Interior algebraico

Generalización del interior topológico

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, el interior algebraico o núcleo radial de un subconjunto de un espacio vectorial es un refinamiento del concepto de interior .

Definición

Supóngase que es un subconjunto de un espacio vectorial El interior algebraico (o núcleo radial ) de con respecto a es el conjunto de todos los puntos en los que es un conjunto radial . Un punto se llama punto interno de ^{[1] [2]} y se dice que es radial en si para cada existe un número real tal que para cada Esta última condición también se puede escribir como donde el conjunto es el segmento de línea (o intervalo cerrado) que comienza en y termina en este segmento de línea es un subconjunto de cuyo es el rayo que emana de en la dirección de (es decir, paralelo a/una traslación de ). Así, geométricamente, un punto interior de un subconjunto es un punto con la propiedad de que en cada dirección posible (vector) contiene algún segmento de línea (no degenerado) que comienza en y se dirige en esa dirección (es decir, un subconjunto del rayo ). El interior algebraico de (con respecto a ) es el conjunto de todos esos puntos. Es decir, es el subconjunto de puntos contenidos en un conjunto dado con respecto al cual es puntos radiales del conjunto. ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle t_{x}>0}$ ${\displaystyle t\in [0,t_{x}],}$ ${\displaystyle a_{0}+tx\in A.}$ ${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A}$ $${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}}$$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}+t_{x}x;}$ ${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x,}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,\infty )x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}\in A}$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Si es un subespacio lineal de y entonces esta definición se puede generalizar al interior algebraico de con respecto a es: ^[4] donde siempre se cumple y si entonces donde es la envoltura afín de (que es igual a ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ for all }}m\in M,{\text{ there exists some }}t_{m}>0{\text{ such that }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.}$$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\subseteq A}$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle M\subseteq \operatorname {aff} (A-A),}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)}$ ${\displaystyle A-A}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (A-A)}$

Cierre algebraico

Se dice que un punto es ${\displaystyle x\in X}$linealmente accesible desde un subconjuntosi existe algunotal que el segmento de líneaestá contenido en^[5] Elcierre algebraico decon respecto a, denotado porconsiste eny todos los puntos enque son linealmente accesibles desde^[5] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle [a,x):=a+[0,1)x}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {acl} _{X}A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$

Interior algebraico (núcleo)

En el caso especial en que el conjunto se llama ${\displaystyle M:=X,}$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A}$interior algebraico onúcleo de ${\displaystyle A}$y se denota poro Formalmente, sies un espacio vectorial entonces el interior algebraico dees^[6] ${\displaystyle A^{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {core} A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:{\text{ for all }}x\in X,{\text{ there exists some }}t_{x}>0,{\text{ such that for all }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.}$$

Si no está vacío, entonces estos subconjuntos adicionales también son útiles para los enunciados de muchos teoremas en el análisis funcional convexo (como el teorema de Ursescu ): ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed set,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {span} (A-a){\text{ is a barrelled linear subspace of }}X{\text{ for any/all }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

Si es un espacio de Fréchet , es convexo y está cerrado entonces pero en general es posible tener mientras no esté vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A}$ ${\displaystyle {}^{ic}A=\varnothing }$ ${\displaystyle {}^{ib}A}$

Ejemplos

Si entonces pero y ${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A),}$ ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$ ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A)).}$

Propiedades del núcleo

Suponer ${\displaystyle A,B\subseteq X.}$

• En general, pero si es un conjunto convexo entonces: ${\displaystyle \operatorname {core} A\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} A).}$ ${\displaystyle A}$
  • ${\displaystyle \operatorname {core} A=\operatorname {core} (\operatorname {core} A),}$y
  • para todos entonces ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} A,y\in A,0<\lambda \leq 1}$ ${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} A.}$
• ${\displaystyle A}$es un subconjunto absorbente de un espacio vectorial real si y sólo si ^[3] ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A).}$
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subseteq \operatorname {core} (A+B)}$^[7]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$Si ^[7] ${\displaystyle B=\operatorname {core} B.}$

Tanto el núcleo como el cierre algebraico de un conjunto convexo son nuevamente convexos. ^[5] Si es convexo, entonces el segmento de línea está contenido en ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {core} C,}$ ${\displaystyle b\in \operatorname {acl} _{X}C}$ ${\displaystyle [c,b):=c+[0,1)b}$ ${\displaystyle \operatorname {core} C.}$

Relación con el interior topológico

Sea un espacio vectorial topológico , denote el operador interior, y luego: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} }$ ${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$
• Si es convexo no vacío y es de dimensión finita, entonces ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$
• Si es convexo con interior no vacío, entonces ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$
• Si es un conjunto convexo cerrado y es un espacio métrico completo , entonces ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$

Interior algebraico relativo

Si entonces el conjunto se denota por y se llama interior algebraico relativo de ^[7] Este nombre proviene del hecho de que si y solo si y (donde si y solo si ). ${\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)}$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A}$ ${\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle a\in A^{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$ ${\displaystyle a\in {}^{i}A}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)=X}$

Interior relativo

Si es un subconjunto de un espacio vectorial topológico , entonces el interior relativo de es el conjunto. Es decir, es el interior topológico de A en el que es el subespacio lineal afín más pequeño de que contiene El siguiente conjunto también es útil: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.}$$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ $${\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed subspace of }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

Interior cuasi relativo

Si es un subconjunto de un espacio vectorial topológico , entonces el interior cuasi relativo de es el conjunto ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{ is a linear subspace of }}X\right\}.}$$

En un espacio vectorial topológico de dimensión finita de Hausdorff , ${\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.}$

Véase también

• Punto límite  : concepto matemático relacionado con los subconjuntos de espacios vectoriales
• Interior (topología)  : subconjunto abierto más grande de un conjunto dado
• Unidad de orden  – Elemento de un espacio vectorial ordenado
• Interior cuasi-relativo  – Generalización del interior algebraico
• Conjunto radial
• Interior relativo  – Generalización del interior topológico
• Teorema de Ursescu  : generalización del grafo cerrado, aplicación abierta y teorema de acotación uniforme

Referencias

1. Aliprantis y Border 2006, págs.
2. John Cook (21 de mayo de 1988). «Separación de conjuntos convexos en espacios topológicos lineales» (PDF) . Consultado el 14 de noviembre de 2012 .
3. Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe (2000). "Medidas de riesgo coherentes, límites de valoración y optimización de carteras ( μ , ρ {\displaystyle \mu ,\rho } )" (PDF) .
4. Zălinescu 2002, pág. 2.
5. Narici y Beckenstein 2011, pág. 109.
6. Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Análisis funcional I: análisis funcional lineal . Springer. ISBN 978-3-540-50584-6.
7. Zălinescu 2002, págs.
8. Kantorovitz, Shmuel (2003). Introducción al análisis moderno . Oxford University Press . pág. 134. ISBN. 9780198526568.
9. Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander (2000), Análisis de perturbaciones de problemas de optimización, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, ISBN 9780387987057.

Bibliografía

• Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (2006). Análisis de dimensión infinita: guía del autoestopista (tercera edición). Berlín: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7.OCLC 262692874  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – vía Internet Archive .