Sistema dual

En matemáticas , un sistema dual , un par dual o una dualidad sobre un cuerpo es una tripleta que consta de dos espacios vectoriales , y , sobre y una función bilineal no degenerada . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$

En matemáticas , la dualidad es el estudio de los sistemas duales y es importante en el análisis funcional . La dualidad desempeña un papel crucial en la mecánica cuántica porque tiene amplias aplicaciones en la teoría de los espacios de Hilbert .

Definición, notación y convenciones

Maridajes

AEl emparejamiento oparsobre un cuerpoes un tripleque también se puede denotar por queconsta de dos espacios vectorialesysobrey unafunción bilinealllamadafunción bilineal asociada con el emparejamiento,^[1]funcióndel emparejamientoo su forma bilineal . Los ejemplos aquí solo describen cuándoson losnúmeros realeso losnúmeros complejos, pero la teoría matemática es general. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle b(X,Y),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Para cada , define y para cada define Cada es un funcional lineal en y cada es un funcional lineal en . Por lo tanto, ambos forman espacios vectoriales de funcionales lineales . ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},}$$

Es una práctica común escribir en lugar de , en la que en algunos casos el emparejamiento puede denotarse por en lugar de . Sin embargo, este artículo reservará el uso de para el mapa de evaluación canónica (definido a continuación) a fin de evitar confusiones para los lectores que no estén familiarizados con este tema. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle b(x,y)}$ ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Emparejamientos duales

Un emparejamiento se llama ${\displaystyle (X,Y,b)}$sistema dual , unpar dual , ^[2] o undualidad sobresi la forma bilineal no es degenerada , lo que significa que satisface los dos axiomas de separación siguientes: ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle Y}$ separa (distingue) puntos de : si es tal que entonces ; o equivalentemente, para todo , el mapa no es idéntico (es decir, existe un tal que para cada ); ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
2. ${\displaystyle X}$ separa (distingue) puntos de : si es tal que entonces ; o equivalentemente, para todo distinto de cero el mapa no es idéntico (es decir, existe un tal que para cada ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$ ${\displaystyle y\in Y}$

En este caso no es degenerado , y se puede decir que coloca y en dualidad (o, redundante pero explícitamente, en dualidad separada ), y se llama el emparejamiento de dualidad de la tripleta . ^{[1] [2]} ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$

Subconjuntos totales

Un subconjunto de se llama ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$total si para cada,implica Un subconjunto total dese define análogamente (ver nota al pie).^{[nota 1]}Por lo tanto,separa los puntos desi y solo sies un subconjunto total de, y de manera similar para. ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}$$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ortogonalidad

Los vectores y son ortogonales , escritos , si . Dos subconjuntos y son ortogonales , escritos , si ; es decir, si para todos y . La definición de un subconjunto que es ortogonal a un vector se define de manera análoga . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\perp y}$ ${\displaystyle b(x,y)=0}$ ${\displaystyle R\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle R\perp S}$ ${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$ ${\displaystyle b(r,s)=0}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$

El complemento ortogonal o aniquilador de un subconjunto es Por tanto, es un subconjunto total de si y sólo si es igual a . ${\displaystyle R\subseteq X}$ $${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R^{\perp }}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Conjuntos polares

Dado un triple que define un emparejamiento sobre , el conjunto polar absoluto o conjunto polar de un subconjunto de es el conjunto: Simétricamente , el conjunto polar absoluto o conjunto polar de un subconjunto de se denota por y se define por ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

Para utilizar una contabilidad que ayude a llevar un registro de la antisimetría de los dos lados de la dualidad, el polar absoluto de un subconjunto de también puede llamarse prepolar absoluto o prepolar de y luego puede denotarse por ^[3] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }.}$

El polar es necesariamente un conjunto convexo que contiene donde si está equilibrado entonces también lo está y si es un subespacio vectorial de entonces también lo es un subespacio vectorial de ^[4] ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle 0\in Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es un subespacio vectorial de entonces y este también es igual a la polar real de Si entonces el bipolar de , denotado , es el polar del complemento ortogonal de , es decir, el conjunto De manera similar, si entonces el bipolar de es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

Definiciones duales y resultados

Dado un emparejamiento, defina un nuevo emparejamiento donde para todos y . ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Hay un tema consistente en la teoría de la dualidad: cualquier definición de un emparejamiento tiene una definición dual correspondiente para el emparejamiento. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d).}$

Convención y definición : Dada cualquier definición de un emparejamiento , se obtiene una definición dual al aplicarla al emparejamiento. Estas convenciones también se aplican a los teoremas. ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,d).}$

Por ejemplo, si " distingue puntos de " (resp. " es un subconjunto total de ") se define como arriba, entonces esta convención produce inmediatamente la definición dual de " distingue puntos de " (resp. " es un subconjunto total de "). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

La siguiente notación es casi omnipresente y nos permite evitar asignar un símbolo a ${\displaystyle d.}$

Convención y notación : si una definición y su notación para un emparejamiento dependen del orden de y (por ejemplo, la definición de la topología de Mackey en ), entonces al cambiar el orden de y se entiende que la definición se aplicó a (continuando con el mismo ejemplo, la topología en realidad denotaría la topología ). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$

Para otro ejemplo, una vez que se define la topología débil en , denotada por , entonces esta definición dual se aplicaría automáticamente al emparejamiento para obtener la definición de la topología débil en , y esta topología se denotaría por en lugar de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$

Identificación de ${\displaystyle (X,Y)}$con ${\displaystyle (Y,X)}$

Aunque técnicamente es incorrecto y un abuso de notación, este artículo se adherirá a la convención casi omnipresente de tratar un emparejamiento de manera intercambiable con y también de denotar por ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,b).}$

Ejemplos

Restricción de un emparejamiento

Supongamos que es un emparejamiento, es un subespacio vectorial de y es un subespacio vectorial de . Entonces la restricción de a es el emparejamiento Si es una dualidad, entonces es posible que una restricción no sea una dualidad (por ejemplo, si y ). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y\neq \{0\}}$ ${\displaystyle N=\{0\}}$

En este artículo se utilizará la práctica común de denotar la restricción mediante ${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$ ${\displaystyle (M,N,b).}$

Dualidad canónica en un espacio vectorial

Supóngase que es un espacio vectorial y sea el espacio dual algebraico de (es decir, el espacio de todos los funcionales lineales en ). Existe una dualidad canónica donde que se llama la función de evaluación o la función bilineal natural o canónica en Nótese en particular que para cualquier es simplemente otra forma de denotar ; es decir ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle X\times X^{\#}.}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

Si es un subespacio vectorial de , entonces la restricción de a se llama emparejamiento canónico , donde si este emparejamiento es una dualidad, entonces se llama en cambio dualidad canónica . Claramente, siempre distingue puntos de , por lo que el emparejamiento canónico es un sistema dual si y solo si separa puntos de La siguiente notación es ahora casi omnipresente en la teoría de la dualidad. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle X\times N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

El mapa de evaluación se denotará por (en lugar de por ) y se escribirá en lugar de ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle }$ ${\displaystyle (X,N,c).}$

Suposición : Como es práctica común, si es un espacio vectorial y es un espacio vectorial de funcionales lineales en entonces, a menos que se indique lo contrario, se asumirá que están asociados con el emparejamiento canónico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle .}$

Si es un subespacio vectorial de entonces distingue puntos de (o equivalentemente, es una dualidad) si y sólo si distingue puntos de o equivalentemente si es total (es decir, para todo implica ). ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (X,N,c)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n(x)=0}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle x=0}$

Dualidad canónica en un espacio vectorial topológico

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo. Entonces, la restricción de la dualidad canónica a × define un emparejamiento para el cual separa los puntos de Si separa los puntos de (lo cual es cierto si, por ejemplo, es un espacio localmente convexo de Hausdorff), entonces este emparejamiento forma una dualidad. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Suposición : Como se hace comúnmente, siempre que sea un TVS, a menos que se indique lo contrario, se asumirá sin comentarios que está asociado con el emparejamiento canónico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

Polares y duales de TVS

El siguiente resultado muestra que los funcionales lineales continuos en un TVS son exactamente aquellos funcionales lineales que están limitados en un vecindario del origen.

Teorema ^[1]  —  Sea un TVS con dual algebraico y sea una base de vecindades de en el origen. Bajo la dualidad canónica el espacio dual continuo de es la unión de todos como rangos sobre (donde las polares se toman en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N^{\circ }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Espacios de productos internos y espacios conjugados complejos

Un espacio pre-Hilbert es un apareamiento dual si y solo si es un espacio vectorial sobre o tiene dimensión. Aquí se supone que la forma sesquilínea es conjugada homogénea en su segunda coordenada y homogénea en su primera coordenada. ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

• Si es un espacio de Hilbert real entonces forma un sistema dual. ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$
• Si es un espacio de Hilbert complejo , entonces forma un sistema dual si y solo si Si no es trivial, entonces ni siquiera forma emparejamiento ya que el producto interno es sesquilineal en lugar de bilineal. ^[1] ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

Supongamos que es un espacio complejo pre-Hilbert con multiplicación escalar denotada como de costumbre por yuxtaposición o por un punto. Defina el mapa donde el lado derecho usa la multiplicación escalar de Sea el espacio vectorial conjugado complejo de donde denota el grupo aditivo de (por lo que la suma vectorial en es idéntica a la suma vectorial en ) pero con la multiplicación escalar en siendo el mapa (en lugar de la multiplicación escalar que está dotada de). ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \cdot .}$ $${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle (H,+)}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$ ${\displaystyle H}$

El mapa definido por es lineal en ambas coordenadas ^{[nota 2]} y por lo tanto forma un emparejamiento dual. ${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$

Otros ejemplos

• Supongamos que y para todo sea Entonces es un emparejamiento tal que distingue puntos de pero no distingue puntos de Además, ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$ $${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$
• Sea (donde es tal que ), y Entonces es un sistema dual. ${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$
• Sean y espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. Entonces la forma bilineal coloca a y en dualidad. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$
• Un espacio de secuencia y su dual beta con la función bilineal definida como para forman un sistema dual. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in X^{\beta }}$

Topología débil

Supongamos que es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre Si entonces la topología débil en inducida por (y ) es la topología TVS más débil en denotada por o simplemente haciendo que todos los mapas sean continuos como rangos sobre ^[1] Si no está claro a partir del contexto, entonces se debe suponer que es todo en cuyo caso se llama topología débil en (inducida por ). La notación o (si no puede surgir ninguna confusión) simplemente se usa para denotar dotado con la topología débil Es importante destacar que la topología débil depende completamente de la función de la topología habitual en la estructura del espacio vectorial de y pero no de las estructuras algebraicas de ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sigma (X,S,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,S),}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,S,b).}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

De manera similar, si entonces la definición dual de la topología débil es inducida por (y ), que se denota por o simplemente (ver nota al pie para más detalles). ^{[nota 3]} ${\displaystyle R\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R)}$

Definición y notación : Si " " se adjunta a una definición topológica (por ejemplo, -converge, -limita, etc.), entonces significa esa definición cuando el primer espacio (es decir , ) lleva la topología. La mención de o incluso y puede omitirse si no surge ninguna confusión. Entonces, por ejemplo, si una secuencia en " -converge" o "converge débilmente", esto significa que converge en mientras que si fuera una secuencia en , entonces esto significaría que converge en ). ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

La topología es localmente convexa ya que está determinada por la familia de seminormas definidas por como rangos sobre ^[1] Si y es una red en entonces -converge a si converge a en ^[1] Una red -converge a si y solo si para todo converge a Si es una secuencia de vectores ortonormales en el espacio de Hilbert, entonces converge débilmente a 0 pero no converge normativamente a 0 (o cualquier otro vector). ^[1] ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}$ ${\displaystyle b(x,y).}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

Si es un emparejamiento y es un subespacio vectorial propio de tal que es un par dual, entonces es estrictamente más burdo que ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,N,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,N,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b).}$

Subconjuntos acotados

Un subconjunto de está acotado si y solo si donde ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ $${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$ ${\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}.}$

La condición de Hausdorff

Si es un emparejamiento entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle (X,Y,b)}$

1. ${\displaystyle X}$distingue puntos de ; ${\displaystyle Y}$
2. El mapa define una inyección desde en el espacio dual algebraico de ; ^[1] ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$es Hausdorff . ^[1]

Teorema de representación débil

El siguiente teorema es de importancia fundamental para la teoría de la dualidad porque caracteriza completamente el espacio dual continuo de ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Teorema de representación débil ^[1]  —  Sea un emparejamiento sobre el cuerpo Entonces el espacio dual continuo de es Además, ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ $${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}$$

1. Si es una función lineal continua en entonces existe alguna tal que ; si tal a existe entonces es único si y sólo si distingue puntos de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
   • Tenga en cuenta que si se distinguen o no los puntos de no depende de la elección particular de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y.}$
2. El espacio dual continuo de puede identificarse con el espacio cociente donde ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle Y/X^{\perp },}$ ${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0{\text{ for all }}x\in X\}.}$
   • Esto es cierto independientemente de si se distinguen o no puntos de o se distinguen puntos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

En consecuencia, el espacio dual continuo de es ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ $${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

Con respecto al emparejamiento canónico, si es un TVS cuyo espacio dual continuo separa puntos en (es decir, tal que es Hausdorff, lo que implica que también es necesariamente Hausdorff), entonces el espacio dual continuo de es igual al conjunto de todos los mapas de "evaluación en un punto" como rangos sobre (es decir, el mapa que envía a ). Esto se escribe comúnmente como Este hecho muy importante es la razón por la que los resultados para topologías polares en espacios duales continuos, como la topología dual fuerte en por ejemplo, también se pueden aplicar a menudo al TVS original ; por ejemplo, estar identificado con significa que la topología en puede pensarse en cambio como una topología en Además, si está dotado de una topología que es más fina que entonces el espacio dual continuo de necesariamente contendrá como un subconjunto. Así, por ejemplo, cuando está dotado de la topología dual fuerte (y por tanto se denota por ) entonces lo que (entre otras cosas) permite que esté dotado de la topología de subespacio inducida en él por, digamos, la topología dual fuerte (esta topología también se llama topología bidual fuerte y aparece en la teoría de espacios reflexivos : se dice que el TVS localmente convexo de Hausdorff es semirreflexivo si y se llamará reflexivo si además la topología bidual fuerte en es igual a la topología original/de partida de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)}$ $${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ $${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ortogonales, cocientes y subespacios

Si es un emparejamiento entonces para cualquier subconjunto de : ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$y este conjunto es -cerrado; ^[1] ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$
• ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$; ^[1]
  • Por lo tanto, si es un subespacio vectorial cerrado de entonces ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$
• Si es una familia de subespacios vectoriales -cerrados de entonces ^[1] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$
• Si es una familia de subconjuntos de entonces ^[1] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$

Si es un espacio normado entonces bajo la dualidad canónica, es norma cerrada en y es norma cerrada en ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\perp }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle S^{\perp \perp }}$ ${\displaystyle X.}$

Subespacios

Supongamos que es un subespacio vectorial de y sea la restricción de a La topología débil en es idéntica a la topología del subespacio que hereda de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M\times Y.}$ ${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Además, es un espacio emparejado (donde significa ) donde se define por ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$ ${\displaystyle Y/M^{\perp }}$ ${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$ ${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

La topología es igual a la topología del subespacio que hereda de ^[5] Además, si es un sistema dual entonces también lo es ^[5] ${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}$

Cocientes

Supongamos que es un subespacio vectorial de Entonces es un espacio apareado donde se define por ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$ ${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

La topología es idéntica a la topología cociente habitual inducida por [ ^5] ${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle X/M.}$

Polares y topología débil

Si es un espacio localmente convexo y si es un subconjunto del espacio dual continuo , entonces está acotado si y solo si para algún barril en ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$

Los siguientes resultados son importantes para definir topologías polares.

Si es un emparejamiento y entonces: ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$

1. El polar de es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}$
2. Las polares de los siguientes conjuntos son idénticas: (a) ; (b) la envoltura convexa de ; (c) la envoltura equilibrada de ; (d) la -clausura de ; (e) la -clausura de la envoltura convexa equilibrada de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A.}$
3. El teorema bipolar : El bipolar de denotado por es igual al -cierre de la envoltura convexa equilibrada de ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A.}$
   • El teorema bipolar en particular "es una herramienta indispensable para trabajar con dualidades". ^[4]
4. ${\displaystyle A}$está acotado si y sólo si es absorbente en ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$
5. Si además distingue puntos de entonces es - acotado si y sólo si es - totalmente acotado . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Si es un emparejamiento y es una topología localmente convexa en que es consistente con la dualidad, entonces un subconjunto de es un barril en si y solo si es el polar de algún subconjunto acotado de ^[6] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Transpone

Transposiciones de una función lineal con respecto a los emparejamientos

Sean y sean emparejamientos sobre y sea un mapa lineal. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F:X\to W}$

Para todo sea el mapa definido por Se dice que la transpuesta o adjunta de está bien definida si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto c(F(x),z).}$ ${\displaystyle F}$

1. ${\displaystyle X}$distingue puntos de (o equivalentemente, la función de en el dual algebraico es inyectiva ), y ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\#}}$
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}$donde y . ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\}}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}$

En este caso, para cualquier existe (por condición 2) un único (por condición 1) tal que ), donde este elemento de será denotado por Esto define una función lineal ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z).}$ $${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$$

llamada transpuesta o adjunta de con respecto a y ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ (no debe confundirse con la adjunta hermítica ). Es fácil ver que las dos condiciones mencionadas anteriormente (es decir, para "la transpuesta está bien definida") también son necesarias para que esté bien definida. Para cada la condición definitoria para es es decir,      para todos ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z)}$ $${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}$$ $${\displaystyle c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right)}$$ ${\displaystyle x\in X.}$

Por las convenciones mencionadas al principio de este artículo, esto también define la transposición de mapas lineales de la forma ^{[nota 4] [nota 5] [nota 6] [nota 7]} etc. (ver nota a pie de página). ${\displaystyle Z\to Y,}$ ${\displaystyle X\to Z,}$ ${\displaystyle W\to Y,}$ ${\displaystyle Y\to W,}$

Propiedades de la transpuesta

A lo largo de todo, y se emparejarán a lo largo de y serán un mapa lineal cuya transposición está bien definida. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$es inyectiva (es decir ) si y solo si el rango de es denso en ^[1] ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right).}$
• Si además de estar bien definida, la transpuesta de también está bien definida entonces ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F.}$
• Supongamos que es un emparejamiento sobre y es una función lineal cuya transpuesta está bien definida. Entonces la transpuesta de la cual es está bien definida y ${\displaystyle (U,V,a)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle E:U\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}$ ${\displaystyle F\circ E:U\to W,}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V,}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}$
• Si es un isomorfismo en un espacio vectorial entonces es biyectivo, cuya transpuesta está bien definida, y ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$ ${\displaystyle F^{-1}:W\to X,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}$
• Sea y sea denota la polaridad absoluta de entonces: ^[1] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle A,}$
  1. ${\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}$;
  2. si para algunos entonces ; ${\displaystyle F(S)\subseteq T}$ ${\displaystyle T\subseteq W,}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$
  3. si es tal que entonces ; ${\displaystyle T\subseteq W}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ },}$ ${\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}$
  4. si y son discos débilmente cerrados entonces si y sólo si ; ${\displaystyle T\subseteq W}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$ ${\displaystyle F(S)\subseteq T}$
  5. ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}$

Estos resultados son válidos cuando se utiliza la polar real en lugar de la polar absoluta.

Si y son espacios normados bajo sus dualidades canónicas y si es una función lineal continua, entonces ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}$

Continuidad débil

Una aplicación lineal es débilmente continua (con respecto a y ) si es continua. ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$

El siguiente resultado muestra que la existencia del mapa transpuesto está íntimamente ligada a la topología débil.

Proposición  :  Supongamos que distingue los puntos de y es una función lineal. Entonces, las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F}$es débilmente continua (es decir, es continua); ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}$;
3. La transposición de está bien definida. ${\displaystyle F}$

Si es débilmente continua entonces ${\displaystyle F}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$es débilmente continua, es decir que es continua; ${\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}$
• La transpuesta de está bien definida si y sólo si distingue puntos de en cuyo caso ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F.}$

Topología débil y dualidad canónica

Supongamos que es un espacio vectorial y que es su dual algebraico. Entonces, cada subconjunto acotado de está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita y cada subespacio vectorial de es cerrado. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$

Débil completitud

Si es un espacio vectorial topológico completo, digamos que es -completo o (si no puede surgir ninguna ambigüedad) débilmente completo . Existen espacios de Banach que no son débilmente completos (a pesar de ser completos en su topología normativa). ^[1] ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Si es un espacio vectorial entonces bajo la dualidad canónica, es completo. ^[1] Por el contrario, si es un TVS localmente convexo de Hausdorff con espacio dual continuo entonces es completo si y solo si ; es decir, si y solo si el mapa definido enviando al mapa de evaluación en (es decir ) es una biyección. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{\prime },}$ ${\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$ ${\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}$

En particular, con respecto a la dualidad canónica, si es un subespacio vectorial de tal que separa puntos de entonces es completo si y solo si Dicho de otra manera, no existe un subespacio vectorial propio de tal que sea de Hausdorff y sea completo en la topología débil-* (es decir, la topología de convergencia puntual). En consecuencia, cuando el espacio dual continuo de un TVS localmente convexo de Hausdorff está dotado de la topología débil-* , entonces es completo si y solo si (es decir, si y solo si cada funcional lineal en es continuo). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}$ ${\displaystyle Y=X^{\#}.}$ ${\displaystyle Y\neq X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$

Identificación deYcon un subespacio del dual algebraico

Si distingue puntos de y si denota el rango de la inyección entonces es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de y el emparejamiento se identifica canónicamente con el emparejamiento canónico (donde es la función de evaluación natural). En particular, en esta situación se supondrá sin pérdida de generalidad que es un subespacio vectorial del dual algebraico de y es la función de evaluación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \langle X,Z\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b}$

Convención : A menudo, siempre que sea inyectiva (especialmente cuando forma un par dual), entonces es una práctica común suponer sin pérdida de generalidad que es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de que es el mapa de evaluación natural, y también denotar por ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

De manera completamente análoga, si distingue puntos de entonces es posible identificarlo como un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de . ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Adjunto algebraico

En el caso especial en que las dualidades son las dualidades canónicas y la transpuesta de una función lineal está siempre bien definida, esta transpuesta se llama adjunta algebraica de y se denotará por ; es decir, En este caso, para todo ^{[1] [7]} donde la condición definitoria para es: o equivalentemente, ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}$ ${\displaystyle w^{\prime }\in W^{\#},}$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}$ $${\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}>x\in X,}$$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad {\text{ for all }}x\in X.}$

Si para algún entero es una base para con base dual es un operador lineal, y la representación matricial de con respecto a es entonces la transpuesta de es la representación matricial con respecto a de ${\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},}$ ${\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right),}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}$ ${\displaystyle F^{\#}.}$

Débil continuidad y apertura

Supóngase que y son pares canónicos (por lo que y ) que son sistemas duales y sea una función lineal. Entonces es débilmente continua si y solo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^[1] ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$ ${\displaystyle Y\subseteq X^{\#}}$ ${\displaystyle Z\subseteq W^{\#}}$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$es continua
2. ${\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}$
3. La transpuesta de F , con respecto a y está bien definida. ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y,}$ ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$

Si es débilmente continua entonces será continua y además, ^[7] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F}$

Un mapa entre espacios topológicos es relativamente abierto si es un mapeo abierto , donde es el rango de ^[1] ${\displaystyle g:A\to B}$ ${\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} g}$ ${\displaystyle g.}$

Supóngase que y son sistemas duales y es una función lineal débilmente continua. Entonces, las siguientes son equivalentes: ^[1] ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$Está relativamente abierto.
2. El rango de es -cerrado en ; ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}$

Además,

• ${\displaystyle F:X\to W}$es inyectiva (resp. biyectiva) si y sólo si es sobreyectiva (resp. biyectiva); ${\displaystyle {}^{t}F}$
• ${\displaystyle F:X\to W}$es sobreyectiva si y sólo si es relativamente abierta e inyectiva. ${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$

Transposición de un mapa entre TVS

La transposición de un mapa entre dos TVS se define si y sólo si es débilmente continua. ${\displaystyle F}$

Si es una función lineal entre dos espacios vectoriales topológicos localmente convexos de Hausdorff, entonces: ^[1] ${\displaystyle F:X\to Y}$

• Si es continua, entonces es débilmente continua y es a la vez continua de Mackey y fuertemente continua. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$
• Si es débilmente continuo, entonces es a la vez continuo de Mackey y fuertemente continuo (definido a continuación). ${\displaystyle F}$
• Si es débilmente continua, entonces es continua si y sólo si asigna subconjuntos equicontinuos de a subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• Si y son espacios normados, entonces es continuo si y sólo si es débilmente continuo, en cuyo caso ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}$
• Si es continuo entonces es relativamente abierto si y sólo si es débilmente relativamente abierto (es decir, es relativamente abierto) y cada subconjunto equicontinuo de es la imagen de algunos subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$
• Si es una inyección continua, entonces es una incrustación TVS (o equivalentemente, una incrustación topológica ) si y solo si cada subconjunto equicontinuo de es la imagen de algunos subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$

Metrizabilidad y separabilidad

Sea un espacio localmente convexo con espacio dual continuo y sea ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle K\subseteq X^{\prime }.}$

1. Si es equicontinuo o -compacto, y si es tal que es denso en entonces la topología del subespacio que hereda de es idéntica a la topología del subespacio que hereda de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}$
2. Si es separable y es equicontinuo entonces cuando está dotado de la topología de subespacio inducida por es metrizable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}$
3. Si es separable y metrizable , entonces es separable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$
4. Si es un espacio normado entonces es separable si y sólo si la unidad cerrada llamada espacio dual continuo de es metrizable cuando se da la topología del subespacio inducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}$
5. Si es un espacio normado cuyo espacio dual continuo es separable (cuando se da la topología normativa habitual), entonces es separable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Topologías polares y topologías compatibles con emparejamiento

Partiendo únicamente de la topología débil, el uso de conjuntos polares produce una gama de topologías localmente convexas. Dichas topologías se denominan topologías polares . La topología débil es la topología más débil de este rango.

En todo momento, habrá un emparejamiento sobre y será una colección no vacía de subconjuntos delimitados de ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

Topologías polares

Dada una colección de subconjuntos de , la topología polar en determinada por (y ) o la -topología en es la única topología del espacio vectorial topológico (TVS) en para la cual forma una subbase de vecindades en el origen. ^[1] Cuando está dotado de esta -topología entonces se denota por Y . Toda topología polar es necesariamente localmente convexa . ^[1] Cuando es un conjunto dirigido con respecto a la inclusión de subconjuntos (es decir, si para todos existe alguno tal que ) entonces esta subbase de vecindad en 0 en realidad forma una base de vecindad en 0. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ _{${\displaystyle {\mathcal {G}}}$} ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G,K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$

La siguiente tabla enumera algunas de las topologías polares más importantes.

Notación : Si denota una topología polar en entonces dotado de esta topología se denotará por o simplemente (por ejemplo, para tendríamos de modo que y todos denotan dotado de ). ${\displaystyle \Delta (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Definiciones que involucran topologías polares

Continuidad

Una aplicación lineal es continua de Mackey (con respecto a y ) si es continua. ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}$

Una aplicación lineal es fuertemente continua (con respecto a y ) si es continua. ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}$

Subconjuntos acotados

Un subconjunto de está débilmente acotado (resp. acotado por Mackey , fuertemente acotado ) si está acotado en (resp. acotado en acotado en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle (X,\tau (X,Y,b)),}$ ${\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}$

Topologías compatibles con un par

Si es un emparejamiento sobre y es una topología vectorial sobre entonces es una topología del emparejamiento y que es compatible (o consistente ) con el emparejamiento si es localmente convexo y si el espacio dual continuo de ^{[nota 8]} Si distingue puntos de entonces al identificar como un subespacio vectorial del dual algebraico de , la condición definitoria se convierte en: ^[1] Algunos autores (por ejemplo, [Trèves 2006] y [Schaefer 1999]) requieren que una topología de un par también sea de Hausdorff, ^{[2] [8]} que tendría que ser si distingue los puntos de (lo que estos autores asumen). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)=b(\,\cdot \,,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

La topología débil es compatible con el emparejamiento (como se demostró en el teorema de representación débil) y, de hecho, es la topología más débil de este tipo. Existe una topología más fuerte compatible con este emparejamiento y es la topología de Mackey . Si es un espacio normado que no es reflexivo , entonces la topología norma habitual en su espacio dual continuo no es compatible con la dualidad ^[1]. ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left(N^{\prime },N\right).}$

Teorema de Mackey-Arens

El siguiente es uno de los teoremas más importantes de la teoría de la dualidad.

Teorema I de Mackey–Arens ^[1]  —  Seaun emparejamiento tal quedistinga los puntos deysea una topología localmente convexa en(no necesariamente Hausdorff). Entonceses compatible con el emparejamientosi y solo sies una topología polar determinada por alguna colecciónde discos compactosque cubren ^{[nota 9]} ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

De ello se deduce que la topología de Mackey, que es la topología polar generada por todos los discos compactos, es la topología localmente convexa más fuerte que es compatible con el emparejamiento . Un espacio localmente convexo cuya topología dada es idéntica a la topología de Mackey se denomina espacio de Mackey . La siguiente consecuencia del teorema de Mackey-Arens anterior también se denomina teorema de Mackey-Arens. ${\displaystyle \tau (X,Y,b),}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b).}$

Teorema II de Mackey-Arens ^[1]  —  Sea un emparejamiento tal que distingue los puntos de y sea una topología localmente convexa en Entonces es compatible con el emparejamiento si y solo si ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b).}$

Teorema de Mackey, barriles y conjuntos convexos cerrados

Si es un TVS (sobre o ) entonces un semiespacio es un conjunto de la forma para algún funcional lineal real y algún funcional lineal real continuo en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema  —  Si es un espacio localmente convexo (sobre o ) y si es un subconjunto cerrado y convexo no vacío de entonces es igual a la intersección de todos los semiespacios cerrados que lo contienen. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$

El teorema anterior implica que los subconjuntos cerrados y convexos de un espacio localmente convexo dependen completamente del espacio dual continuo. En consecuencia, los subconjuntos cerrados y convexos son los mismos en cualquier topología compatible con la dualidad; es decir, si y son topologías localmente convexas cualesquiera en con los mismos espacios duales continuos, entonces un subconjunto convexo de es cerrado en la topología si y solo si es cerrado en la topología. Esto implica que la -clausura de cualquier subconjunto convexo de es igual a su -clausura y que para cualquier disco -cerrado en ^[1] En particular, si es un subconjunto de entonces es un barril en si y solo si es un barril en ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A=A^{\circ \circ }.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}$

El siguiente teorema muestra que los barriles (es decir, los discos absorbentes cerrados ) son exactamente los polares de los subconjuntos débilmente acotados.

Teorema ^[1]  —  Sea un emparejamiento tal que distingue los puntos de y sea una topología del par. Entonces un subconjunto de es un barril en si y solo si es igual a la polar de algún subconjunto acotado de ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es un espacio vectorial topológico, entonces: ^{[1] [10]} ${\displaystyle X}$

1. Un subconjunto cerrado, absorbente y equilibrado de absorbe cada subconjunto compacto convexo de (es decir, existe un real tal que contiene ese conjunto). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rB}$
2. Si es Hausdorff y localmente convexo, entonces cada barril absorbe cada subconjunto completo acotado convexo de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

All of this leads to Mackey's theorem, which is one of the central theorems in the theory of dual systems. In short, it states the bounded subsets are the same for any two Hausdorff locally convex topologies that are compatible with the same duality.

Mackey's theorem^[10][1] — Suppose that ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ is a Hausdorff locally convex space with continuous dual space ${\displaystyle X^{\prime }}$ and consider the canonical duality ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$ If ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is any topology on ${\displaystyle X}$ that is compatible with the duality ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ on ${\displaystyle X}$ then the bounded subsets of ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ are the same as the bounded subsets of ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}$

Space of finite sequences

Let ${\displaystyle X}$ denote the space of all sequences of scalars ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ such that ${\displaystyle r_{i}=0}$ for all sufficiently large ${\displaystyle i.}$ Let ${\displaystyle Y=X}$ and define a bilinear map ${\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }$ by $${\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}$$ Then ${\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b).}$^[1] Moreover, a subset ${\displaystyle T\subseteq X}$ is ${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$-bounded (resp. ${\displaystyle \beta (X,X,b)}$-bounded) if and only if there exists a sequence ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ of positive real numbers such that ${\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i}}$ for all ${\displaystyle t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}$ and all indices ${\displaystyle i}$ (resp. and ${\displaystyle m_{\bullet }\in X}$).^[1]

It follows that there are weakly bounded (that is, ${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$-bounded) subsets of ${\displaystyle X}$ that are not strongly bounded (that is, not ${\displaystyle \beta (X,X,b)}$-bounded).

See also

• Beta-dual space
• Biorthogonal system
• Dual space – In mathematics, vector space of linear forms
• Dual topology
• Duality (mathematics) – General concept and operation in mathematics
• Inner product – Generalization of the dot product; used to define Hilbert spacesPages displaying short descriptions of redirect targets
• L-semi-inner product – Generalization of inner products that applies to all normed spaces
• Pairing – Bilinear map in mathematics
• Polar set – Subset of all points that is bounded by some given point of a dual (in a dual pairing)
• Polar topology – Dual space topology of uniform convergence on some sub-collection of bounded subsets
• Reductive dual pair
• Strong dual space – Continuous dual space endowed with the topology of uniform convergence on bounded sets
• Strong topology (polar topology) – Continuous dual space endowed with the topology of uniform convergence on bounded setsPages displaying short descriptions of redirect targets
• Topologies on spaces of linear maps
• Weak topology – Mathematical term

Notes

1. A subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle X}$ is total if for all ${\displaystyle y\in Y}$, $${\displaystyle b(s,y)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}$$ implies ${\displaystyle y=0}$.
2. That ${\displaystyle b}$ is linear in its first coordinate is obvious. Suppose ${\displaystyle c}$ is a scalar. Then ${\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y),}$ which shows that ${\displaystyle b}$ is linear in its second coordinate.
3. The weak topology on ${\displaystyle Y}$ is the weakest TVS topology on ${\displaystyle Y}$ making all maps ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ continuous, as ${\displaystyle x}$ ranges over ${\displaystyle R.}$ The dual notation of ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,R)),}$ or simply ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ may also be used to denote ${\displaystyle Y}$ endowed with the weak topology ${\displaystyle \sigma (Y,R,b).}$ If ${\displaystyle R}$ is not clear from context then it should be assumed to be all of ${\displaystyle X,}$ in which case it is simply called the weak topology on ${\displaystyle Y}$ (induced by ${\displaystyle X}$).
4. If ${\displaystyle G:Z\to Y}$ is a linear map then ${\displaystyle G}$'s transpose, ${\displaystyle {}^{t}G:X\to W,}$ is well-defined if and only if ${\displaystyle Z}$ distinguishes points of ${\displaystyle W}$ and ${\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,).}$ In this case, for each ${\displaystyle x\in X,}$ the defining condition for ${\displaystyle {}^{t}G(x)}$ is: ${\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).}$
5. If ${\displaystyle H:X\to Z}$ is a linear map then ${\displaystyle H}$'s transpose, ${\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,}$ is well-defined if and only if ${\displaystyle X}$ distinguishes points of ${\displaystyle Y}$ and ${\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y).}$ In this case, for each ${\displaystyle w\in W,}$ the defining condition for ${\displaystyle {}^{t}H(w)}$ is: ${\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).}$
6. If ${\displaystyle H:W\to Y}$ is a linear map then ${\displaystyle H}$'s transpose, ${\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,}$ is well-defined if and only if ${\displaystyle W}$ distinguishes points of ${\displaystyle Z}$ and ${\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z).}$ In this case, for each ${\displaystyle x\in X,}$ the defining condition for ${\displaystyle {}^{t}H(x)}$ is: ${\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).}$
7. If ${\displaystyle H:Y\to W}$ is a linear map then ${\displaystyle H}$'s transpose, ${\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,}$ is well-defined if and only if ${\displaystyle Y}$ distinguishes points of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,).}$ In this case, for each ${\displaystyle z\in Z,}$ the defining condition for ${\displaystyle {}^{t}H(z)}$ is: ${\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)}$
8. Of course, there is an analogous definition for topologies on ${\displaystyle Y}$ to be "compatible it a pairing" but this article will only deal with topologies on ${\displaystyle X.}$
9. Recall that a collection of subsets of a set ${\displaystyle S}$ is said to cover ${\displaystyle S}$ if every point of ${\displaystyle S}$ is contained in some set belonging to the collection.

References

1. Narici & Beckenstein 2011, pp. 225–273.
2. Schaefer & Wolff 1999, pp. 122–128.
3. Trèves 2006, p. 195.
4. Schaefer & Wolff 1999, pp. 123–128.
5. Narici & Beckenstein 2011, pp. 260–264.
6. Narici & Beckenstein 2011, pp. 251–253.
7. Schaefer & Wolff 1999, pp. 128–130.
8. Trèves 2006, pp. 368–377.
9. Narici & Beckenstein 2011, p. 200.
10. Trèves 2006, pp. 371–372.

Bibliography

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schmitt, Lothar M (1992). "An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem". Houston J. Of Math. 18: 429–447.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

External links

• Duality Theory