Norma de Gower

En matemáticas , en el campo de la combinatoria aditiva , una norma de Gowers o norma de uniformidad es una clase de normas sobre funciones en un grupo finito o un objeto similar a un grupo que cuantifican la cantidad de estructura presente o, por el contrario, la cantidad de aleatoriedad . ^[1] Se utilizan en el estudio de progresiones aritméticas en el grupo. Reciben su nombre de Timothy Gowers , quien la introdujo en su trabajo sobre el teorema de Szemerédi . ^[2]

Definición

Sea una función compleja en un grupo abeliano finito y denote la conjugación compleja . La norma de Gowers es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}(G)}^{2^{d}}=\sum _{x,h_{1},\ldots ,h_{d}\in G}\prod _{\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}\in \{0,1\}}J^{\omega _{1}+\cdots +\omega _{d}}f\left({x+h_{1}\omega _{1}+\cdots +h_{d}\omega _{d}}\right)\ .}$

Las normas de Gowers también se definen para funciones de valor complejo f en un segmento , donde N es un entero positivo . En este contexto, la norma de uniformidad se da como , donde es un entero grande, denota la función indicadora de [ N ], y es igual a para y para todos los demás . Esta definición no depende de , siempre que . ${\displaystyle [N]={0,1,2,...,N-1}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[N]}=\Vert {\tilde {f}}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}/\Vert 1_{[N]}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ ${\displaystyle 1_{[N]}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in [N]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}>2^{d}N}$

Conjeturas inversas

Una conjetura inversa para estas normas es una afirmación que afirma que si una función acotada f tiene una norma d de Gowers grande , entonces f se correlaciona con una fase polinómica de grado d − 1 u otro objeto con comportamiento polinómico (por ejemplo, una nilsecuencia de ( d − 1) pasos ). La afirmación precisa depende de la norma de Gowers en consideración.

La conjetura inversa para espacios vectoriales sobre un cuerpo finito afirma que para cualquier existe una constante tal que para cualquier espacio vectorial de dimensión finita V sobre y cualquier función de valor complejo en , acotada por 1, tal que , existe una secuencia polinómica tal que ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[V]}\geq \delta }$ ${\displaystyle P\colon V\to \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \left|{\frac {1}{|V|}}\sum _{x\in V}f(x)e\left(-P(x)\right)\right|\geq c,}$

donde . Bergelson, Tao y Ziegler demostraron que esta conjetura era cierta. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}}$

La conjetura inversa para la norma de Gowers afirma que para cualquier , se puede encontrar una colección finita de nilvariedades y constantes de ( d − 1) pasos , de modo que lo siguiente es cierto. Si es un entero positivo y está acotado en valor absoluto por 1 y , entonces existe una nilvariedad y una nilsecuencia donde y están acotadas por 1 en valor absoluto y con la constante de Lipschitz acotada por tal que: ${\displaystyle U^{d}[N]}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\delta }}$ ${\displaystyle c,C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f\colon [N]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[N]}\geq \delta }$ ${\displaystyle G/\Gamma \in {\mathcal {M}}_{\delta }}$ ${\displaystyle F(g^{n}x)}$ ${\displaystyle g\in G,\ x\in G/\Gamma }$ ${\displaystyle F\colon G/\Gamma \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \left|{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(n){\overline {F(g^{n}x}})\right|\geq c.}$

Green, Tao y Ziegler demostraron que esta conjetura es cierta. ^{[6] [7]} Cabe destacar que la aparición de sucesiones nulas en la afirmación anterior es necesaria. La afirmación ya no es cierta si solo consideramos fases polinómicas.

Referencias

1. Hartnett, Kevin. "Los matemáticos detectan un patrón al descubrir cómo evitarlo". Quanta Magazine . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
2. Gowers, Timothy (2001). "Una nueva prueba del teorema de Szemerédi". Análisis geométrico y funcional . 11 (3): 465–588. doi :10.1007/s00039-001-0332-9. MR  1844079. S2CID  124324198.
3. Bergelson, Vitaly; Tao, Terence ; Ziegler, Tamar (2010). "Un teorema inverso para las seminormas de uniformidad asociadas con la acción de ". Análisis geométrico y funcional . 19 (6): 1539–1596. arXiv : 0901.2602 . doi :10.1007/s00039-010-0051-1. MR  2594614. S2CID  10875469. ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\infty }}$
4. Tao, Terence ; Ziegler, Tamar (2010). "La conjetura inversa para la norma de Gowers sobre cuerpos finitos a través del principio de correspondencia". Análisis y EDP . 3 (1): 1–20. arXiv : 0810.5527 . doi :10.2140/apde.2010.3.1. MR  2663409. S2CID  16850505.
5. Tao, Terence ; Ziegler, Tamar (2011). "La conjetura inversa para la norma de Gowers sobre cuerpos finitos en baja característica". Anales de combinatoria . 16 : 121–188. arXiv : 1101.1469 . doi :10.1007/s00026-011-0124-3. MR  2948765. S2CID  253591592.
6. Green, Ben ; Tao, Terence ; Ziegler, Tamar (2011). "Un teorema inverso para la norma de Gowers". Electron. Res. Announc. Math. Sci . 18 : 69–90. arXiv : 1006.0205 . doi :10.3934/era.2011.18.69. MR  2817840. ${\displaystyle U^{s+1}[N]}$
7. Green, Ben ; Tao, Terence ; Ziegler, Tamar (2012). "Un teorema inverso para la norma de Gowers". Anales de Matemáticas . 176 (2): 1231–1372. arXiv : 1009.3998 . doi :10.4007/annals.2012.176.2.11. MR  2950773. S2CID  119588323. ${\displaystyle U^{s+1}[N]}$

• Tao, Terence (2012). Análisis de Fourier de orden superior. Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 142. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 978-0-8218-8986-2.MR  2931680.Zbl 1277.11010  .​