Topología polar

Topología espacial dual de convergencia uniforme en alguna subcolección de subconjuntos acotados

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una topología polar , topología de convergencia ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ o topología de convergencia uniforme en los conjuntos de es un método para definir topologías localmente convexas en los espacios vectoriales de un emparejamiento . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Preliminares

Un emparejamiento es un triple que consta de dos espacios vectoriales sobre un cuerpo (ya sea números reales o números complejos ) y una función bilineal. Un par dual o sistema dual es un emparejamiento que satisface los dos axiomas de separación siguientes: ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$

1. ${\displaystyle Y}$separa/distingue puntos de ${\displaystyle X}$ : para todo no cero existe tal que y ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0,}$
2. ${\displaystyle X}$separa/distingue puntos de ${\displaystyle Y}$ : para todo no cero existe tal que ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0.}$

Polares

La polar o polar absoluta de un subconjunto es el conjunto ^[1] ${\displaystyle A\subseteq X}$

${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$

Dualmente, la polaridad o polaridad absoluta de un subconjunto se denota por y se define por ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B^{\circ },}$

${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$

En este caso, la polar absoluta de un subconjunto también se denomina prepolar de y puede denotarse por ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}^{\circ }B.}$

El polar es un conjunto convexo equilibrado que contiene el origen. ^[2]

Si entonces el bipolar de denotado por se define como De manera similar, si entonces el bipolar de se define como ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ }={}^{\circ }(A^{\circ }).}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

Topologías débiles

Supongamos que se trata de un emparejamiento de espacios vectoriales sobre ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Notación : Para todo sea denotado el funcional lineal en definido por y sea ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle b(x,\cdot ):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$ ${\displaystyle b(X,\cdot )=\left\{b(x,\cdot )~:~x\in X\right\}.}$

De manera similar, para todo sea definido por y sea ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b(\cdot ,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$ ${\displaystyle b(\cdot ,Y)=\left\{b(\cdot ,y)~:~y\in Y\right\}.}$

La topología débil en inducida por (y ) es la topología TVS más débil en denotada por o simplemente haciendo que todos los mapas sean continuos, como rangos sobre ^[3] De manera similar, existe la definición dual de la topología débil en inducida por (y ), que se denota por o simplemente : es la topología TVS más débil en haciendo que todos los mapas sean continuos, como rangos sobre ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y),}$ ${\displaystyle b(\cdot ,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(x,\cdot ):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Limitación débil y polares absorbentes

Es debido al siguiente teorema que casi siempre se supone que la familia consta de subconjuntos acotados de ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema  —  Para cualquier subconjunto los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle A\subseteq X,}$

1. ${\displaystyle A^{\circ }}$es un subconjunto absorbente de ${\displaystyle Y.}$
   • Si esta condición no se cumple, entonces no puede haber un vecindario del origen en ninguna topología TVS en ; ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle X'}$
2. ${\displaystyle A}$es un conjunto acotado ; dicho de otra manera, es un subconjunto acotado de ; ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$
3. para todos donde este supremo también puede ser denotado por ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle \sup _{a\in A}\left|b(a,y)\right|<\infty ,}$ ${\displaystyle ~\sup \left|b(A,y)\right|.}$

Los subconjuntos acotados de tienen una caracterización análoga. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y}$

Definiciones duales y resultados

Cada emparejamiento puede asociarse con un emparejamiento correspondiente donde por definición ^[3] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$ ${\displaystyle {\hat {b}}(y,x)=b(x,y).}$

Hay un tema que se repite en la teoría de la dualidad, y es que cualquier definición de un emparejamiento tiene una definición dual correspondiente para el emparejamiento. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).}$

Convención y definición : Dada cualquier definición para un emparejamiento, se obtiene una definición dual al aplicarla al emparejamiento. Si la definición depende del orden de y (por ejemplo, la definición de "la topología débil definida en por "), entonces al cambiar el orden de y se entiende que esta definición debe aplicarse a (por ejemplo, esto nos da la definición de "la topología débil definida en por "). ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Por ejemplo, después de definir " distingue puntos de " (resp. " es un subconjunto total de ") como se indicó anteriormente, se obtiene inmediatamente la definición dual de " distingue puntos de " (resp. " es un subconjunto total de "). Por ejemplo, una vez que se define , se debe asumir automáticamente que se ha definido sin mencionar la definición análoga. Lo mismo se aplica a muchos teoremas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$

Convención : Siguiendo la práctica común, a menos que se necesite claridad, siempre que se dé una definición (o resultado) para un emparejamiento , se omitirá la mención de la definición dual correspondiente (o resultado), pero podrá usarse de todos modos. ${\displaystyle (X,Y,b)}$

En particular, aunque este artículo solo definirá la noción general de topologías polares en donde al ser una colección de subconjuntos acotados de este artículo, utilizará no obstante la definición dual para topologías polares en donde al ser una colección de subconjuntos acotados de ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y.}$

Identificación de con ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle (Y,X)}$

Aunque técnicamente es incorrecta y un abuso de notación, la siguiente convención es casi omnipresente:

Convención : Este artículo utilizará la práctica común de tratar un emparejamiento de manera intercambiable y también denotar por ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)}$ ${\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)}$ ${\displaystyle (Y,X,b).}$

Topologías polares

En general, es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre el campo y es una colección no vacía de subconjuntos acotados de ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

Para cada y es convexo y equilibrado y debido a que es a -acotado, el conjunto es absorbente en ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle rG^{\circ }=r\left(G^{\circ }\right)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle rG^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$

La topología polar en determinada (o generada) por (y ), también llamada -topología en o topología de convergencia uniforme en los conjuntos de es la única topología del espacio vectorial topológico (TVS) en para la cual ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \left\{rG^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}$

forma una subbase de vecindad en el origen. ^[3] Cuando está dotado de esta -topología entonces se denota por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y_{\mathcal {G}}.}$

Si es una secuencia de números positivos que convergen a entonces la subbase de vecindad definitoria en puede reemplazarse por ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left\{r_{i}G^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},i=1,2,\ldots \right\}}$

sin cambiar la topología resultante.

Cuando es un conjunto dirigido con respecto a la inclusión de subconjuntos (es decir, si para todos existe alguno tal que ), entonces la subbase de vecindad definitoria en el origen en realidad forma una base de vecindad en ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle K\not \in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$ ${\displaystyle 0.}$

Seminormas que definen la topología polar

Cada determina una seminorma definida por ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle p_{G}:Y\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle p_{G}(y)=\sup _{g\in G}|b(g,y)|=\sup |b(G,y)|}$

donde y es de hecho la funcional de Minkowski de Debido a esto, la -topología en es siempre una topología localmente convexa . ^[3] ${\displaystyle G^{\circ }=\left\{y\in Y:p_{G}(y)\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle p_{G}}$ ${\displaystyle G^{\circ }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$

Modificando ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Si cada múltiplo escalar positivo de un conjunto en está contenido en algún conjunto perteneciente a entonces la subbase de vecindad definitoria en el origen puede reemplazarse con ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \left\{G^{\circ }:G\in {\mathcal {G}}\right\}}$

sin cambiar la topología resultante.

El siguiente teorema proporciona formas en las que se puede modificar sin cambiar la topología resultante en ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y.}$

Teorema ^[3]  —  Sea un emparejamiento de espacios vectoriales sobre y sea una colección no vacía de subconjuntos -limitados de La -topología sobre no se altera si se reemplaza por cualquiera de las siguientes colecciones de subconjuntos [ -limitados] de : ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$

1. todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de conjuntos en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
2. todos los múltiplos escalares de todos los conjuntos en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
3. el casco equilibrado de cada conjunto en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
4. la envoltura convexa de cada conjunto en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
5. la -clausura de cada conjunto en ; ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
6. el -cierre del casco convexo equilibrado de cada conjunto en ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Es debido a este teorema que muchos autores exigen a menudo que se cumplan también las siguientes condiciones adicionales: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

• La unión de dos conjuntos cualesquiera está contenida en algún conjunto ; ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {G}}}$
• Todos los múltiplos escalares de cada pertenecen a ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Algunos autores ^[4] suponen además que cada pertenece a algún conjunto porque esta suposición es suficiente para garantizar que la -topología es de Hausdorff. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Convergencia de redes y filtros

Si es una red en entonces en la -topología en si y solo si para cada o en palabras, si y solo si para cada la red de funcionales lineales en converge uniformemente a en ; aquí, para cada el funcional lineal se define por ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle p_{G}(y_{i})=\sup _{g\in G}|b(g,y_{i})|\to 0,}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle (b(\cdot ,y_{i}))_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle b(\cdot ,y_{i})}$ ${\displaystyle x\mapsto b(x,y_{i}).}$

Si entonces en la -topología en si y sólo si para todos ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}\to y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle p_{G}\left(y_{i}-y\right)=\sup \left|b\left(G,y_{i}-y\right)\right|\to 0.}$

Un filtro converge a un elemento en la topología si converge uniformemente a cada uno ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$

Propiedades

Los resultados del artículo Topologías en espacios de aplicaciones lineales se pueden aplicar a topologías polares.

En general, es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre el campo y es una colección no vacía de subconjuntos acotados de ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

El estado de Hausdorff

Decimos que cubre si cada punto en pertenece a algún conjunto en ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Decimos que es total en ^[5] si el lapso lineal de es denso en ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema  —  Sea un apareamiento de espacios vectoriales sobre el cuerpo y una colección no vacía de subconjuntos acotados de Entonces, ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

1. Si cubre entonces la topología en es Hausdorff . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$
2. Si distingue puntos de y si es un subconjunto -denso de entonces la -topología en es Hausdorff. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$
3. Si es un sistema dual (en lugar de simplemente un emparejamiento), entonces la -topología en es de Hausdorff si y solo si el lapso de es denso en ^[3] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Ejemplos de topologías polares inducidas por un emparejamiento

En todo momento, habrá un emparejamiento de espacios vectoriales sobre el campo y será una colección no vacía de subconjuntos acotados de ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

La siguiente tabla omitirá la mención de Las topologías se enumeran en un orden que corresponde aproximadamente con las topologías más burdas primero y las topologías más finas al final; tenga en cuenta que algunas de estas topologías pueden estar fuera de orden, por ejemplo, y la topología debajo de ella (es decir, la topología generada por discos completos y acotados) o si no es Hausdorff. Si aparece más de una colección de subconjuntos en la misma fila en la columna más a la izquierda, eso significa que la misma topología polar es generada por estas colecciones. ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle c(X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Notación : Si denota una topología polar en entonces dotado de esta topología se denotará por o simplemente Por ejemplo, si entonces para que y todos denoten con dotado de ${\displaystyle \Delta (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }.}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \Delta (Y,X,b)=\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b).}$

Topología débil σ(Y,incógnita)

Para cualquier vecindad básica de en es un conjunto de la forma: ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left\{z\in X:|b(z-x,y_{i})|\leq r{\text{ for all }}i\right\}}$

para algún conjunto real y algún conjunto finito de puntos en ^[3] ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle Y.}$

El espacio dual continuo de es donde, más precisamente, esto significa que un funcional lineal en pertenece a este espacio dual continuo si y solo si existe alguno tal que para todo ^[3] La topología débil es la topología TVS más burda en para la cual esto es cierto. ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(y)=b(x,y)}$ ${\displaystyle y\in Y.}$ ${\displaystyle Y}$

En general, la envoltura convexa equilibrada de un subconjunto -compacto no necesita ser -compacta. ^[3] ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$

Si y son espacios vectoriales sobre los números complejos (lo que implica que tiene un valor complejo), entonces denotemos y estos espacios cuando se consideran como espacios vectoriales sobre los números reales. Denotemos la parte real de y observemos que es un emparejamiento. La topología débil en es idéntica a la topología débil . Esto se deriva en última instancia del hecho de que para cualquier funcional lineal de valor complejo en con parte real , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle Y_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle r:=\operatorname {Re} f.}$

${\displaystyle f=r(y)-ir(iy)}$     a pesar de ${\displaystyle y\in Y.}$

Topología de Mackey τ(Y,incógnita)

El espacio dual continuo de es (exactamente de la misma manera que se describió para la topología débil). Además, la topología de Mackey es la topología localmente convexa más fina para la cual esto es cierto, lo que hace que esta topología sea importante. ${\displaystyle (Y,\tau (Y,X,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Dado que, en general, la envoltura convexa equilibrada de un subconjunto -compacto de no necesita ser -compacta, ^[3] la topología de Mackey puede ser estrictamente más burda que la topología Dado que cada conjunto -compacto está -acotado, la topología de Mackey es más burda que la topología fuerte ^[3] ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle c(X,Y,b).}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle b(X,Y,b).}$

Topología fuerte 𝛽(Y,incógnita)

Una base de vecindad (no solo una subbase ) en el origen de la topología es: ^[3] ${\displaystyle \beta (Y,X,b)}$

${\displaystyle \left\{A^{\circ }~:~A\subseteq X{\text{ is a }}\sigma (X,Y,b)-{\text{bounded}}{\text{ subset of }}X\right\}.}$

La topología fuerte es más fina que la topología de Mackey. ^[3] ${\displaystyle \beta (Y,X,b)}$

Topologías polares y espacios vectoriales topológicos

A lo largo de esta sección, será un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo y será el emparejamiento canónico , donde por definición El espacio vectorial siempre distingue/separa los puntos de pero puede fallar en distinguir los puntos de (esto sucede necesariamente si, por ejemplo, no es Hausdorff), en cuyo caso el emparejamiento no es un par dual. Por el teorema de Hahn-Banach , si es un espacio localmente convexo de Hausdorff entonces separa los puntos de y por lo tanto forma un par dual. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

Propiedades

• Si cubre entonces el mapa canónico de dentro está bien definido. Es decir, para toda la función de evaluación en el sentido de que el mapa es continuo en ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X'_{\mathcal {G}}\right)'}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X'.}$ ${\displaystyle x'\in X'\mapsto \langle x',x\rangle ,}$ ${\displaystyle X'_{\mathcal {G}}.}$
  • Si además separa puntos en entonces la función canónica de en es una inyección. ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X'_{\mathcal {G}}\right)'}$
• Supóngase que es una lineal continua y que y son colecciones de subconjuntos acotados de y respectivamente, que cada uno satisface los axiomas y Entonces la transpuesta de es continua si para cada hay alguno tal que ^[6] ${\displaystyle u:E\to F}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}.}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y'_{\mathcal {H}}\to X'_{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle u(G)\subseteq H.}$
  • En particular, la transpuesta de es continua si lleva la topología (respectivamente, ) y lleva cualquier topología más fuerte que la topología (respectivamente, ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle \gamma (X',X),}$ ${\displaystyle c(X',X),}$ ${\displaystyle b(X',X)}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle \sigma (Y',Y)}$ ${\displaystyle \gamma (Y',Y),}$ ${\displaystyle c(Y',Y),}$ ${\displaystyle b(Y',Y)}$
• Si es una TVS de Hausdorff localmente convexa sobre el cuerpo y es una colección de subconjuntos acotados de que satisface axiomas y entonces la función bilineal definida por es continua si y solo si es normable y la -topología en es la topología dual fuerte ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}}$ ${\displaystyle X\times X'_{\mathcal {G}}\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (x,x')\mapsto \langle x',x\rangle =x'(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle b(X',X).}$
• Supongamos que es un espacio de Fréchet y es una colección de subconjuntos acotados de que satisface axiomas y Si contiene todos los subconjuntos compactos de entonces es completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'_{\mathcal {G}}}$

Topologías polares en el espacio dual continuo

En todo momento, se realizará un TVS sobre el campo con espacio dual continuo y se asociará con el emparejamiento canónico. La siguiente tabla define muchas de las topologías polares más comunes en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'.}$

Notación : Si denota una topología polar, entonces dotado de esta topología se denotará por (por ejemplo, si entonces y por lo que denota con dotado de ). Si además, entonces este TVS puede denotarse por (por ejemplo, ). ${\displaystyle \Delta (X',Z)}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'_{\Delta (X',Z)}}$ ${\displaystyle \tau (X',X'')}$ ${\displaystyle \Delta =\tau }$ ${\displaystyle Z=X''}$ ${\displaystyle X'_{\tau (X',X'')}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \tau (X',X'')}$
${\displaystyle Z=X}$ ${\displaystyle X'_{\Delta }}$ ${\displaystyle X'_{\sigma }:=X'_{\sigma (X',X)}}$

La razón por la que algunas de las colecciones anteriores (en la misma fila) inducen las mismas topologías polares se debe a algunos resultados básicos. Un subconjunto cerrado de un TVS completo es completo y un subconjunto completo de un Hausdorff y un TVS completo es cerrado. ^[7] Además, en cada TVS, los subconjuntos compactos son completos ^[7] y la envoltura equilibrada de un subconjunto compacto (resp. totalmente acotado ) es nuevamente compacta (resp. totalmente acotada). ^[8] Además, un espacio de Banach puede ser completo sin ser débilmente completo.

Si es acotado entonces es absorbente en (nótese que ser absorbente es una condición necesaria para ser un vecindario del origen en cualquier topología TVS en ). ^[2] Si es un espacio localmente convexo y es absorbente en entonces es acotado en Además, un subconjunto es débilmente acotado si y solo si es absorbente en Por esta razón, es común restringir la atención a familias de subconjuntos acotados de ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle X'.}$ ${\displaystyle X.}$

Topología débil/débil*σ(X ' , X)

La topología tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle \sigma (X',X)}$

• Teorema de Banach-Alaoglu : Todo subconjunto equicontinuo dees relativamente compacto para ^[9] ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \sigma (X',X).}$
  • de ello se deduce que el -cierre de la envoltura convexa equilibrada de un subconjunto equicontinuo de es equicontinuo y -compacto. ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$
• Teorema (S. Banach): Supóngase que y son espacios de Fréchet o que son duales de espacios de Fréchet reflexivos y que es una función lineal continua. Entonces es sobreyectiva si y sólo si la transpuesta de es biyectiva y la imagen de es débilmente cerrada en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X',}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}.}$
• Supóngase que y son espacios de Fréchet , es un espacio localmente convexo de Hausdorff y que es una función bilineal continua por separado. Entonces es continua. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle u:X'_{\sigma }\times Y'_{\sigma }\to Z'_{\sigma }}$ ${\displaystyle u:X'_{b}\times Y'_{b}\to Z'_{b}}$
  • En particular, cualquier mapa bilineal continuo por separado del producto de dos duales de espacios de Fréchet reflexivos en un tercero es continuo.
• ${\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}}$es normable si y sólo si es de dimensión finita. ${\displaystyle X}$
• Cuando la topología es de dimensión infinita , es estrictamente más burda que la topología dual fuerte ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle b(X',X).}$
• Supóngase que es un espacio de Hausdorff localmente convexo y que es su completitud. Si entonces es estrictamente más fino que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X\neq {\hat {X}}}$ ${\displaystyle \sigma (X',{\hat {X}})}$ ${\displaystyle \sigma (X',X).}$
• Cualquier subconjunto equicontinuo en el dual de un espacio vectorial localmente convexo de Hausdorff separable es metrizable en la topología. ${\displaystyle \sigma (X',X)}$
• Si es localmente convexo, entonces un subconjunto está acotado si y solo si existe un barril en tal que ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq X'}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }.}$

Convergencia compacta-convexay(X ' , X)

Si es un espacio de Fréchet entonces las topologías ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma \left(X',X\right)=c\left(X',X\right).}$

Convergencia compactac(X ' , X)

Si es un espacio de Fréchet o un espacio LF entonces es completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c(X',X)}$

Supongamos que es un espacio vectorial topológico metrizable y que si la intersección de con cada subconjunto equicontinuo de es débilmente abierta, entonces es abierta en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W'\subseteq X'.}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle c(X',X).}$

Convergencia precompacta

Teorema de Banach-Alaoglu : Un subconjunto equicontinuotiene clausura compacta en la topología de convergencia uniforme en conjuntos precompactos. Además, esta topologíacoincide con latopología. ${\displaystyle K\subseteq X'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$

Topología de Mackeyτ( X ' , X )

Al dejar que sea el conjunto de todos los subconjuntos débilmente compactos convexos balanceados de tendrá la topología de Mackey en o la topología de convergencia uniforme en conjuntos débilmente compactos convexos balanceados , que se denota por y con esta topología se denota por ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \tau (X',X)}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'_{\tau (X',X)}.}$

Topología dual fuerteb(X ' , X)

Debido a la importancia de esta topología, el espacio dual continuo de se denota comúnmente simplemente por En consecuencia, ${\displaystyle X'_{b}}$ ${\displaystyle X''.}$ ${\displaystyle (X'_{b})'=X''.}$

La topología tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle b(X',X)}$

• Si es localmente convexo, entonces esta topología es más fina que todas las demás topologías cuando se consideran solo aquellos cuyos conjuntos son subconjuntos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es un espacio bornológico (por ejemplo, metrizable o espacio LF ), entonces es completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$
• Si es un espacio normado entonces la topología dual fuerte en puede definirse por la norma donde ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \left\|x'\right\|:=\sup _{x\in X,\|x\|=1}\left|\left\langle x',x\right\rangle \right|,}$ ${\displaystyle x'\in X'.}$
• Si es un espacio LF que es el límite inductivo de la secuencia del espacio (para ), entonces es un espacio de Fréchet si y sólo si todos son normables. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k=0,1\dots }$ ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$ ${\displaystyle X_{k}}$
• Si es un espacio de Montel entonces ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$tiene la propiedad de Heine-Borel (es decir, cada subconjunto cerrado y acotado de es compacto en ) ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$ ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$
  • En los subconjuntos acotados de las topologías fuerte y débil coinciden (y por tanto también lo hacen todas las demás topologías más finas que y más gruesas que ). ${\displaystyle X'_{b(X',X)},}$ ${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle b(X',X)}$
  • Toda secuencia débilmente convergente en es fuertemente convergente. ${\displaystyle X'}$

Topología de Mackeyτ( X , X ' ' )

Al dejar que sea el conjunto de todos los subconjuntos débilmente compactos convexos balanceados de tendrá la topología de Mackey en inducida por o la topología de convergencia uniforme en subconjuntos débilmente compactos convexos balanceados de , que se denota por y con esta topología se denota por ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,'\,'}$ ${\displaystyle X''=\left(X'_{b}\right)',X'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle \tau (X',X'')}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'_{\tau (X',X'')}.}$

• Esta topología es más fina que y, por lo tanto, más fina que ${\displaystyle b(X',X)}$ ${\displaystyle \tau (X',X).}$

Topologías polares inducidas por subconjuntos del espacio dual continuo

En todo momento, habrá un TVS sobre el campo con espacio dual continuo y el emparejamiento canónico estará asociado con y La siguiente tabla define muchas de las topologías polares más comunes en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'.}$ ${\displaystyle X.}$

Notación : Si denota una topología polar en entonces dotado con esta topología será denotado por o (por ejemplo para tendríamos de modo que y ambos denotan con dotado con ). ${\displaystyle \Delta \left(X,X'\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\Delta \left(X,X'\right)}}$ ${\displaystyle X_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,X')}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}$

El cierre de un subconjunto equicontinuo de es débilmente compacto y equicontinuo y, además, la envoltura convexa equilibrada de un subconjunto equicontinuo es equicontinua. ${\displaystyle X'}$

Topología débil𝜎( X , X ' )

Supóngase que y son espacios localmente convexos de Hausdorff con metrizables y que es una función lineal. Entonces es continua si y solo si es continua. Es decir, es continua cuando y tienen sus topologías dadas si y solo si es continua cuando y tienen sus topologías débiles. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:\sigma \left(X,X'\right)\to \sigma \left(Y,Y'\right)}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Convergencia en conjuntos equicontinuos𝜀( X , X ' )

Si fuera el conjunto de todos los subconjuntos equicontinuos débilmente compactos balanceados convexos de entonces se habría inducido la misma topología. ${\displaystyle {\mathcal {G}}'}$ ${\displaystyle X',}$

Si es localmente convexo y Hausdorff entonces la topología dada de (es decir, la topología que comenzó con) es exactamente Es decir, para Hausdorff y localmente convexo, si entonces es equicontinuo si y solo si es equicontinuo y además, para cualquier es un vecindario del origen si y solo si es equicontinuo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon (X,X').}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E\subset X'}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{\circ }}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$

Es importante destacar que un conjunto de funcionales lineales continuos en un TVS es equicontinuo si y solo si está contenido en la polar de algún vecindario del origen en (es decir, ). Dado que la topología de un TVS está completamente determinada por los vecindarios abiertos del origen, esto significa que a través de la operación de tomar la polar de un conjunto, la colección de subconjuntos equicontinuos de "codifica" toda la información sobre la topología de (es decir, las distintas topologías TVS en producen distintas colecciones de subconjuntos equicontinuos, y dada cualquier colección de este tipo se puede recuperar la topología original del TVS tomando las polares de los conjuntos en la colección). Por lo tanto, la convergencia uniforme en la colección de subconjuntos equicontinuos es esencialmente "convergencia en la topología de ". ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq U^{\circ }}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Topología de Mackeyτ( X , X ' )

Supongamos que es un espacio de Hausdorff localmente convexo. Si es metrizable o en forma de barril , entonces la topología original de es idéntica a la topología de Mackey ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \left(X,X'\right).}$

Topologías compatibles con emparejamientos

Sea un espacio vectorial y sea un subespacio vectorial del dual algebraico de que separa puntos en Si es cualquier otro espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo topología en entonces es compatible con la dualidad entre y si cuando está equipado con entonces tiene como su espacio dual continuo. Si se da la topología débil entonces es un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) de Hausdorff y es compatible con la dualidad entre y (es decir ). Surge la pregunta: ¿cuáles son todas las topologías TVS de Hausdorff localmente convexas que se pueden colocar en que sean compatibles con la dualidad entre y ? La respuesta a esta pregunta se llama teorema de Mackey-Arens . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}'=\left(X_{\sigma (X,Y)}\right)'=Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Véase también

• Topología dual
• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Conjunto polar  : subconjunto de todos los puntos que está limitado por algún punto dado de un dual (en un emparejamiento dual)
• Topologías sobre espacios de aplicaciones lineales
• Topología consistente con la dualidad
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Referencias

1. Trèves 2006, pág. 195.
2. Trèves 2006, págs. 195-201.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225-273.
4. Robertson y Robertson 1964, III.2
5. Schaefer y Wolff 1999, pág. 80.
6. Trèves 2006, págs. 199-200.
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 47–66.
8. Narici y Beckenstein 2011, págs. 67–113.
9. Schaefer y Wolff 1999, pág. 85.
10. Trèves 2006, pág. 198.
11. Trèves 2006, págs. 433.

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Robertson, AP; Robertson, W. (1964). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge University Press.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .