Norma asimétrica

Generalización del concepto de norma

En matemáticas , una norma asimétrica en un espacio vectorial es una generalización del concepto de norma .

Definición

Una norma asimétrica en un espacio vectorial real es una función que tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to [0,+\infty )}$

• Subaditividad , o desigualdad triangular : ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X.}$
• Homogeneidad no negativa :y todo número real no negativo ${\displaystyle p(rx)=rp(x){\text{ for all }}x\in X}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$
• Definitividad positiva : ${\displaystyle p(x)>0{\text{ unless }}x=0}$

Las normas asimétricas se diferencian de las normas en que no necesitan satisfacer la igualdad ${\displaystyle p(-x)=p(x).}$

Si se omite la condición de definitividad positiva, entonces es una seminorma asimétrica . Una condición más débil que la definitividad positiva es la no degeneración : que para al menos uno de los dos números y no sea cero. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(-x)}$

Ejemplos

En la recta real la función dada por es una norma asimétrica pero no una norma. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p(x)={\begin{cases}|x|,&x\leq 0;\\2|x|,&x\geq 0;\end{cases}}}$$

En un espacio vectorial real, el funcional de Minkowski de un subconjunto convexo que contiene el origen se define por la fórmula para . Este funcional es una seminorma asimétrica si es un conjunto absorbente, lo que significa que y asegura que es finito para cada ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{B}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ $${\displaystyle p_{B}(x)=\inf \left\{r\geq 0:x\in rB\right\}\,}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}rB=X,}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Correspondencia entre seminormas asimétricas y subconjuntos convexos del espacio dual

Si es un conjunto convexo que contiene el origen, entonces una seminorma asimétrica puede definirse en mediante la fórmula Por ejemplo, si es el cuadrado con vértices entonces es la norma del taxi Diferentes conjuntos convexos producen diferentes seminormas, y cada seminorma asimétrica en puede obtenerse a partir de algún conjunto convexo, llamado su bola unitaria dual . Por lo tanto, las seminormas asimétricas están en correspondencia uno a uno con los conjuntos convexos que contienen el origen. La seminorma es ${\displaystyle B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle p(x)=\max _{\varphi \in B^{*}}\langle \varphi ,x\rangle .}$$ ${\displaystyle B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x=\left(x_{0},x_{1}\right)\mapsto \left|x_{0}\right|+\left|x_{1}\right|.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$

• definida positiva si y sólo si contiene el origen en su interior topológico , ${\displaystyle B^{*}}$
• degenera si y sólo si está contenido en un subespacio lineal de dimensión menor que y ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle n,}$
• simétrico si y sólo si ${\displaystyle B^{*}=-B^{*}.}$

De manera más general, si es un espacio vectorial real de dimensión finita y es un subconjunto convexo compacto del espacio dual que contiene el origen, entonces es una seminorma asimétrica en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{*}\subseteq X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle p(x)=\max _{\varphi \in B^{*}}\varphi (x)}$ ${\displaystyle X.}$

Véase también

• Variedad de Finsler  – Generalización de las variedades de Riemann
• Funcional de Minkowski  : Función formada a partir de un conjunto

Referencias

• Cobzaş, S. (2006). "Operadores compactos en espacios con norma asimétrica". Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math . 51 (4): 69–87. arXiv : math/0608031 . Bibcode :2006math......8031C. ISSN  0252-1938. MR  2314639.
• S. Cobzas, Análisis funcional en espacios normados asimétricos , Frontiers in Mathematics, Basilea: Birkhäuser, 2013; ISBN 978-3-0348-0477-6 .