Conjunto absolutamente convexo

Conjunto convexo y equilibrado

En matemáticas , se dice que un subconjunto C de un espacio vectorial real o complejo es absolutamente convexo o en forma de disco si es convexo y está equilibrado (algunas personas usan el término "circular" en lugar de "equilibrado"), en cuyo caso se le llama disco . La envoltura en forma de disco o envoltura convexa absoluta de un conjunto es la intersección de todos los discos que contienen ese conjunto.

Definición

La zona gris clara es la envoltura absolutamente convexa de la cruz.

Un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo se denomina ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$disco y se dice que esdisquete ,absolutamente convexo , yconvexo equilibrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle S}$es un conjunto convexo y equilibrado .
2. para cualquier escalar y si entonces ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq 1}$ ${\displaystyle aS+bS\subseteq S.}$
3. para todos los escalares y si entonces ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq |c|,}$ ${\displaystyle aS+bS\subseteq cS.}$
4. para cualquier escalar y si entonces ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq |c|}$ ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.}$
5. para cualquier escalar si entonces ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ ${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1}$ ${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.}$

El subconjunto convexo más pequeño (respectivamente, equilibrado ) que contiene un conjunto dado se denomina envoltura convexa (respectivamente, envoltura equilibrada) de ese conjunto y se denota por (respectivamente, ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$

De manera similar, lacasco en disco , elenvoltura convexa absoluta , y laLa envoltura convexa equilibrada de un conjuntose define como el disco más pequeño (con respecto ala inclusión) que contiene^[1]. La envoltura en disco dese denotará poroy es igual a cada uno de los siguientes conjuntos: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {disk} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

1. ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$que es la envoltura convexa de la envoltura equilibrada de ; por lo tanto, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$
   • En general, es posible incluso en espacios vectoriales de dimensión finita . ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
2. la intersección de todos los discos que contienen ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \left\{a_{1}s_{1}+\cdots a_{n}s_{n}~:~n\in \mathbb {N} ,\,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S,\,{\text{ and }}a_{1},\ldots ,a_{n}{\text{ are scalars satisfying }}|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1\right\}.}$

Condiciones suficientes

La intersección de un número arbitrario de conjuntos absolutamente convexos es nuevamente absolutamente convexa; sin embargo, las uniones de conjuntos absolutamente convexos ya no necesitan ser absolutamente convexas.

Si es un disco entonces es absorbente si y sólo si ^[2] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$

Propiedades

Si es un disco absorbente en un espacio vectorial entonces existe un disco absorbente en tal que ^[3] Si es un disco y y son escalares entonces y ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E+E\subseteq S.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle sD=|s|D}$ ${\displaystyle (rD)\cap (sD)=(\min _{}\{|r|,|s|\})D.}$

La envoltura absolutamente convexa de un conjunto acotado en un espacio vectorial topológico localmente convexo está a su vez acotada.

Si es un disco acotado en un TVS y si es una secuencia en entonces las sumas parciales son Cauchy , donde para todo ^[4] En particular, si además es un subconjunto secuencialmente completo de entonces esta serie converge en a algún punto de ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$

La envoltura convexa equilibrada de contiene tanto la envoltura convexa de como la envoltura equilibrada de Además, contiene la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de por lo tanto, donde el ejemplo siguiente muestra que esta inclusión podría ser estricta. Sin embargo, para cualquier subconjunto si entonces lo que implica ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S;}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$ ${\displaystyle S,T\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} (\operatorname {bal} S).}$

Ejemplos

Aunque la envoltura convexa equilibrada de no es necesariamente igual a la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de ^[1] Para un ejemplo donde sea el espacio vectorial real y sea Entonces es un subconjunto estricto de que ni siquiera es convexo; en particular, este ejemplo también muestra que la envoltura equilibrada de un conjunto convexo no es necesariamente convexo. El conjunto es igual al cuadrado cerrado y lleno en con vértices y (esto se debe a que el conjunto equilibrado debe contener tanto y donde como también es convexo, debe contener en consecuencia el cuadrado sólido que para este ejemplo particular resulta estar también equilibrado de modo que ). Sin embargo, es igual al segmento de línea cerrado horizontal entre los dos puntos en de modo que es en cambio un subconjunto cerrado "en forma de reloj de arena " que interseca el eje exactamente en el origen y es la unión de dos triángulos isósceles cerrados y llenos : uno cuyos vértices son el origen junto con y el otro triángulo cuyos vértices son el origen junto con Este "reloj de arena" lleno no convexo es un subconjunto propio del cuadrado lleno ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S:=\{(-1,1),(1,1)\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (-1,1),(1,1),(-1,-1),}$ ${\displaystyle (1,-1)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {co} ((-S)\cup S),}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} ((-S)\cup S)}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -S=\{(-1,-1),(1,-1)\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$

Generalizaciones

Dado un número real fijo a ${\displaystyle 0<p\leq 1,}$ ${\displaystyle p}$-Un conjunto convexo es cualquier subconjuntode un espacio vectorialcon la propiedad de quesiempreque ysean escalares no negativos que satisfacen Se denomina ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle rc+sd\in C}$ ${\displaystyle c,d\in C}$ ${\displaystyle r,s\geq 0}$ ${\displaystyle r^{p}+s^{p}=1.}$conjunto absolutamente ${\displaystyle p}$ convexo o un ${\displaystyle p}$-disco sisiempre queyson escalares que satisfacen^[5] ${\displaystyle rc+sd\in C}$ ${\displaystyle c,d\in C}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle |r|^{p}+|s|^{p}\leq 1.}$

A ${\displaystyle p}$-seminorma ^[6]es cualquier función no negativaque satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$

1. Subaditividad / Desigualdad triangular : para todos ${\displaystyle q(x+y)\leq q(x)+q(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Homogeneidad absoluta de grado ${\displaystyle p}$ : para todos y cada uno de los escalares ${\displaystyle q(sx)=|s|^{p}q(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$

Esto generaliza la definición de seminormas , ya que una función es una seminorma si y solo si es una -seminorma (usando ). Existen -seminormas que no son seminormas . Por ejemplo, siempre que entonces la función usada para definir el espacio Lp sea una -seminorma pero no una seminorma. ^[6] ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p:=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle q(f)=\int _{\mathbb {R} }|f(t)|^{p}dt}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle p}$

Dado un espacio vectorial topológico es -seminormable (lo que significa que su topología es inducida por alguna -seminorm) si y solo si tiene un vecindario -convexo acotado del origen. ^[5] ${\displaystyle 0<p\leq 1,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Véase también

• Conjunto absorbente  : Conjunto que se puede "inflar" para alcanzar cualquier punto
• Espacio auxiliar normado
• Conjunto equilibrado  – Construcción en análisis funcional
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  : generalización de la acotación
• Conjunto convexo  : En geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.
• Dominio estelar  – Propiedad de los conjuntos de puntos en espacios euclidianos
• Conjunto simétrico  – Propiedad de los subconjuntos de un grupo (matemáticas)
• Vector (geométrico)  : objeto geométrico que tiene longitud y dirección Pages displaying short descriptions of redirect targets, para vectores en física.
• Campo vectorial  – Asignación de un vector a cada punto de un subconjunto del espacio euclidiano

Referencias

1. Trèves 2006, pág. 68.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 67–113.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 149-153.
4. Narici y Beckenstein 2011, pág. 471.
5. Narici y Beckenstein 2011, pág. 174.
6. Narici y Beckenstein 2011, pág. 86.

Bibliografía

• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge University Press . págs. 4–6.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .