse H ; Si H es Hausdorff entonces esta completitud es un espacio de Hilbert . [1] Un espacio de Hausdorff pre-Hilbert que es completo se llama espacio de Hilbert .
Supongamos que ( H , B ) es un espacio pre-Hilbert. Si h ∈ H , definimos las funciones canónicas:
La función canónica [1] de H en su antidual es la función
Si ( H , B ) es un espacio pre-Hilbert entonces esta función canónica es lineal y continua; esta función es una isometría sobre un subespacio vectorial del antidual si y sólo si ( H , B ) es un pre-Hilbert de Hausdorff. [1]
Por supuesto, existe una isometría sobreyectiva antilineal canónica que envía una funcional lineal continua f en H a la funcional antilineal continua denotada por f y definida por x ↦ f ( x ) .
