Topologías sobre espacios de aplicaciones lineales

En matemáticas , en particular en el análisis funcional , los espacios de aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales pueden estar dotados de una variedad de topologías . El estudio de los espacios de aplicaciones lineales y de estas topologías puede dar una idea de los espacios mismos.

El artículo Topologías de operadores analiza topologías en espacios de mapas lineales entre espacios normados , mientras que este artículo analiza topologías en dichos espacios en el contexto más general de los espacios vectoriales topológicos (TVS).

Topologías de convergencia uniforme en espacios arbitrarios de mapas

En todo momento se supone lo siguiente:

1. ${\displaystyle T}$es cualquier conjunto no vacío y es una colección no vacía de subconjuntos de dirigida por la inclusión de subconjuntos (es decir, para cualquier existe alguno tal que ). ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$
2. ${\displaystyle Y}$es un espacio vectorial topológico (no necesariamente de Hausdorff o localmente convexo).
3. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$es una base de barrios de 0 en ${\displaystyle Y.}$
4. ${\displaystyle F}$es un subespacio vectorial de ^{[nota 1]} que denota el conjunto de funciones de todos los valores con dominio ${\displaystyle Y^{T}=\prod _{t\in T}Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:T\to Y}$ ${\displaystyle T.}$

Topología 𝒢

Los siguientes conjuntos constituirán los subconjuntos abiertos básicos de topologías en espacios de aplicaciones lineales. Para cualquier subconjunto y sea ${\displaystyle G\subseteq T}$ ${\displaystyle N\subseteq Y,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N):=\{f\in F:f(G)\subseteq N\}.}$$

La familia forma una base de vecindad ^[1] en el origen para una topología única invariante a la traducción en donde esta topología no es necesariamente una topología vectorial (es decir, podría no convertirse en una TVS). Esta topología no depende de la base de vecindad que se eligió y se conoce como la topología de convergencia uniforme en los conjuntos en o como la -topología ^[2] . Sin embargo, este nombre se cambia con frecuencia según los tipos de conjuntos que la componen (por ejemplo, la "topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos" o la "topología de convergencia compacta", consulte la nota al pie para obtener más detalles ^[3] ). $${\displaystyle \{{\mathcal {U}}(G,N):G\in {\mathcal {G}},N\in {\mathcal {N}}\}}$$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Se dice que un subconjunto de es fundamental con respecto a si cada uno es un subconjunto de algún elemento en En este caso, la colección se puede reemplazar por sin cambiar la topología en ^[2] También se puede reemplazar con la colección de todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de elementos de sin cambiar la -topología resultante en ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F.}$

Llame a un subconjunto de -limitado si es un subconjunto acotado de para cada ^[5] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(B)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in F.}$

Teorema ^{[2] [5]}  —  La -topología en es compatible con la estructura del espacio vectorial de si y solo si cada uno está -acotado; es decir, si y solo si para cada uno y cada uno está acotado en ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f\in F,}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle Y.}$

Propiedades

Ahora se describirán las propiedades de los conjuntos abiertos básicos, por lo que supongamos que y Entonces es un subconjunto absorbente de si y solo si para todos los absorbe . ^[6] Si está equilibrado ^[6] (respectivamente, convexo ) entonces también lo es ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in F,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N).}$

La igualdad siempre se cumple. Si es un escalar entonces de modo que en particular, ^[6] Además, ^[4] y de manera similar ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {U}}(\varnothing ,N)=F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,sN),}$ ${\displaystyle -{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,-N).}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)-{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N-N)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)+{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M+N).}$$

Para cualquier subconjunto y cualquier subconjunto no vacío ^[5] lo que implica: ${\displaystyle G,H\subseteq X}$ ${\displaystyle M,N\subseteq Y,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G\cup H,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N)}$$

• Si entonces ^[6] ${\displaystyle M\subseteq N}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$
• Si entonces ${\displaystyle G\subseteq H}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(H,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$
• Para cualquier subconjunto de si entonces ${\displaystyle M,N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle G,H,K}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(K,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N).}$

Para cualquier familia de subconjuntos y cualquier familia de vecindades del origen en ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Y,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}\left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S,N\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}{\mathcal {U}}(S,N)\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {U}}\left(G,\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}M\right)=\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {U}}(G,M).}$$

Estructura uniforme

Para cualquier y sea cualquier entorno de (donde está dotado de su uniformidad canónica ), sea Dada la familia de todos los conjuntos como rangos sobre cualquier sistema fundamental de entornos de forma un sistema fundamental de entornos para una estructura uniforme en llamada la uniformidad de uniforme converge sobre o simplemente la estructura uniforme de -convergencia . ^[7] La ​​estructura uniforme de -convergencia es el límite superior mínimo de todas las estructuras uniformes de -convergencia como rangos sobre ^[7] ${\displaystyle G\subseteq T}$ ${\displaystyle U\subseteq Y\times Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)~:=~\left\{(u,v)\in Y^{T}\times Y^{T}~:~(u(g),v(g))\in U\;{\text{ for every }}g\in G\right\}.}$$ ${\displaystyle G\subseteq T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Redes y convergencia uniforme

Sea y sea una red en Entonces para cualquier subconjunto de digamos que converge uniformemente a en si para cada existe algún tal que para cada que satisface (o equivalentemente, para cada ). ^[5] ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle i\geq i_{0},I}$ ${\displaystyle f_{i}-f\in {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle f_{i}(g)-f(g)\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$

Teorema ^[5]  —  Si y si es una red en entonces en la -topología en si y solo si para cada converge uniformemente a en ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle f_{\bullet }\to f}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G.}$

Propiedades heredadas

Convexidad local

Si es localmente convexo entonces también lo es la -topología en y si es una familia de seminormas continuas que generan esta topología en entonces la -topología es inducida por la siguiente familia de seminormas: como varía sobre y varía sobre . ^[8] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ $${\displaystyle p_{G,i}(f):=\sup _{x\in G}p_{i}(f(x)),}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

La condición de Hausdorff

Si es Hausdorff y entonces la -topología en es Hausdorff. ^[5] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T=\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$

Supongamos que es un espacio topológico. Si es de Hausdorff y es el subespacio vectorial de que consta de todas las funciones continuas que están acotadas en cada y si es denso en entonces la topología en es de Hausdorff. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$

Limitación

Un subconjunto de está acotado en la -topología si y sólo si para cada está acotado en ^[8] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H(G)=\bigcup _{h\in H}h(G)}$ ${\displaystyle Y.}$

Ejemplos de topologías 𝒢

Convergencia puntual

Si dejamos que sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de entonces la -topología en se llama topología de convergencia puntual . La topología de convergencia puntual en es idéntica a la topología de subespacio que hereda de cuando está dotada de la topología de producto habitual . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle Y^{T}}$

Si es un espacio topológico de Hausdorff completamente regular no trivial y es el espacio de todas las funciones continuas de valor real (o complejo) en la topología de convergencia puntual en es metrizable si y solo si es contable. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$

Topologías 𝒢 en espacios de aplicaciones lineales continuas

A lo largo de esta sección asumiremos que y son espacios vectoriales topológicos . será una colección no vacía de subconjuntos de dirigidos por inclusión. denotará el espacio vectorial de todos los mapas lineales continuos de en Si se da la -topología heredada de entonces este espacio con esta topología se denota por . El espacio dual continuo de un espacio vectorial topológico sobre el cuerpo (que asumiremos que son números reales o complejos ) es el espacio vectorial y se denota por . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle L(X;\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

La topología de es compatible con la estructura del espacio vectorial de si y solo si para todos y cada uno de los conjuntos está acotado, lo que supondremos que es el caso en el resto del artículo. Nótese en particular que este es el caso si consta de subconjuntos acotados (de von-Neumann) de ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f\in L(X;Y)}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

Supuestos sobre 𝒢

Supuestos que garantizan una topología vectorial

• ( está dirigido): será una colección no vacía de subconjuntos de dirigidos por la inclusión de (subconjunto). Es decir, para cualquier existe tal que . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$

La suposición anterior garantiza que la colección de conjuntos forme una base de filtro . La siguiente suposición garantizará que los conjuntos estén equilibrados . Cada TVS tiene una base de vecindad en 0 que consta de conjuntos equilibrados, por lo que esta suposición no es complicada. ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$

• ( están equilibrados): es una base de vecindades del origen en que consiste enteramente de conjuntos equilibrados . ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle Y}$

La siguiente suposición se hace muy comúnmente porque garantizará que cada conjunto absorba ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle L(X;Y).}$

• ( están acotados): se supone que consiste enteramente en subconjuntos acotados de ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

El siguiente teorema proporciona formas en las que se puede modificar sin cambiar la topología resultante. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y.}$

Teorema ^[6]  —  Sea una colección no vacía de subconjuntos acotados de Entonces la -topología de no se altera si se reemplaza por cualquiera de las siguientes colecciones de subconjuntos (también acotados) de : ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$

1. todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de conjuntos en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
2. todos los múltiplos escalares de todos los conjuntos en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
3. todas las sumas finitas de Minkowski de conjuntos en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
4. el casco equilibrado de cada conjunto en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
5. el cierre de cada conjunto en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

y si y son localmente convexos, entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

6. El casco cerrado, convexo y equilibrado de cada conjunto. ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Supuestos comunes

Algunos autores (por ejemplo Narici) exigen que se cumpla la siguiente condición, lo que implica, en particular, que esté dirigido por inclusión de subconjuntos: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}}$se supone que está cerrado con respecto a la formación de subconjuntos de uniones finitas de conjuntos en (es decir, cada subconjunto de cada unión finita de conjuntos en pertenece a ). ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Algunos autores (por ejemplo, Trèves ^[9] ) exigen que se dirija bajo inclusión de subconjuntos y que se satisfaga la siguiente condición: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Si y es un escalar entonces existe un tal que ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle sG\subseteq H.}$

Si es una bornología , lo que suele suceder, entonces se cumplen estos axiomas. Si es una familia saturada de subconjuntos acotados de entonces también se cumplen estos axiomas. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

La condición de Hausdorff

Un subconjunto de un TVS cuyo lapso lineal es un subconjunto denso de se dice que es un subconjunto total de Si es una familia de subconjuntos de un TVS entonces se dice que es total en si el lapso lineal de es denso en ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle T.}$

Si es el subespacio vectorial de que consiste en todos los mapas lineales continuos que están acotados en cada entonces la -topología en es Hausdorff si es Hausdorff y es total en ^[6] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T.}$

Lo completo

Para los siguientes teoremas, supongamos que es un espacio vectorial topológico y es un espacio de Hausdorff localmente convexo y es una colección de subconjuntos acotados de que cubre está dirigida por la inclusión de subconjuntos, y satisface la siguiente condición: si y es un escalar entonces existe un tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle sG\subseteq H.}$

• ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$está completo si
  1. ${\displaystyle X}$es localmente convexa y de Hausdorff,
  2. ${\displaystyle Y}$está completo, y
  3. siempre que sea un mapa lineal entonces restringido a cada conjunto es continuo implica que es continuo, ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle u}$
• Si es un espacio de Mackey, entonces es completo si y solo si tanto como son completos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle X_{\mathcal {G}}^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$
• Si es barreled entonces es Hausdorff y cuasi-completo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
• Sean y sean subconjuntos de TVS con cuasicompletos y supongamos que (1) tiene forma de barril o bien (2) es un espacio de Baire y y son localmente convexos. Si cubre entonces cada subconjunto equicontinuo cerrado de es completo en y es cuasicompleto. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
• Sea un espacio bornológico , un espacio localmente convexo y una familia de subconjuntos acotados de tal que el rango de cada secuencia nula en esté contenido en algún Si es cuasi-completo (respectivamente, completo ), entonces también lo es . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$

Limitación

Sean y espacios vectoriales topológicos y un subconjunto de Entonces los siguientes son equivalentes: ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y).}$

1. ${\displaystyle H}$está delimitado en ; ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
2. Porque todo está limitado en ; ^[8] ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H(G):=\bigcup _{h\in H}h(G)}$ ${\displaystyle Y}$
3. Porque cada vecindad del origen en el conjunto absorbe cada ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$

Si es una colección de subconjuntos acotados de cuya unión es total en entonces cada subconjunto equicontinuo de está acotado en la -topología. ^[11] Además, si y son espacios de Hausdorff localmente convexos entonces ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• Si está acotado en (es decir, puntualmente acotado o simplemente acotado), entonces está acotado en la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos convexos, equilibrados, acotados y completos de ^[13] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es cuasi-completo (lo que significa que los subconjuntos cerrados y acotados son completos), entonces los subconjuntos acotados de son idénticos para todas las topologías donde es cualquier familia de subconjuntos acotados de que cubren ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

La topología de la convergencia puntual

Al dejar que sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de tendrá la topología débil en o la topología de convergencia puntual o la topología de convergencia simple y con esta topología se denota por . Desafortunadamente, esta topología también se llama a veces topología de operador fuerte , lo que puede llevar a ambigüedad; ^[6] por esta razón, este artículo evitará referirse a esta topología con este nombre. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

Un subconjunto de se denomina simplemente acotado o débilmente acotado si está acotado en . ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

La topología débil tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle L(X;Y)}$

• Si es separable (es decir, tiene un subconjunto denso contable) y si es un espacio vectorial topológico metrizable, entonces todo subconjunto equicontinuo de es metrizable; si además es separable, entonces también lo es ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H.}$
  • Así, en particular, cada subconjunto equicontinuo de la topología de convergencia puntual es metrizable. ${\displaystyle L(X;Y),}$
• Sea el espacio de todas las funciones de en Si se da la topología de convergencia puntual, entonces el espacio de todas las funciones lineales (continuas o no) en es cerrado en . ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{X}}$
  • Además, es denso en el espacio de todos los mapas lineales (continuos o no) en ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
• Supóngase que y son localmente convexos. Cualquier subconjunto simplemente acotado de es acotado cuando tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos, equilibrados , acotados y completos de Si además es cuasi-completo entonces las familias de subconjuntos acotados de son idénticas para todas las topologías de en tales que es una familia de conjuntos acotados que abarca ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

Subconjuntos equicontinuos

• El cierre débil de un subconjunto equicontinuo de es equicontinuo. ${\displaystyle L(X;Y)}$
• Si es localmente convexo, entonces la envoltura convexa equilibrada de un subconjunto equicontinuo de es equicontinuo. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
• Sean y sean TVS y supongamos que (1) tiene un cañón o bien (2) es un espacio de Baire y y son localmente convexos. Entonces, todo subconjunto simplemente acotado de es equicontinuo. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
• En un subconjunto equicontinuo de las siguientes topologías son idénticas: (1) la topología de convergencia puntual en un subconjunto total de ; (2) la topología de convergencia puntual; (3) la topología de convergencia precompacta. ^[11] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y),}$ ${\displaystyle X}$

Convergencia compacta

Al dejar ser el conjunto de todos los subconjuntos compactos de tendrá la topología de convergencia compacta o la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos y con esta topología se denota por . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$

La topología de convergencia compacta tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle L(X;Y)}$

• Si es un espacio de Fréchet o un espacio LF y si es un espacio de Hausdorff localmente convexo completo , entonces es completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$
• En subconjuntos equicontinuos coinciden las siguientes topologías: ${\displaystyle L(X;Y),}$
  • La topología de convergencia puntual en un subconjunto denso de ${\displaystyle X,}$
  • La topología de convergencia puntual en ${\displaystyle X,}$
  • La topología de convergencia compacta.
  • La topología de la convergencia precompacta.
• Si es un espacio de Montel y es un espacio vectorial topológico, entonces y tienen topologías idénticas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

Topología de convergencia acotada

Al dejar que sea el conjunto de todos los subconjuntos acotados de tendrá la topología de convergencia acotada en o la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados y con esta topología se denota por . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

La topología de convergencia acotada tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle L(X;Y)}$

• Si es un espacio bornológico y si es un espacio de Hausdorff localmente convexo completo , entonces es completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
• Si y son ambos espacios normados, entonces la topología en inducida por la norma del operador habitual es idéntica a la topología en . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
  • En particular, si es un espacio normado, entonces la topología normativa habitual en el espacio dual continuo es idéntica a la topología de convergencia acotada en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Todo subconjunto equicontinuo de está acotado en . ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

Topologías polares

En todo momento asumimos que se trata de un TVS. ${\displaystyle X}$

Topologías 𝒢 versus topologías polares

Si es un TVS cuyos subconjuntos acotados son exactamente los mismos que sus subconjuntos débilmente acotados (por ejemplo, si es un espacio localmente convexo de Hausdorff), entonces una -topología en (tal como se define en este artículo) es una topología polar y, a la inversa, toda topología polar si es una -topología. En consecuencia, en este caso los resultados mencionados en este artículo se pueden aplicar a las topologías polares. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Sin embargo, si es un TVS cuyos subconjuntos acotados no son exactamente los mismos que sus subconjuntos débilmente acotados, entonces la noción de "acotado en " es más fuerte que la noción de " -acotado en " (es decir, acotado en implica -acotado en ) de modo que una -topología en (tal como se define en este artículo) no es necesariamente una topología polar. Una diferencia importante es que las topologías polares siempre son localmente convexas mientras que las -topologías no necesitan serlo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Las topologías polares tienen resultados más sólidos que las topologías más generales de convergencia uniforme descritas en este artículo. Remitimos la lectura al artículo principal: topología polar . Aquí enumeramos algunas de las topologías polares más comunes.

Lista de topologías polares

Supongamos que se trata de un TVS cuyos subconjuntos acotados son los mismos que sus subconjuntos débilmente acotados. ${\displaystyle X}$

Notación : Si denota una topología polar en entonces dotado de esta topología se denotará por o simplemente (por ejemplo, para tendríamos de modo que y todos denotan con dotado de ). ${\displaystyle \Delta (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$

Topologías 𝒢-ℋ en espacios de aplicaciones bilineales

Denotaremos el espacio de aplicaciones bilineales continuas por separado y denotaremos el espacio de aplicaciones bilineales continuas, donde y son espacios vectoriales topológicos sobre el mismo cuerpo (ya sea los números reales o complejos). De manera análoga a cómo colocamos una topología en podemos colocar una topología en y . ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$

Sea (respectivamente, ) una familia de subconjuntos de (respectivamente, ) que contiene al menos un conjunto no vacío. Sea la colección de todos los conjuntos donde podemos colocar en la -topología, y en consecuencia en cualquiera de sus subconjuntos, en particular en y en . Esta topología se conoce como la -topología o como la topología de convergencia uniforme sobre los productos de . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}.}$ ${\displaystyle Z^{X\times Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}-{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$

Sin embargo, como antes, esta topología no es necesariamente compatible con la estructura del espacio vectorial de o de sin el requisito adicional de que para todas las aplicaciones bilineales, en este espacio (es decir, en o en ) y para todos y el conjunto está acotado en Si tanto y consisten en conjuntos acotados, entonces este requisito se satisface automáticamente si estamos topologizando, pero este puede no ser el caso si estamos tratando de topologiizar . La -topología en será compatible con la estructura del espacio vectorial de si tanto y consisten en conjuntos acotados y se cumple cualquiera de las siguientes condiciones: ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}},}$ ${\displaystyle b(G,H)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}-{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

• ${\displaystyle X}$y son espacios en forma de barril y son localmente convexos. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$
• ${\displaystyle X}$es un F-espacio , es metrizable y es Hausdorff, en cuyo caso ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)=B(X,Y;Z).}$
• ${\displaystyle X,Y,}$y son los duales fuertes de los espacios reflexivos de Fréchet. ${\displaystyle Z}$
• ${\displaystyle X}$está normado y los duales fuertes de los espacios reflexivos de Fréchet. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

La topología ε

Supóngase que y son espacios localmente convexos y sean y las colecciones de subconjuntos equicontinuos de y , respectivamente. Entonces la -topología en será una topología de espacio vectorial topológico. Esta topología se llama ε-topología y con esta topología se denota por o simplemente por ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }-{\mathcal {H}}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)};Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$

Parte de la importancia de este espacio vectorial y esta topología es que contiene muchos subespacios, como los que denotamos por Cuando se da este subespacio, su topología se denota por ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$

En el caso donde es el campo de estos espacios vectoriales, es un producto tensorial de y De hecho, si y son espacios de Hausdorff localmente convexos entonces es un espacio vectorial isomorfo a que a su vez es igual a ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}\right),}$ ${\displaystyle L\left(X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y\right).}$

Estos espacios tienen las siguientes propiedades:

• Si y son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces es completo si y sólo si ambos y son completos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Si y están ambos normalizados (respectivamente, ambos Banach) entonces también lo es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

Véase también

• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Operador lineal acotado  – Transformación lineal entre espacios vectoriales topológicosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Sistema dual
• Topología dual
• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Modos de convergencia  – Propiedad de una secuencia o serie
• Norma del operador  : medida del "tamaño" de los operadores lineales
• Topología polar  : topología espacial dual de convergencia uniforme en alguna subcolección de subconjuntos acotados
• Espacio dual fuerte  – Espacio dual continuo dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados
• Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Convergencia uniforme  – Modo de convergencia de una secuencia de funciones
• Espacio uniforme  – Espacio topológico con una noción de propiedades uniformes
• Topología débil  – Término matemático
  • Topología vaga

Referencias

1. Debido a que es simplemente un conjunto que aún no se supone que esté dotado de ninguna estructura de espacio vectorial, aún no se debe suponer que consiste en mapas lineales, lo cual es una notación que actualmente no se puede definir. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F\subseteq Y^{T}}$

1. Nótese que cada conjunto es un vecindario del origen para esta topología, pero no es necesariamente un vecindario abierto del origen. ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$
2. Schaefer y Wolff 1999, págs. 79–88.
3. En la práctica, generalmente consiste en una colección de conjuntos con ciertas propiedades y este nombre se cambia apropiadamente para reflejar este conjunto de modo que si, por ejemplo, es la colección de subconjuntos compactos de (y es un espacio topológico), entonces esta topología se llama topología de convergencia uniforme en los subconjuntos compactos de ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T.}$
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 19–45.
5. Jarchow 1981, págs. 43–55.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs. 371–423.
7. Grothendieck 1973, págs. 1–13.
8. Schaefer y Wolff 1999, pág. 81.
9. Trèves 2006, Capítulo 32.
10. Schaefer y Wolff 1999, pág. 80.
11. Schaefer y Wolff 1999, pág. 83.
12. Schaefer y Wolff 1999, pág. 117.
13. Schaefer y Wolff 1999, pág. 82.
14. Schaefer y Wolff 1999, pág. 87.

Bibliografía

• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional: Curso introductorio sobre la teoría de la dualidad Topología-Bornología y su uso en el análisis funcional . Estudios matemáticos de Holanda Septentrional. Vol. 26. Ámsterdam, Nueva York, Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087137-0. Sr.  0500064. OCLC  316549583.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .