Interior relativo

Generalización del interior topológico.

En matemáticas , el interior relativo de un conjunto es un refinamiento del concepto de interior , que suele ser más útil cuando se trata de conjuntos de baja dimensión colocados en espacios de mayor dimensión.

Formalmente, el interior relativo de un conjunto (denotado ) se define como su interior dentro del casco afín de ^[1]. En otras palabras, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {relint} (S)}$ ${\displaystyle S.}$

$${\displaystyle \operatorname {relint} (S):=\{x\in S:{\text{ there exists }}\epsilon >0{\text{ such that }}B_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},}$$

bola ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$

Un conjunto es relativamente abierto si y sólo si es igual a su interior relativo. Tenga en cuenta que cuando es un subespacio cerrado del espacio vectorial completo (siempre es el caso cuando el espacio vectorial completo es de dimensión finita), entonces estar relativamente cerrado equivale a estar cerrado. ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$

Para cualquier conjunto convexo, el interior relativo se define de manera equivalente como ^{[2] [3]} ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {relint} (C)&:=\{x\in C:{\text{ for all }}y\in C,{\text{ there exists some }}\lambda >1{\text{ such that }}\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}\\&=\{x\in C:{\text{ for all }}y\neq x\in C,{\text{ there exists some }}z\in C{\text{ such that }}x\in (y,z)\}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle x\in (y,z)}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ ${\displaystyle x=\lambda z+(1-\lambda )y}$

Comparación con el interior

• El interior de un punto en un espacio ambiental al menos unidimensional está vacío, pero su interior relativo es el punto mismo.

• El interior de un segmento de línea en un espacio ambiental al menos bidimensional está vacío, pero su interior relativo es el segmento de línea sin sus puntos finales.

• El interior de un disco en un espacio ambiental al menos tridimensional está vacío, pero su interior relativo es el mismo disco sin su borde circular.

Propiedades

Teorema  :  si no está vacío y es convexo, entonces su interior relativo es la unión de una secuencia anidada de subconjuntos convexos compactos no vacíos . ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {relint} (A)}$ ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset K_{3}\subset \cdots \subset \mathrm {relint} (A)}$

Prueba

Como siempre podemos bajar al intervalo afín de WLOG, el interior relativo tiene dimensión . Ahora deja . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K_{j}\equiv [-j,j]^{n}\cap \left\{x\in {\text{int}}(K):\mathrm {dist} (x,({\text{int}}(K))^{c})\geq {\frac {1}{j}}\right\}}$

Teorema ^[4]  -  Aquí "+" denota la suma de Minkowski .

• ${\displaystyle \mathrm {relint} (S_{1})+\mathrm {relint} (S_{2})\subset \mathrm {relint} (S_{1}+S_{2})}$para conjuntos generales. Son iguales si ambos también son convexos. ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

• Si son conjuntos convexos y relativamente abiertos, entonces son conjuntos convexos y relativamente abiertos. ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}+S_{2}}$

Teorema ^[5]  -  Aquí denota cono positivo . Eso es, . ${\displaystyle \mathrm {Cone} }$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (S)=\{rx:x\in S,r>0\}}$

• ${\displaystyle \mathrm {Cone} (\mathrm {relint} (S))\subset \mathrm {relint} (\mathrm {Cone} (S))}$. Son iguales si es convexo. ${\displaystyle S}$

Ver también

• Interior (topología)  : subconjunto abierto más grande de un conjunto determinado
• Interior algebraico  - Generalización del interior topológico
• Interior cuasi relativo  - Generalización del interior algebraico

Referencias

1. Zălinescu 2002, págs. 2-3.
2. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Publicado por primera vez en 1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . pag. 47.ISBN​ 978-0-691-01586-6.
3. Dimitri Bertsekas (1999). Programación no lineal (2ª ed.). Belmont, Massachusetts: Athena científica. pag. 697.ISBN​ 978-1-886529-14-4.
4. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Publicado por primera vez en 1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . Corolario 6.6.2. ISBN 978-0-691-01586-6.
5. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Publicado por primera vez en 1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . Teorema 6.9. ISBN 978-0-691-01586-6.

• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. SEÑOR  1921556. OCLC  285163112 - vía Internet Archive .

Otras lecturas

• Boyd, Esteban; Lieven Vandenberghe (2004). Optimizacion convexa. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 23.ISBN​ 0-521-83378-7.