Dominio estrella

Propiedad de conjuntos de puntos en espacios euclidianos

Un dominio estelar (equivalentemente, un conjunto de estrella convexo o en forma de estrella) no es necesariamente convexo en el sentido ordinario.

Un anillo no es un dominio estelar.

En geometría , un conjunto en el espacio euclidiano se llama dominio estelar (o conjunto estrella-convexo , conjunto en forma de estrella o conjunto radialmente convexo ) si existe tal que para todo el segmento de línea desde hasta se encuentre en Esta definición es inmediatamente generalizable a cualquier espacio vectorial real o complejo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S.}$

Intuitivamente, si uno piensa en una región rodeada por una pared, es un dominio estelar si uno puede encontrar un punto de vista desde el cual cualquier punto esté dentro de la línea de visión. Un concepto similar, pero distinto, es el de conjunto radial . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$

Definición

Dados dos puntos y en un espacio vectorial (como el espacio euclidiano ), la cáscara convexa de se llama intervalo cerrado con puntos extremos y se denota por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \left[x,y\right]~:=~\left\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\right\}~=~x+(y-x)[0,1],}$$

${\displaystyle z[0,1]:=\{zt:0\leq t\leq 1\}}$ ${\displaystyle z.}$

Se dice que un subconjunto de un espacio vectorial tiene forma de estrella en si para cada intervalo cerrado. Un conjunto tiene forma de estrella y se llama dominio estelar si existe algún punto que tenga forma de estrella en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle \left[s_{0},s\right]\subseteq S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}.}$

Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina conjunto de estrellas . ^[1] Estos conjuntos están relacionados con los funcionales de Minkowski .

Ejemplos

• Cualquier línea o plano es un dominio estelar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Una línea o un plano al que se le ha eliminado un solo punto no es un dominio estelar.
• Si es un conjunto en el conjunto obtenido conectando todos los puntos al origen es un dominio estrella. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle A}$
• Cualquier conjunto convexo no vacío es un dominio estrella. Un conjunto es convexo si y sólo si es un dominio estelar con respecto a cada punto de ese conjunto.
• Una figura en forma de cruz es un dominio estelar pero no es convexa.
• Un polígono en forma de estrella es un dominio estelar cuyo límite es una secuencia de segmentos de línea conectados.

Propiedades

• El cierre de un dominio estelar es un dominio estelar, pero el interior de un dominio estelar no es necesariamente un dominio estelar.
• Cada dominio estelar es un conjunto contráctil , mediante una homotopía en línea recta . En particular, cualquier dominio estelar es un conjunto simplemente conexo .
• Cada dominio estelar, y sólo un dominio estelar, puede "reducirse a sí mismo"; es decir, para cada relación de dilatación, el dominio estelar se puede dilatar en una relación tal que el dominio estelar dilatado esté contenido en el dominio estelar original. ^[2] ${\displaystyle r<1,}$ ${\displaystyle r}$
• La unión e intersección de dos dominios estelares no es necesariamente un dominio estelar.
• Un dominio estelar abierto no vacío es difeomorfo a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• Dado el conjunto (donde abarca todos los escalares de longitud unitaria ) es un conjunto equilibrado siempre que tenga forma de estrella en el origen (lo que significa que y para todos y ). ${\displaystyle W\subseteq X,}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in W}$ ${\displaystyle rw\in W}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle w\in W}$

Ver también

• Conjunto absolutamente convexo  – conjunto convexo y equilibradoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Conjunto absorbente  : conjunto que se puede "inflar" para llegar a cualquier punto.
• Problema de galería de arte  – Problema matemático
• Conjunto equilibrado  : constructo en análisis funcional.
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  - Generalización de la acotación
• Conjunto convexo  : en geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.
• Funcional de Minkowski  – Función hecha a partir de un conjunto
• conjunto radial
• Polígono estrella  – Polígono regular no convexo
• Conjunto simétrico  : propiedad de subconjuntos de grupos (matemáticas)

Referencias

1. Schechter 1996, pág. 303.
2. Drummond-Cole, Gabriel C. "¿Qué polígonos se pueden reducir a sí mismos?". Desbordamiento matemático . Consultado el 2 de octubre de 2014 .

• Ian Stewart, David Tall, Análisis complejo . Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-28763-4 , SEÑOR 0698076 
• CR Smith, Una caracterización de conjuntos en forma de estrella , American Mathematical Monthly , vol. 75, núm. 4 (abril de 1968). pag. 386, SEÑOR 0227724, JSTOR  2313423
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.

enlaces externos

• Humphreys, Alexis. "Estrella convexa". MundoMatemático .