seminorma

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , una seminorma es una norma de espacio vectorial que no necesita ser definida positiva . Las seminormas están íntimamente relacionadas con los conjuntos convexos : cada seminorma es la funcional de Minkowski de algún disco absorbente y, a la inversa, la funcional de Minkowski de cualquier conjunto de este tipo es una seminorma.

Un espacio vectorial topológico es localmente convexo si y sólo si su topología es inducida por una familia de seminormas.

Definición

Sea un espacio vectorial sobre números reales o números complejos . Una función de valor real se llama seminorma si satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. Subaditividad ^[1] / Desigualdad triangular : para todos ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. Homogeneidad absoluta : ^[1] para todos y todos los escalares ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$

Estas dos condiciones implican que ^{[prueba 1]} y que toda seminorma también tiene la siguiente propiedad: ^{[prueba 2]} ${\displaystyle p(0)=0}$ ${\displaystyle p}$

3. No negatividad : ^[1] para todos ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Algunos autores incluyen la no negatividad como parte de la definición de "seminorma" (y a veces también de "norma"), aunque esto no es necesario ya que se deriva de las otras dos propiedades.

Por definición, una norma sobre es una seminorma que también separa puntos, es decir que tiene la siguiente propiedad adicional: ${\displaystyle X}$

4. Positivo definido /Positivo ^[1] /Separación de puntos : siempre quesatisfagaentonces ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle x=0.}$

AEl espacio seminorma es un parque consta de un espacio vectorialy una seminorma.Si la seminormatambién es una norma, entonces el espacio seminormase llama espacio normado . ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,p)}$

Dado que la homogeneidad absoluta implica homogeneidad positiva, cada seminorma es un tipo de función llamada función sublineal . Una aplicación se llama función sublineal si es subaditiva y homogénea positiva . A diferencia de una seminorma, una función sublineal no es necesariamente no negativa. Las funciones sublineales se encuentran a menudo en el contexto del teorema de Hahn-Banach . Una función de valor real es una seminorma si y sólo si es una función sublineal y equilibrada . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

Ejemplos

• La seminorma trivial en la que se refiere al mapa constante en induce la topología indiscreta en ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$
• Sea una medida en un espacio . Para una constante arbitraria , sea el conjunto de todas las funciones para las cuales ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle c\geq 1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle \lVert f\rVert _{c}:=\left(\int _{\Omega }|f|^{c}\,d\mu \right)^{1/c}}$$
  existe y es finito. Se puede demostrar que es un espacio vectorial y el funcional es una seminorma en . Sin embargo, no siempre es una norma (por ejemplo, si y es la medida de Lebesgue ) porque no siempre lo implica . Para hacer una norma, cociente por el subespacio cerrado de funciones con . El espacio resultante , tiene una norma inducida por . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$ ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$ ${\displaystyle L^{c}(\mu )}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$
• Si hay alguna forma lineal en un espacio vectorial, entonces su valor absoluto definido por es una seminorma. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|,}$ ${\displaystyle x\mapsto |f(x)|,}$
• Una función sublineal en un espacio vectorial real es una seminorma si y sólo si es una función simétrica , lo que significa que para todos ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$
• Cada función sublineal de valor real en un espacio vectorial real induce una seminorma definida por ^[2] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.}$
• Cualquier suma finita de seminormas es una seminorma. La restricción de una seminorma (respectivamente, norma) a un subespacio vectorial es nuevamente una seminorma (respectivamente, norma).
• Si y son seminormas (respectivamente, normas) en y entonces el mapa definido por es una seminorma (respectivamente, una norma) en En particular, los mapas en definidos por y son ambos seminormas en ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle r:X\times Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r(x,y)=p(x)+q(y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto p(x)}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto q(y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
• Si y son seminormas, entonces también lo son ^[3] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}}$$
  y
  $${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}}$$
  donde y ^[4] ${\displaystyle p\wedge q\leq p}$ ${\displaystyle p\wedge q\leq q.}$
• El espacio de seminormas generalmente no es una red distributiva con respecto a las operaciones anteriores. Por ejemplo, sobre , son tales que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p(x,y):=\max(|x|,|y|),q(x,y):=2|x|,r(x,y):=2|y|}$
  $${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (p\vee r))(x,y)=\inf\{\max(2|x_{1}|,|y_{1}|)+\max(|x_{2}|,2|y_{2}|):x=x_{1}+x_{2}{\text{ and }}y=y_{1}+y_{2}\}}$$
  mientras ${\displaystyle (p\vee q\wedge r)(x,y):=\max(|x|,|y|)}$
• Si es un mapa lineal y es una seminorma entonces es una seminorma La seminorma será una norma si y sólo si es inyectiva y la restricción es una norma ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle q\circ L:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q\circ L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q{\big \vert }_{L(X)}}$ ${\displaystyle L(X).}$

Funcionales y seminormas de Minkowski

Las seminormas en un espacio vectorial están íntimamente ligadas, a través de los funcionales de Minkowski, a subconjuntos de estos que son convexos , equilibrados y absorbentes . Dado tal subconjunto de la funcional de Minkowski es una seminorma. Por el contrario, dada una seminorma en los conjuntos y son convexos, equilibrados y absorbentes y, además, el funcional de Minkowski de estos dos conjuntos (así como de cualquier conjunto que se encuentre "entre ellos") es ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle p.}$

Propiedades algebraicas

Cada seminorma es una función sublineal y, por lo tanto, satisface todas las propiedades de una función sublineal , incluida la convexidad , y para todos los vectores : la desigualdad del triángulo inverso : ^{[2] [6]} ${\displaystyle p(0)=0,}$ ${\displaystyle x,y\in X}$

$${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y)}$$

^{[2] [6]} ${\textstyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$ ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$

Para cualquier vector y real positivo ^[7] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0:}$

$${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(x-y)<r\}}$$

disco absorbente^[3] ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle X.}$

Si es una función sublineal en un espacio vectorial real entonces existe un funcional lineal en tal que ^[6] y además, para cualquier funcional lineal en si y solo si ^[6] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.}$

Otras propiedades de las seminormas.

Cada seminorma es una función equilibrada . Una seminorma es una norma si y solo si no contiene un subespacio vectorial no trivial. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

Si es una seminorma entonces es un subespacio vectorial de y para cada es constante en el conjunto e igual a ^{[prueba 3]} ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker p:=p^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x+\ker p=\{x+k:p(k)=0\}}$ ${\displaystyle p(x).}$

Además, para cualquier ^[3] ${\displaystyle r>0,}$

$${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}.}$$

Si es un conjunto satisfactorio, entonces está absorbiendo en y donde denota el funcional de Minkowski asociado con (es decir, el calibre de ). ^[5] En particular, si es como lo anterior y es cualquier seminorma entonces si y solo si ^[5] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=p_{D}}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q=p}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.}$

Si es un espacio normado y entonces para todos en el intervalo ^[8] ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [x,y].}$

Cada norma es una función convexa y, en consecuencia, encontrar un máximo global de una función objetivo basada en normas a veces es factible.

Relación con otros conceptos similares a normas

Sea una función no negativa. Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$es una seminorma.
2. ${\displaystyle p}$es una seminorma convexa . ${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle p}$es una seminorma G equilibrada convexa . ^[9]

Si se cumple alguna de las condiciones anteriores, entonces las siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle p}$es una norma;
2. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$no contiene un subespacio vectorial no trivial. ^[10]
3. Existe una norma respecto de la cual, está acotado. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

Si es una función sublineal en un espacio vectorial real, entonces las siguientes son equivalentes: ^[6] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$es un funcional lineal ;
2. ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0{\text{ for every }}x\in X}$;
3. ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0{\text{ for every }}x\in X}$;

Desigualdades que involucran seminormas

Si hay seminormas activadas, entonces: ${\displaystyle p,q:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle p\leq q}$si y sólo si implica ^[11] ${\displaystyle q(x)\leq 1}$ ${\displaystyle p(x)\leq 1.}$
• Si y son tales que implica entonces para todos ^[12] ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle p(x)<a}$ ${\displaystyle q(x)\leq b,}$ ${\displaystyle aq(x)\leq bp(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$
• Supongamos que y son números reales positivos y son seminormas tales que para cada si entonces Entonces ^[10] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \max\{p_{1}(x),\ldots ,p_{n}(x)\}<a}$ ${\displaystyle q(x)<b.}$ ${\displaystyle aq\leq b\left(p_{1}+\cdots +p_{n}\right).}$
• Si es un espacio vectorial sobre los reales y es un funcional lineal distinto de cero, entonces si y solo si ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}.}$

Si es una seminorma y es un funcional lineal, entonces : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle |f|\leq p}$en si y sólo si en (ver nota al pie para prueba). ^{[13] [14]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq p}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle f\leq p}$en si y sólo si ^{[6] [11]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.}$
• Si y son tales que implica entonces para todos ^[12] ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle p(x)<a}$ ${\displaystyle f(x)\neq b,}$ ${\displaystyle a|f(x)|\leq bp(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Teorema de Hahn-Banach para seminormas

Las seminormas ofrecen una formulación particularmente clara del teorema de Hahn-Banach :

If es un subespacio vectorial de un espacio seminormado y if es un funcional lineal continuo, entonces puede extenderse a un funcional lineal continuo que tenga la misma norma que ^[15] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$

Una propiedad de extensión similar también es válida para las seminormas:

Teorema ^{[16] [12]}  (Extensión de seminormas)  :  si es un subespacio vectorial de es una seminorma tal que entonces existe una seminorma tal que y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q{\big \vert }_{M},}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{M}=p}$ ${\displaystyle P\leq q.}$

Prueba : Sea el casco convexo de Entonces es un disco absorbente y por lo tanto la funcional de Minkowski de es una seminorma en Esta seminorma satisface una y otra vez ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p=P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\leq q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Topologías de espacios seminormados.

Pseudometría y topología inducida.

Una seminorma induce una topología, llamada topología inducida por seminorma , a través de la pseudométrica canónica invariante de traducción ; Esta topología es Hausdorff si y sólo si es una métrica, lo que ocurre si y sólo si es una norma . ^[4] Esta topología se convierte en un espacio vectorial topológico pseudometrizable localmente convexo que tiene una vecindad acotada del origen y una base de vecindad en el origen que consta de las siguientes bolas abiertas (o bolas cerradas) centradas en el origen: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{p}:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{p}(x,y):=p(x-y)=p(y-x).}$ ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}\quad {\text{ or }}\quad \{x\in X:p(x)\leq r\}}$$

seminormable ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (X,p)}$

De manera equivalente, cada espacio vectorial con seminorma induce un cociente de espacio vectorial donde es el subespacio que consta de todos los vectores con Luego lleva una norma definida por La topología resultante, retraída a es precisamente la topología inducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X/W,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0.}$ ${\displaystyle X/W}$ ${\displaystyle p(x+W)=p(v).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p.}$

Cualquier topología inducida por seminorma se vuelve localmente convexa , de la siguiente manera. Si es una seminorma y llamamos al conjunto la bola abierta de radio alrededor del origen ; del mismo modo, la bola cerrada de radio es El conjunto de todas las bolas abiertas (o cerradas) en el origen forma una base de vecindad de conjuntos balanceados convexos que son abiertos (o cerrados) en la topología de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Seminormas más fuertes, más débiles y equivalentes

Las nociones de seminormas más fuertes y más débiles son similares a las nociones de normas más fuertes y más débiles . Si y son seminormas entonces decimos que es más fuerte que y que es más débil que si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

1. La topología inducida por es más fina que la topología inducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$
2. Si es una secuencia en entonces en implica en ^[4] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
3. Si es un neto en entonces en implica en ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
4. ${\displaystyle p}$está limitado en ^[4] ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}.}$
5. Si entonces para todos ^[4] ${\displaystyle \inf {}\{q(x):p(x)=1,x\in X\}=0}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. Existe un real tal que en ^[4] ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle p\leq Kq}$ ${\displaystyle X.}$

Las seminormas y se llaman equivalentes si ambas son más débiles (o ambas más fuertes) que la otra. Esto sucede si cumplen alguna de las siguientes condiciones: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

1. La topología inducida por es la misma que la topología inducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$
2. ${\displaystyle q}$es más fuerte que y es más fuerte que ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q.}$
3. Si es una secuencia en entonces si y solo si ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0.}$
4. Existen números reales positivos y tales que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle rq\leq p\leq Rq.}$

Normalidad y seminormabilidad

Se dice que un espacio vectorial topológico (TVS) es unespacio seminormable (respectivamente, unespacio normal ) si su topología es inducida por una sola seminorma (resp. una sola norma). Un TVS es normal si y sólo si es seminormable y Hausdorff o equivalentemente, si y sólo si es seminormable yT 1 (porque un TVS es Hausdorff si y sólo si es unespacioT 1 ). AEl espacio vectorial topológico localmente acotado es un espacio vectorial topológico que posee una vecindad acotada del origen.

La normalidad de los espacios vectoriales topológicos se caracteriza por el criterio de normalidad de Kolmogorov . Un TVS es seminormable si y sólo si tiene una vecindad acotada convexa del origen. ^[17] Por lo tanto, un TVS localmente convexo es seminormable si y solo si tiene un conjunto abierto acotado no vacío. ^[18] Un TVS es normal si y sólo si es un espacio T 1 y admite una vecindad convexa acotada del origen.

Si es un TVS localmente convexo de Hausdorff , entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es normal.
2. ${\displaystyle X}$es seminormable.
3. ${\displaystyle X}$Tiene un barrio acotado del origen.
4. El dual fuerte de es normal. ^[19] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
5. El dual fuerte de es metrizable . ^[19] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Además, es de dimensión finita si y sólo si es normal (aquí denota dotado de la topología débil-* ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

El producto de infinitos espacios seminormables es nuevamente seminormable si y sólo si todos menos un número finito de estos espacios son triviales (es decir, de dimensión 0). ^[18]

Propiedades topológicas

• Si es un TVS y es una seminorma continua, entonces el cierre de in es igual a ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$
• El cierre de en un espacio localmente convexo cuya topología está definida por una familia de seminormas continuas es igual a ^[11] ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$
• Un subconjunto en un espacio seminormado está acotado si y sólo si está acotado. ^[20] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p(S)}$
• Si es un espacio seminormado, entonces la topología localmente convexa que induce a on se convierte en un TVS pseudometrizable con una pseudométrica canónica dada por para todos ^[21] ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
• El producto de infinitos espacios seminormables es nuevamente seminormable si y sólo si todos, excepto un número finito de estos espacios, son triviales (es decir, de dimensión 0). ^[18]

Continuidad de seminormas.

Si es una seminorma en un espacio vectorial topológico, entonces lo siguiente es equivalente: ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle p}$es continuo.
2. ${\displaystyle p}$es continuo en 0; ^[3]
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$está abierto en ; ^[3] ${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$es barrio cerrado de 0 en ; ^[3] ${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle p}$es uniformemente continuo en ; ^[3] ${\displaystyle X}$
6. Existe una seminorma continua tal que ^[3] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q.}$

En particular, si es un espacio seminormado entonces un espacio seminormado es continuo si y sólo si está dominado por un múltiplo escalar positivo de ^[3] ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$

Si es un TVS real, es una función lineal y es una seminorma continua (o más generalmente, una función sublineal), entonces implica que es continua. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Continuidad de mapas lineales.

Si es un mapa entre espacios seminormados, entonces sea ^[15] ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$

$${\displaystyle \|F\|_{p,q}:=\sup\{q(F(x)):p(x)\leq 1,x\in X\}.}$$

Si es un mapa lineal entre espacios seminormados entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$

1. ${\displaystyle F}$es continuo;
2. ${\displaystyle \|F\|_{p,q}<\infty }$; ^[15]
3. Existe un real tal que ; ^[15] ${\displaystyle K\geq 0}$ ${\displaystyle p\leq Kq}$
   • En este caso, ${\displaystyle \|F\|_{p,q}\leq K.}$

Si es continuo entonces para todos ^[15] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle q(F(x))\leq \|F\|_{p,q}p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

El espacio de todos los mapas lineales continuos entre espacios seminorma es en sí mismo un espacio seminorma bajo la seminorma. Esta seminorma es una norma si es una norma. ^[15] ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$ ${\displaystyle \|F\|_{p,q}.}$ ${\displaystyle q}$

Generalizaciones

El concepto de norma en las álgebras de composición no comparte las propiedades habituales de una norma.

Un álgebra de composición consiste en un álgebra sobre un campo, una involución y una forma cuadrática que se llama "norma". En varios casos es una forma cuadrática isotrópica de modo que tiene al menos un vector nulo , contrariamente a la separación de puntos requerida por la norma habitual comentada en este artículo. ${\displaystyle (A,*,N)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \,*,}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$

Una ultraseminorma o una seminorma no de Arquímedes es una seminorma que también satisface ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ for all }}x,y\in X.}$

Debilitamiento de la subaditividad: cuasi-seminormas

Un mapa se llama cuasi-seminorma si es (absolutamente) homogéneo y existe algo tal que El valor más pequeño de para el cual esto se cumple se llama multiplicador de ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b\leq 1}$ ${\displaystyle p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y)){\text{ for all }}x,y\in X.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p.}$

Una cuasi-seminorma que separa puntos se llama cuasi-norma en ${\displaystyle X.}$

Debilitamiento de la homogeneidad - -seminormas ${\displaystyle k}$

Un mapa se llama -seminorma si es subaditivo y existe tal que y para todos y escalares ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0<k\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s,}$

$${\displaystyle p(sx)=|s|^{k}p(x)}$$

-norma ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X.}$

Tenemos la siguiente relación entre cuasi-seminormas y -seminormas: ${\displaystyle k}$

Supongamos que es una cuasi-seminorma en un espacio vectorial con multiplicador. Si entonces existe -seminorma equivalente a ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle 0<{\sqrt {k}}<\log _{2}b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q.}$

Ver también

• Norma asimétrica  – Generalización del concepto de norma
• Espacio de Banach  : espacio vectorial normado que está completo
• Mapeo de contracción  : función que reduce la distancia entre todos los puntos
• La mejor topología localmente convexa  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de Hahn-Banach  : teorema sobre la extensión de funcionales lineales acotadosPages displaying short descriptions of redirect targets
• norma de gowers
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Distancia de Mahalanobis  - Medida estadística de distancia
• Norma matricial  : norma en un espacio vectorial de matrices
• Funcional de Minkowski  – Función hecha a partir de un conjunto
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Espacio vectorial normado  : espacio vectorial en el que se define una distancia
• Relación de normas y métricas  – Espacio matemático con noción de distanciaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función sublineal  - Tipo de función en álgebra lineal

Notas

Pruebas

1. Si denota el vector cero mientras que denota el escalar cero, entonces la homogeneidad absoluta implica que ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(0)=p(0z)=|0|p(z)=0p(z)=0.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Supongamos que es una seminorma y sea Entonces la homogeneidad absoluta implica La desigualdad del triángulo ahora implica Porque era un vector arbitrario, se sigue lo que implica que (restando de ambos lados). Por lo tanto , lo que implica (multiplicando por ). ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(-x)=p((-1)x)=|-1|p(x)=p(x).}$ ${\displaystyle p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)=p(x)+p(x)=2p(x).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p(0)\leq 2p(0),}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)}$ ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)\leq 2p(x)}$ ${\displaystyle 0\leq p(x)}$ ${\displaystyle 1/2}$
3. Sea y Queda por demostrar que La desigualdad del triángulo implica Dado que se desea. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k\in p^{-1}(0).}$ ${\displaystyle p(x+k)=p(x).}$ ${\displaystyle p(x+k)\leq p(x)+p(k)=p(x)+0=p(x).}$ ${\displaystyle p(-k)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(x)-p(-k)\leq p(x-(-k))=p(x+k),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

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13. Obvio si es un espacio vectorial real. Para la dirección no trivial, supongamos que on y dejemos que y sean números reales tales que Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(x)=re^{it}.}$ ${\displaystyle |f(x)|=r=f\left(e^{-it}x\right)=\operatorname {Re} \left(f\left(e^{-it}x\right)\right)\leq p\left(e^{-it}x\right)=p(x).}$
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enlaces externos

• Funciones sublineales
• El teorema del sándwich para funcionales sublineales y superlineales