Minkowski funcional

Función hecha a partir de un conjunto.

En matemáticas , en el campo del análisis funcional , un funcional de Minkowski (según Hermann Minkowski ) o función de calibre es una función que recupera una noción de distancia en un espacio lineal.

Si es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo entonces la función de Minkowski o calibre de se define como la función valorada en los números reales extendidos , definidos por ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}:X\to [0,\infty ],}$

$${\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ and }}x\in rK\}\quad {\text{ for every }}x\in X,}$$

mínimoinfinito positivonono ${\displaystyle \,\infty \,}$ ${\displaystyle p_{K}(x)}$

A menudo se supone/se elige que el conjunto tiene propiedades, como ser un disco absorbente , lo que garantiza que será una seminorma de valor real . De hecho, cada seminorma de es igual al funcional de Minkowski (es decir, ) de cualquier subconjunto de satisfactorio (donde los tres conjuntos son necesariamente absorbentes y el primero y el último también son discos). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle X}$

Así, cada seminorma (que es una función definida por propiedades puramente algebraicas) puede asociarse (de manera no única) con un disco absorbente (que es un conjunto con ciertas propiedades geométricas) y, a la inversa, cada disco absorbente puede asociarse con su funcional de Minkowski ( que necesariamente será una seminorma). Estas relaciones entre seminormas, funcionales de Minkowski y discos absorbentes son una de las principales razones por las que los funcionales de Minkowski se estudian y utilizan en el análisis funcional. En particular, a través de estas relaciones, los funcionales de Minkowski permiten "traducir" ciertas propiedades geométricas de un subconjunto de en ciertas propiedades algebraicas de una función en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

La función de Minkowski siempre es no negativa (es decir ). Esta propiedad de ser no negativa contrasta con otras clases de funciones, como las funciones sublineales y las funcionales lineales reales , que sí permiten valores negativos. Sin embargo, es posible que no tenga un valor real ya que para cualquier valor dado, el valor es un número real si y solo si no está vacío . En consecuencia, generalmente se supone que tiene propiedades (como ser absorbente , por ejemplo) que garantizarán su valor real. ${\displaystyle p_{K}\geq 0}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p_{K}(x)}$ ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{K}}$

Definición

Sea un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo. Defina el calibre de o el funcional de Minkowski asociado o inducido por como la función valorada en los números reales extendidos , definidos por ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}:X\to [0,\infty ],}$

$${\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},}$$

mínimo ${\displaystyle \,\infty \,}$ ${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$ ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\displaystyle \{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ and }}x\in rK\}.}$

Para cualquier si y sólo si no está vacío. Las operaciones aritméticas en se pueden extender para operar en donde para todos los productos reales distintos de cero y permanecen indefinidos. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p_{K}(x)\neq \infty }$ ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pm \infty ,}$ ${\displaystyle {\frac {r}{\pm \infty }}:=0}$ ${\displaystyle -\infty <r<\infty .}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ ${\displaystyle 0\cdot -\infty }$

Algunas condiciones que hacen que un indicador tenga valor real

En el campo del análisis convexo , el mapa que toma el valor de no es necesariamente un problema. Sin embargo, en el análisis funcional casi siempre tiene un valor real (es decir, nunca toma el valor de ), lo que ocurre si y sólo si el conjunto no está vacío para cada ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle \,\infty \,}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle \,\infty \,}$ ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Para que tenga valor real basta con que el origen de pertenezca al interior algebraico o núcleo de in ^[1] Si es absorbente en donde recordemos que esto implica que entonces el origen pertenece al interior algebraico de in y por tanto tiene valor real. A continuación se dan las caracterizaciones de cuándo tiene valor real. ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0\in K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle p_{K}}$

Ejemplos motivadores

Ejemplo 1

Considere un espacio vectorial normado con la norma y sea la bola unitaria en Entonces para cada Por lo tanto, el funcional de Minkowski es solo la norma en ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|),}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle U:=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \|x\|=p_{U}(x).}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplo 2

Sea un espacio vectorial sin topología con campo escalar subyacente. Sea cualquier funcional lineal (no necesariamente continuo) . Arreglar Sea el conjunto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a>0.}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle K:=\{x\in X:|f(x)|\leq a\}}$$

${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K.}$

$${\displaystyle p_{K}(x)={\frac {1}{a}}|f(x)|\quad {\text{ for all }}x\in X.}$$

${\displaystyle p_{K}}$

1. Es subaditivo : ${\displaystyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y).}$
2. Es absolutamente homogéneo : para todos los escalares. ${\displaystyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\displaystyle s.}$
3. No es negativo : ${\displaystyle p_{K}\geq 0.}$

Por lo tanto, es una seminorma con una topología inducida. Esto es característico de los funcionales de Minkowski definidos mediante conjuntos "agradables". Existe una correspondencia uno a uno entre las seminormas y el funcional de Minkowski dado por tales conjuntos. Lo que se entiende precisamente por "agradable" se analiza en la siguiente sección. ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X,}$

Observe que, a diferencia de un requisito más estricto de una norma, no es necesario que en el ejemplo anterior se pueda tomar un valor distinto de cero del núcleo de En consecuencia, la topología resultante no tiene por qué ser Hausdorff . ${\displaystyle p_{K}(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f.}$

Las condiciones comunes que garantizan que los medidores sean seminormas.

Para garantizar que en adelante se supondrá que ${\displaystyle p_{K}(0)=0,}$ ${\displaystyle 0\in K.}$

Para que sea una seminorma basta con que sea un disco (es decir, convexo y equilibrado) y absorbente, que son los supuestos más comunes que se le atribuyen. ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K.}$

Teorema ^[2]  -  Si hay un disco absorbente en un espacio vectorial , entonces cuyo funcional de Minkowski es el mapa definido por ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle p_{K}:X\to [0,\infty )}$

$${\displaystyle p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},}$$

es una seminorma sobre Además, ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle p_{K}(x)={\frac {1}{\sup\{r>0:rx\in K\}}}.}$$

De manera más general, si es convexo y el origen pertenece al interior algebraico de entonces es un funcional sublineal no negativo , lo que implica en particular que es subaditivo y homogéneo positivo . Si es absorbente entonces es homogéneo positivo, lo que significa que para todos los reales donde ^[3] Si es una función de valor real no negativa que es homogénea positiva, entonces los conjuntos y satisfacen y si además es absolutamente homogéneo entonces ambos y están equilibrados . ^[3] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{[0,1]K}}$ ${\displaystyle p_{[0,1]K}(sx)=sp_{[0,1]K}(x)}$ ${\displaystyle s\geq 0,}$ ${\displaystyle [0,1]K=\{tk:t\in [0,1],k\in K\}.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U:=\{x\in X:q(x)<1\}}$ ${\displaystyle D:=\{x\in X:q(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle [0,1]U=U}$ ${\displaystyle [0,1]D=D;}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$

Calibres de discos absorbentes.

Podría decirse que los requisitos más comunes que se imponen a un conjunto para garantizar que sea una seminorma son que sea un disco absorbente . Debido a lo comunes que son estas suposiciones, ahora se investigarán las propiedades de un funcional de Minkowski cuando es un disco absorbente. Dado que todos los resultados mencionados anteriormente hicieron pocas (si es que hay alguna) suposición, se pueden aplicar en este caso especial. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$

Teorema  :  suponga que es un subconjunto absorbente de. Se demuestra que: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

1. Si es convexo entonces es subaditivo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}}$
2. Si está equilibrado entonces es absolutamente homogéneo ; es decir, para todos los escalares ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\displaystyle s.}$

Propiedades algebraicas

Sea un espacio vectorial real o complejo y sea un disco absorbente en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle p_{K}}$es una seminorma en ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle p_{K}}$es una norma si y solo si no contiene un subespacio vectorial no trivial. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle p_{sK}={\frac {1}{|s|}}p_{K}}$para cualquier escalar ^[4] ${\displaystyle s\neq 0.}$
• Si hay un disco absorbente adentro y luego ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J\subseteq K}$ ${\displaystyle p_{K}\leq p_{J}.}$
• Si es un conjunto satisfactorio, entonces está absorbiendo y dónde está el funcional de Minkowski asociado con eso, es el calibre de ^[5] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=p_{K},}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K;}$ ${\displaystyle K.}$
  • En particular, si es como el anterior y es cualquier seminorma entonces si y sólo si ^[5] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q=p}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$
• Si satisface entonces ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p_{K}(x)<1}$ ${\displaystyle x\in K.}$

Propiedades topológicas

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) (real o complejo) (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo ) y sea un disco absorbente en Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}\;\subseteq \;\operatorname {Cl} _{X}K,}$$

interior topológicocierre topológico^[6]no ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$

Además, la funcional de Minkowski es continua si y sólo si es una vecindad del origen en ^[6] Si es continua entonces ^[6] ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{K}}$

$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Cl} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}.}$$

Requisitos mínimos en el set.

Esta sección investigará el caso más general del calibre de cualquier subconjunto de El caso especial más común donde se supone que es un disco absorbente se analizó anteriormente. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Todos los resultados de esta sección se pueden aplicar al caso en el que se trate de un disco absorbente. ${\displaystyle K}$

En todo momento, ¿hay algún subconjunto de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

Resumen  :  supongamos que es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$

1. Homogeneidad positiva estricta :para todosy todoslos reales positivos ${\displaystyle p_{K}(rx)=rp_{K}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Homogeneidad positiva/no negativa :es homogénea no negativa si y sólo sitiene un valor real. ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle p_{K}}$
     • Una aplicación se llama homogénea no negativa ^[7] si para todos y todos los reales no negativos ya no está definida, una aplicación que toma el infinito como valor no es homogénea no negativa. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$
2. Valores reales : es el conjunto de todos los puntos sobre los que se valora real. Entonces tiene valor real si y sólo si, en cuyo caso ${\displaystyle (0,\infty )K}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle (0,\infty )K=X,}$ ${\displaystyle 0\in K.}$
   • Valor en ${\displaystyle 0}$ : si y sólo si si y sólo si ${\displaystyle p_{K}(0)\neq \infty }$ ${\displaystyle 0\in K}$ ${\displaystyle p_{K}(0)=0.}$
   • Espacio nulo : Sientoncessi y sólo sisi y sólo si existe una secuencia divergente de números reales positivostal quepara todosAdemás, el conjunto cero dees ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p_{K}(x)=0}$ ${\displaystyle (0,\infty )x\subseteq (0,1)K}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\cdots \to \infty }$ ${\displaystyle t_{n}x\in K}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle \ker p_{K}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=0\right\}={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K.}$
3. Comparación con una constante : Si entonces para cualquier si y solo si esto se puede reformular como: Si entonces ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p_{K}(x)<r}$ ${\displaystyle x\in (0,r)K;}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\displaystyle p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K.}$
   • Se deduce que si es real entonces donde el conjunto del lado derecho denota y no su subconjunto. Si entonces estos conjuntos son iguales si y sólo si contiene ${\displaystyle 0\leq R<\infty }$ ${\displaystyle p_{K}^{-1}([0,R])={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K,}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}[(0,R+e)K]}$ ${\displaystyle \left[{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)\right]K=(0,R]K.}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left\{y\in X:p_{K}(y)=1\right\}.}$
   • En particular, si o entonces , pero lo que es más importante, lo contrario no es necesariamente cierto. ${\displaystyle x\in RK}$ ${\displaystyle x\in (0,R]K}$ ${\displaystyle p_{K}(x)\leq R,}$
4. Comparación de calibres : para cualquier subconjunto si y solo si así si y solo si ${\displaystyle L\subseteq X,}$ ${\displaystyle p_{K}\leq p_{L}}$ ${\displaystyle (0,1)L\subseteq (0,1)K;}$ ${\displaystyle p_{L}=p_{K}}$ ${\displaystyle (0,1)L=(0,1)K.}$
   • La asignación es de orden inverso en el sentido de que si entonces ^[8] ${\displaystyle L\mapsto p_{L}}$ ${\displaystyle K\subseteq L}$ ${\displaystyle p_{L}\leq p_{K}.}$
   • Debido a que el conjunto satisface, se deduce que reemplazar con no cambiará el funcional de Minkowski resultante. Lo mismo ocurre con y con ${\displaystyle L:=(0,1)K}$ ${\displaystyle (0,1)L=(0,1)K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K}$ ${\displaystyle L:=(0,1]K}$ ${\displaystyle L:=p_{K}^{-1}([0,1]).}$
   • Si entonces y tiene la propiedad particularmente buena de que si es real entonces si y sólo si o ^{[nota 1]} Además, si es real entonces si y sólo si ${\displaystyle D~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=1{\text{ or }}p_{K}(y)=0\right\}}$ ${\displaystyle p_{D}=p_{K}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rD}$ ${\displaystyle p_{D}(x)=r}$ ${\displaystyle p_{D}(x)=0.}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{D}(x)\leq r}$ ${\displaystyle x\in (0,r]D.}$
5. Desigualdad subaditiva / triangular :es subaditiva si y sólo sies convexa. Sies convexo, entonces también lo son ambosy, además,es subaditivo. ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle (0,1)K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (0,1)K}$ ${\displaystyle (0,1]K}$ ${\displaystyle p_{K}}$
6. Escalar el conjunto : si es escalar, entonces para todos. Por lo tanto, si es real, entonces ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle p_{sK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{s}}y\right)}$ ${\displaystyle y\in X.}$ ${\displaystyle 0<r<\infty }$ ${\displaystyle p_{rK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{r}}y\right)={\tfrac {1}{r}}p_{K}(y).}$
7. Simétrico : es simétrico (lo que significa que para todos ) si y sólo si es un conjunto simétrico (lo que significa que ), lo que ocurre si y sólo si ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle p_{K}(-y)=p_{K}(y)}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle (0,1)K}$ ${\displaystyle (0,1)K=-(0,1)K}$ ${\displaystyle p_{K}=p_{-K}.}$
8. Homogeneidad absoluta :para todosy todos los escalares de longitud unitaria ^{[nota 2]} si y solo sipara todos los escalares de longitud unitaria,en cuyo casopara todosy todoslos escalares distintos de cero Si ademástambién tiene valor real, entonces esto es válido para todos los escalares(es decir es decir,es absolutamente homogéneo ^{[nota 3]} ). ${\displaystyle p_{K}(ux)=p_{K}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\neq 0.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p_{K}}$
   • ${\displaystyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$para toda la unidad de longitud si y sólo si para toda la unidad de longitud ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (0,1)uK=(0,1)K}$ ${\displaystyle u.}$
   • ${\displaystyle sK\subseteq K}$para todos los escalares unitarios si y sólo si para todos los escalares unitarios si este es el caso entonces para todos los escalares unitarios ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle sK=K}$ ${\displaystyle s;}$ ${\displaystyle (0,1)K=(0,1)sK}$ ${\displaystyle s.}$
   • La funcional de Minkowski de cualquier conjunto balanceado es una función balanceada . ^[8]
9. Absorbente : Sies convexo o equilibrado y sientonceses absorbente en ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (0,\infty )K=X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$
   • Si un conjunto está absorbiendo y luego está absorbiendo en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$
   • Si es convexo y entonces en cuyo caso ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0\in K}$ ${\displaystyle [0,1]K=K,}$ ${\displaystyle (0,1)K\subseteq K.}$
10. Restricción a un subespacio vectorial : If es un subespacio vectorial de y if denota la función de Minkowski de on entonces donde denota la restricción de a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{K\cap S}:S\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle K\cap S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle p_{K}{\big \vert }_{S}=p_{K\cap S},}$ ${\displaystyle p_{K}{\big \vert }_{S}}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle S.}$

Ejemplos

1. Si es una colección no vacía de subconjuntos de entonces para todos donde ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \bigcup \limits _{L\in {\mathcal {L}}}}L.}$
   • Así para todos ${\displaystyle p_{K\cup L}(x)=\min \left\{p_{K}(x),p_{L}(x)\right\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. Si es una colección no vacía de subconjuntos de y satisface ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\subseteq X}$
   $${\displaystyle \left\{x\in X:p_{L}(x)<1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}\quad \subseteq \quad I\quad \subseteq \quad \left\{x\in X:p_{L}(x)\leq 1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}}$$
   entonces para todos ${\displaystyle p_{I}(x)=\sup \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Los siguientes ejemplos muestran que la contención podría ser adecuada. ${\displaystyle (0,R]K\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$

Ejemplo : Si y entonces , pero que muestra que es posible que sea un subconjunto adecuado de cuando ${\displaystyle R=0}$ ${\displaystyle K=X}$ ${\displaystyle (0,R]K=(0,0]X=\varnothing X=\varnothing }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}X=X,}$ ${\displaystyle (0,R]K}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$ ${\displaystyle R=0.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

El siguiente ejemplo muestra que la contención puede ser adecuada cuando el ejemplo puede generalizarse a cualquier situación real. Suponiendo que el siguiente ejemplo es representativo de cómo sucede lo que satisface pero ${\displaystyle R=1;}$ ${\displaystyle R>0.}$ ${\displaystyle [0,1]K\subseteq K,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p_{K}(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in (0,1]K.}$

Ejemplo : Sea distinto de cero y sea así que y De ello se sigue que Eso se sigue de observar eso para cada que contiene Así y Sin embargo, de modo que como se desee. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle K=[0,1)x}$ ${\displaystyle [0,1]K=K}$ ${\displaystyle x\not \in K.}$ ${\displaystyle x\not \in (0,1)K=K}$ ${\displaystyle p_{K}(x)\geq 1.}$ ${\displaystyle p_{K}(x)\leq 1}$ ${\displaystyle e>0,}$ ${\displaystyle (0,1+e)K=[0,1+e)([0,1)x)=[0,1+e)x,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle p_{K}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,1+e)K.}$ ${\displaystyle (0,1]K=(0,1]([0,1)x)=[0,1)x=K}$ ${\displaystyle x\not \in (0,1]K,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

La homogeneidad positiva caracteriza a los funcionales de Minkowski.

El siguiente teorema muestra que los funcionales de Minkowski son exactamente aquellas funciones que tienen cierta propiedad puramente algebraica que se encuentra comúnmente. ${\displaystyle f:X\to [0,\infty ]}$

Teorema  :  Sea cualquier función. Las siguientes declaraciones son equivalentes: ${\displaystyle f:X\to [0,\infty ]}$

1. Homogeneidad positiva estricta :para todosy todoslos reales positivos ${\displaystyle \;f(tx)=tf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle t>0.}$
   • Esta afirmación equivale a: para todos y todos los reales positivos ${\displaystyle f(tx)\leq tf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle t>0.}$
2. ${\displaystyle f}$es un funcional de Minkowski: lo que significa que existe un subconjunto tal que ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle f=p_{S}.}$
3. ${\displaystyle f=p_{K}}$dónde ${\displaystyle K:=\{x\in X:f(x)\leq 1\}.}$
4. ${\displaystyle f=p_{V}\,}$dónde ${\displaystyle V\,:=\{x\in X:f(x)<1\}.}$

Además, si nunca adquiere el valor (de modo que el producto siempre está bien definido), esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\infty \,}$ ${\displaystyle 0\cdot f(x)}$

5. Homogeneidad positiva /:para todosy todoslos reales no negativos ${\displaystyle f(tx)=tf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle t\geq 0.}$

Este teorema se puede ampliar para caracterizar ciertas clases de aplicaciones con valores (por ejemplo, funciones sublineales con valores reales ) en términos de funcionales de Minkowski. Por ejemplo, se puede utilizar para describir cómo cada función homogénea real (como los funcionales lineales) se puede escribir en términos de un funcional de Minkowski único que tiene una determinada propiedad. ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

Caracterización de los funcionales de Minkowski en conjuntos de estrellas.

Proposición ^[10]  —  Sea cualquier función y sea cualquier subconjunto. Las siguientes declaraciones son equivalentes: ${\displaystyle f:X\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

1. ${\displaystyle f}$es (estrictamente) positivo homogéneo, y ${\displaystyle f(0)=0,}$
   $${\displaystyle \{x\in X:f(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:f(x)\leq 1\}.}$$
2. ${\displaystyle f}$es el funcional de Minkowski de (es decir, ), contiene el origen y tiene forma de estrella en el origen. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f=p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$
   • El conjunto tiene forma de estrella en el origen si y sólo si siempre y Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina conjunto de estrellas . ^[9] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle tk\in K}$ ${\displaystyle k\in K}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$

Caracterización de funcionales de Minkowski que son seminormas

En el siguiente teorema, que se sigue inmediatamente de las afirmaciones anteriores, no se supone que esté absorbiendo y, en cambio, se deduce que está absorbiendo cuando es una seminorma. Tampoco se supone que esté equilibrado (que es una propiedad que a menudo se requiere tener); en su lugar está la condición más débil que para todos los escalares que satisfacen el requisito común de que sea convexo también se debilita para requerir solo que sea convexo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)K}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (0,1)sK\subseteq (0,1)K}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|=1.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (0,1)K}$

Teorema  :  Sea un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo. Entonces es una seminorma si y solo si se cumplen todas las condiciones siguientes: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle (0,\infty )K=X}$(o equivalentemente, tiene un valor real). ${\displaystyle p_{K}}$
2. ${\displaystyle (0,1)K}$es convexo (o equivalentemente, es subaditivo ). ${\displaystyle p_{K}}$
   • Es suficiente (pero no necesario) que sea convexo. ${\displaystyle K}$
3. ${\displaystyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$para todos los escalares unitarios ${\displaystyle u.}$
   • Esta condición se cumple si está equilibrada o, más generalmente, si para todos los escalares unitarios ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle uK\subseteq K}$ ${\displaystyle u.}$

en cuyo caso y ambos y serán subconjuntos convexos, equilibrados y absorbentes de ${\displaystyle 0\in K}$ ${\displaystyle (0,1)K=\{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle \bigcap _{e>0}(0,1+e)K=\left\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

Por el contrario, si es una seminorma, entonces el conjunto satisface las tres condiciones anteriores (y por tanto también las conclusiones) y además , es necesariamente convexo, equilibrado, absorbente y satisface ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\displaystyle f=p_{V};}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (0,1)V=V=[0,1]V.}$

Corolario  :  si es un subconjunto convexo, equilibrado y absorbente de un espacio vectorial real o complejo, entonces es una seminorma en ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle X.}$

Funciones sublineales positivas y funcionales de Minkowski

Se puede demostrar que una función subaditiva de valor real en un espacio vectorial topológico arbitrario es continua en el origen si y sólo si es uniformemente continua, donde si además es no negativa, entonces es continua si y sólo si es una vecindad abierta en ^[11] Si es subaditivo y satisface entonces es continuo si y sólo si su valor absoluto es continuo. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)=0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$

Una función sublineal no negativa es una función homogénea no negativa que satisface la desigualdad del triángulo. De los resultados siguientes se deduce inmediatamente que para tal función si entonces Dado el funcional de Minkowski es una función sublineal si y sólo si es de valor real y subaditivo, lo que sucede si y sólo si y es convexo. ${\displaystyle f:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\displaystyle f=p_{V}.}$ ${\displaystyle K\subseteq X,}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle (0,\infty )K=X}$ ${\displaystyle (0,1)K}$

Correspondencia entre conjuntos convexos abiertos y funciones sublineales continuas positivas

Teorema ^[11]  -  Supongamos que es un espacio vectorial topológico (no necesariamente localmente convexo o de Hausdorff) sobre números reales o complejos. Entonces los subconjuntos convexos abiertos no vacíos de son exactamente aquellos conjuntos que tienen la forma para alguna y alguna función sublineal continua positiva en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Ver también

• Norma asimétrica  – Generalización del concepto de norma
• Espacio normado auxiliar
• Ecuación funcional de Cauchy  - Ecuación funcional
• La mejor topología localmente convexa  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Colector Finsler  : colector liso equipado con una función de Minkowski en cada espacio tangentePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema de Hadwiger  - Teorema en geometría integral
• Hugo Hadwiger  - matemático suizo (1908-1981)
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Procesamiento de imágenes morfológicas  : teoría y técnica para el análisis y procesamiento de estructuras geométricas.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Seminorma  : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad del triángulo y es absolutamente homogéneaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Notas

1. En general, es falso que si y solo si (por ejemplo, considere cuándo es una norma o una seminorma). La afirmación correcta es: Si entonces si y sólo si o ${\displaystyle x\in rD}$ ${\displaystyle p_{D}(x)=r}$ ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle 0<r<\infty }$ ${\displaystyle x\in rD}$ ${\displaystyle p_{D}(x)=r}$ ${\displaystyle p_{D}(x)=0.}$
2. tiene unidad de longitud significa que ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |u|=1.}$
3. El mapa se llama absolutamente homogéneo si está bien definido y para todos y cada uno de los escalares (no solo los escalares distintos de cero). ${\displaystyle p_{K}}$ ${\displaystyle |s|p_{K}(x)}$ ${\displaystyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s}$

Referencias

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2. Narici y Beckenstein 2011, pag. 119.
3. Jarchow 1981, págs. 104-108.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs.
5. Schaefer 1999, pág. 40.
6. Narici y Beckenstein 2011, pag. 119-120.
7. Kubrusly 2011, pag. 200.
8. Schechter 1996, pág. 316.
9. Schechter 1996, pág. 303.
10. Schechter 1996, págs. 313–317.
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Otras lecturas

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