interior algebraico

Generalización del interior topológico.

En análisis funcional , una rama de las matemáticas, el interior algebraico o núcleo radial de un subconjunto de un espacio vectorial es un refinamiento del concepto de interior .

Definición

Supongamos que es un subconjunto de un espacio vectorial. El interior algebraico (o núcleo radial ) con respecto a es el conjunto de todos los puntos en los que hay un conjunto radial . Un punto se llama punto interno de ^{[1] [2]} y se dice que es radial si para cada existe un número real tal que para cada Esta última condición también se puede escribir como donde el conjunto ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle t_{x}>0}$ ${\displaystyle t\in [0,t_{x}],}$ ${\displaystyle a_{0}+tx\in A.}$ ${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A}$

$${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}}$$

rayoradiales^[3] ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}+t_{x}x;}$ ${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x,}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,\infty )x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}\in A}$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Si es un subespacio lineal de y entonces esta definición se puede generalizar al interior algebraico de con respecto a es: ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ for all }}m\in M,{\text{ there exists some }}t_{m}>0{\text{ such that }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.}$$

casco afín ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\subseteq A}$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle M\subseteq \operatorname {aff} (A-A),}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)}$ ${\displaystyle A-A}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (A-A)}$

cierre algebraico

Se dice que un punto es ${\displaystyle x\in X}$linealmente accesible desde un subconjuntosi existe algunotal que el segmento de líneaesté contenido en^[5] Elcierre algebraico decon respecto a, denotado porconsiste eny todos los puntos enque son linealmente accesibles desde^[5] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle [a,x):=a+[0,1)x}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {acl} _{X}A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$

Interior algebraico (núcleo)

En el caso especial donde el conjunto se llama ${\displaystyle M:=X,}$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A}$interior algebraico onúcleo de ${\displaystyle A}$y se denota poro Formalmente, sies un espacio vectorial entonces el interior algebraico dees^[6] ${\displaystyle A^{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {core} A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$

$${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:{\text{ for all }}x\in X,{\text{ there exists some }}t_{x}>0,{\text{ such that for all }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.}$$

Si no está vacío, entonces estos subconjuntos adicionales también son útiles para los enunciados de muchos teoremas en el análisis funcional convexo (como el teorema de Ursescu ): ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed set,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {span} (A-a){\text{ is a barrelled linear subspace of }}X{\text{ for any/all }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

Si es un espacio de Fréchet , es convexo y está cerrado entonces pero en general es posible tenerlo mientras no esté vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A}$ ${\displaystyle {}^{ic}A=\varnothing }$ ${\displaystyle {}^{ib}A}$

Ejemplos

Si entonces pero y ${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A),}$ ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$ ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A)).}$

Propiedades del núcleo

Suponer ${\displaystyle A,B\subseteq X.}$

• En general, pero si es un conjunto convexo entonces: ${\displaystyle \operatorname {core} A\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} A).}$ ${\displaystyle A}$
  • ${\displaystyle \operatorname {core} A=\operatorname {core} (\operatorname {core} A),}$y
  • para todos entonces ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} A,y\in A,0<\lambda \leq 1}$ ${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} A.}$
• ${\displaystyle A}$es un subconjunto absorbente de un espacio vectorial real si y sólo si ^[3] ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A).}$
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subseteq \operatorname {core} (A+B)}$^[7]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$si ^[7] ${\displaystyle B=\operatorname {core} B.}$

Tanto el núcleo como la clausura algebraica de un conjunto convexo son nuevamente convexos. ^[5] Si es convexo, entonces el segmento de recta está contenido en ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {core} C,}$ ${\displaystyle b\in \operatorname {acl} _{X}C}$ ${\displaystyle [c,b):=c+[0,1)b}$ ${\displaystyle \operatorname {core} C.}$

Relación con el interior topológico

Sea un espacio vectorial topológico , denotemos el operador interior, y luego: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} }$ ${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$
• Si es convexo no vacío y tiene dimensión finita, entonces ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$
• Si es convexo con interior no vacío, entonces ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$
• Si es un conjunto convexo cerrado y es un espacio métrico completo , entonces ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A.}$

Interior algebraico relativo

Si entonces el conjunto se denota por y se llama interior algebraico relativo de ^[7] Este nombre surge del hecho de que si y sólo si y (donde si y sólo si ). ${\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)}$ ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A}$ ${\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle a\in A^{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$ ${\displaystyle a\in {}^{i}A}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)=X}$

Interior relativo

Si es un subconjunto de un espacio vectorial topológico entonces el interior relativo de es el conjunto ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.}$$

${\displaystyle \operatorname {aff} A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$

$${\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed subspace of }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

Interior casi relativo

Si es un subconjunto de un espacio vectorial topológico, entonces el interior cuasi relativo de es el conjunto ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{ is a linear subspace of }}X\right\}.}$$

En un espacio vectorial topológico de dimensión finita de Hausdorff , ${\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.}$

Ver también

• Punto límite  : concepto matemático relacionado con subconjuntos de espacios vectoriales
• Interior (topología)  : subconjunto abierto más grande de un conjunto determinado
• Unidad de orden  : elemento de un espacio vectorial ordenado
• Interior cuasi relativo  - Generalización del interior algebraico
• conjunto radial
• Interior relativo  - Generalización del interior topológico
• Teorema de Ursescu  : generalización de grafo cerrado, mapeo abierto y teorema de acotación uniforme

Referencias

1. Aliprantis y Border 2006, págs.
2. John Cook (21 de mayo de 1988). "Separación de conjuntos convexos en espacios topológicos lineales" (PDF) . Consultado el 14 de noviembre de 2012 .
3. Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe (2000). "Medidas de riesgo coherentes, límites de valoración y ( μ , ρ {\displaystyle \mu ,\rho } ) -optimización de la cartera" (PDF) .
4. Zălinescu 2002, pag. 2.
5. Narici y Beckenstein 2011, pag. 109.
6. Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Análisis funcional I: análisis funcional lineal . Saltador. ISBN 978-3-540-50584-6.
7. Zălinescu 2002, págs.
8. Kantorovitz, Shmuel (2003). Introducción al análisis moderno . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 134.ISBN​ 9780198526568.
9. Bonnans, J. Frédéric; Shapiro, Alexander (2000), Análisis de perturbaciones de problemas de optimización, serie Springer en investigación de operaciones, Springer, Observación 2.73, p. 56, ISBN 9780387987057.

Bibliografía

• Aliprantis, Charalambos D .; Frontera, Kim C. (2006). Análisis dimensional infinito: una guía para el autoestopista (tercera ed.). Berlín: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC  262692874.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. SEÑOR  1921556. OCLC  285163112 - vía Internet Archive .