Interior relativo

Generalización del interior topológico

En matemáticas , el interior relativo de un conjunto es un refinamiento del concepto de interior , que suele ser más útil cuando se trata con conjuntos de baja dimensión ubicados en espacios de mayor dimensión.

Formalmente, el interior relativo de un conjunto (denotado ) se define como su interior dentro de la envoltura afín de ^[1] En otras palabras, donde es la envoltura afín de y es una bola de radio centrada en . Se puede utilizar cualquier métrica para la construcción de la bola; todas las métricas definen el mismo conjunto como el interior relativo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {relint} (S)}$ ${\displaystyle S.}$ $${\displaystyle \operatorname {relint} (S):=\{x\in S:{\text{ there exists }}\epsilon >0{\text{ such that }}B_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},}$$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$

Un conjunto es relativamente abierto si es igual a su interior relativo. Nótese que cuando es un subespacio cerrado del espacio vectorial completo (siempre el caso cuando el espacio vectorial completo es de dimensión finita), entonces estar relativamente cerrado es equivalente a estar cerrado. ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$

Para cualquier conjunto convexo, el interior relativo se define de manera equivalente como ^{[2] [3]} donde significa que existe algún tal que . ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {relint} (C)&:=\{x\in C:{\text{ for all }}y\in C,{\text{ there exists some }}\lambda >1{\text{ such that }}\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}\\&=\{x\in C:{\text{ for all }}y\neq x\in C,{\text{ there exists some }}z\in C{\text{ such that }}x\in (y,z)\}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x\in (y,z)}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ ${\displaystyle x=\lambda z+(1-\lambda )y}$

Comparación con el interior

• El interior de un punto en un espacio ambiental al menos unidimensional está vacío, pero su interior relativo es el punto mismo.

• El interior de un segmento de línea en un espacio ambiental al menos bidimensional está vacío, pero su interior relativo es el segmento de línea sin sus puntos finales.

• El interior de un disco en un espacio ambiental al menos tridimensional está vacío, pero su interior relativo es el mismo disco sin su borde circular.

Propiedades

Teorema  —  Si no es vacío y convexo, entonces su interior relativo es la unión de una secuencia anidada de subconjuntos convexos compactos no vacíos . ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {relint} (A)}$ ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset K_{3}\subset \cdots \subset \mathrm {relint} (A)}$

Prueba

Dado que siempre podemos llegar al lapso afín de , WLOG, el interior relativo tiene dimensión . Ahora sea . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K_{j}\equiv [-j,j]^{n}\cap \left\{x\in {\text{int}}(K):\mathrm {dist} (x,({\text{int}}(K))^{c})\geq {\frac {1}{j}}\right\}}$

Teorema ^[4]  —  Aquí "+" denota la suma de Minkowski .

• ${\displaystyle \mathrm {relint} (S_{1})+\mathrm {relint} (S_{2})\subset \mathrm {relint} (S_{1}+S_{2})}$Para conjuntos generales. Son iguales si ambos son también convexos. ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

• Si son conjuntos convexos y relativamente abiertos, entonces es convexo y relativamente abierto. ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}+S_{2}}$

Teorema ^[5]  —  Aquí se denota cono positivo . Es decir, . ${\displaystyle \mathrm {Cone} }$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (S)=\{rx:x\in S,r>0\}}$

• ${\displaystyle \mathrm {Cone} (\mathrm {relint} (S))\subset \mathrm {relint} (\mathrm {Cone} (S))}$. Son iguales si es convexo. ${\displaystyle S}$

Véase también

• Interior (topología)  : subconjunto abierto más grande de un conjunto dado
• Interior algebraico  – Generalización del interior topológico
• Interior cuasi-relativo  – Generalización del interior algebraico

Referencias

1. Zălinescu 2002, págs. 2-3.
2. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Publicado por primera vez en 1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press . pág. 47. ISBN. 978-0-691-01586-6.
3. Dimitri Bertsekas (1999). Programación no lineal (2.ª ed.). Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. pág. 697. ISBN 978-1-886529-14-4.
4. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Publicado por primera vez en 1970]. Convex Analysis . Princeton, NJ: Princeton University Press . Corolario 6.6.2. ISBN 978-0-691-01586-6.
5. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Publicado por primera vez en 1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press . Teorema 6.9. ISBN 978-0-691-01586-6.

• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – vía Internet Archive .

Lectura adicional

• Boyd, Stephen; Lieven Vandenberghe (2004). Optimización convexa. Cambridge: Cambridge University Press . pág. 23. ISBN 0-521-83378-7.