conjunto equilibrado

Construir en análisis funcional.

En álgebra lineal y áreas relacionadas de las matemáticas , un conjunto equilibrado , un conjunto circular o un disco en un espacio vectorial (sobre un campo con una función de valor absoluto ) es un conjunto tal que para todos los escalares que satisfacen ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle aS\subseteq S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$

El casco equilibrado o envoltura equilibrada de un conjunto es el conjunto equilibrado más pequeño que contiene. El núcleo equilibrado de un conjunto es el conjunto equilibrado más grande contenido en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Los conjuntos balanceados son ubicuos en el análisis funcional porque cada vecindad del origen en cada espacio vectorial topológico (TVS) contiene una vecindad balanceada del origen y cada vecindad convexa del origen contiene una vecindad convexa balanceada del origen (incluso si la TVS no es localmente convexo ). Esta vecindad también se puede elegir para que sea un conjunto abierto o, alternativamente, un conjunto cerrado .

Definición

Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de números reales o complejos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Notación

Si es un conjunto, es un escalar, y luego let y y para cualquier let ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle aS=\{as:s\in S\}}$ ${\displaystyle BS=\{bs:b\in B,s\in S\}}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty ,}$

$${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\qquad {\text{ and }}\qquad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}.}$$

bola abiertabola cerrada ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B_{0}=\varnothing ,B_{\leq 0}=\{0\},}$ ${\displaystyle B_{\infty }=B_{\leq \infty }=\mathbb {K} .}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B_{\leq r}}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty .}$

conjunto equilibrado

Un subconjunto de se llama ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$conjunto equilibrado oequilibradosi satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Definición : para todos y todos los escalares satisfactorios ${\displaystyle as\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$
2. ${\displaystyle aS\subseteq S}$para todos los escalares satisfactorios ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1.}$
3. ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S}$(dónde ). ${\displaystyle B_{\leq 1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq 1\}}$
4. ${\displaystyle S=B_{\leq 1}S.}$^[1]
5. Para cada ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq 1}(S\cap \mathbb {K} s).}$
   • ${\displaystyle \mathbb {K} s=\operatorname {span} \{s\}}$es un subespacio vectorial dimensional (si ) o (si ) de ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X.}$
   • Si entonces la igualdad anterior se convierte en cuál es exactamente la condición previa para que un conjunto esté equilibrado. Por tanto, está equilibrado si y sólo si para cada es un conjunto equilibrado (según cualquiera de las condiciones definitorias anteriores). ${\displaystyle R:=S\cap \mathbb {K} s}$ ${\displaystyle R=B_{\leq 1}R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s}$
6. Porque cada subespacio vectorial unidimensional es un conjunto equilibrado (de acuerdo con cualquier condición definitoria distinta de esta). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S,}$ ${\displaystyle S\cap Y}$
7. Para cada existe algo tal que o ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq r}s.}$
8. ${\displaystyle S}$es un subconjunto equilibrado de (de acuerdo con cualquier condición definitoria de "equilibrado" distinta de ésta). ${\displaystyle \operatorname {span} S}$
   • Por lo tanto, es un subconjunto balanceado de si y solo si es un subconjunto balanceado de cada (equivalentemente, de algún) espacio vectorial sobre el campo que contiene. Suponiendo que el campo está claro por el contexto, esto justifica escribir " está balanceado" sin mencionar ningún vector. espacio. ^{[nota 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle S}$

Si es un conjunto convexo , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle S}$

9. ${\displaystyle aS\subseteq S}$para todos los escalares satisfactorios ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|=1.}$

En ese caso, esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

10. ${\displaystyle S}$es simétrico (es decir ) y ${\displaystyle -S=S}$ ${\displaystyle [0,1)S\subseteq S.}$

casco equilibrado

$${\displaystyle \operatorname {bal} S~=~\bigcup _{|a|\leq 1}aS=B_{\leq 1}S}$$

ElEl casco equilibrado de un subconjuntodedenotado porse define de cualquiera de las siguientes formas equivalentes: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$

1. Definición : es el subconjunto equilibrado más pequeño (con respecto a ) de elementos que contienen ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$es la intersección de todos los conjuntos balanceados que contienen ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=\bigcup _{|a|\leq 1}(aS).}$
4. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=B_{\leq 1}S.}$^[1]

Núcleo equilibrado

$${\displaystyle \operatorname {balcore} S~=~{\begin{cases}\displaystyle \bigcap _{|a|\geq 1}aS&{\text{ if }}0\in S\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in S\\\end{cases}}}$$

ElEl núcleo equilibrado de un subconjuntodedenotado porse define de cualquiera de las siguientes formas equivalentes: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} S,}$

1. Definición : es el subconjunto equilibrado más grande (con respecto a ) de ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$es la unión de todos los subconjuntos equilibrados de ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\varnothing }$si mientras si ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\bigcap _{|a|\geq 1}(aS)}$ ${\displaystyle 0\in S.}$

Ejemplos

El conjunto vacío es un conjunto equilibrado. Como lo es cualquier subespacio vectorial de cualquier espacio vectorial (real o complejo) . En particular, siempre es un conjunto equilibrado. ${\displaystyle \{0\}}$

Cualquier conjunto no vacío que no contenga el origen no está equilibrado y, además, el núcleo equilibrado de dicho conjunto será igual al conjunto vacío.

Espacios vectoriales normados y topológicos

Las bolas abiertas y cerradas centradas en el origen en un espacio vectorial normado son conjuntos balanceados. Si es una seminorma (o norma ) en un espacio vectorial , entonces, para cualquier constante, el conjunto está equilibrado. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c>0,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq c\}}$

Si es cualquier subconjunto y entonces es un conjunto balanceado. En particular, si existe alguna vecindad equilibrada del origen en un espacio vectorial topológico , entonces ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\}}$ ${\displaystyle B_{1}S}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}U~\subseteq ~B_{1}U~=~\bigcup _{0<|a|<1}aU~\subseteq ~U.}$$

Conjuntos equilibrados en y ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Sea el campo de números reales o números complejos , denote el valor absoluto y denote el espacio vectorial. Entonces, por ejemplo, si es el campo de números complejos, entonces es un espacio vectorial complejo unidimensional, mientras que si entonces es unidimensional. espacio vectorial real. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {R} }$

Los subconjuntos balanceados de son exactamente los siguientes: ^[3] ${\displaystyle X=\mathbb {K} }$

1. ${\displaystyle \varnothing }$
2. ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \{0\}}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:|x|<r\}}$por algo real ${\displaystyle r>0}$
5. ${\displaystyle \{x\in X:|x|\leq r\}}$por algo real ${\displaystyle r>0.}$

En consecuencia, tanto el núcleo equilibrado como el casco equilibrado de cada conjunto de escalares es igual a uno de los conjuntos enumerados anteriormente.

Los conjuntos equilibrados son el propio conjunto, el conjunto vacío y los discos abiertos y cerrados centrados en cero. Por el contrario, en el espacio euclidiano bidimensional hay muchos más conjuntos equilibrados: cualquier segmento de recta con un punto medio en el origen servirá. Como resultado, y son completamente diferentes en lo que respecta a la multiplicación escalar . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Conjuntos equilibrados en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

En todo momento, sea (también lo es un espacio vectorial sobre ) y sea la bola unitaria cerrada centrada en el origen. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B_{\leq 1}}$ ${\displaystyle X}$

Si es distinto de cero, entonces el conjunto es una vecindad cerrada, simétrica y equilibrada del origen en Más generalmente, si es cualquier subconjunto cerrado de tal que entonces es una vecindad cerrada, simétrica y equilibrada del origen en Este ejemplo se puede generalizar a cualquier número entero ${\displaystyle x_{0}\in X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle L:=\mathbb {R} x_{0},}$ ${\displaystyle R:=B_{\leq 1}\cup L}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)C\subseteq C,}$ ${\displaystyle S:=B_{\leq 1}\cup C\cup (-C)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$

Sea la unión del segmento de recta entre los puntos y y el segmento de recta entre y Entonces es balanceado pero no convexo. Tampoco lo es absorbente (a pesar de que es todo el espacio vectorial). ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {span} B=\mathbb {R} ^{2}}$

Para cada, sea cualquier número real positivo y sea el segmento de línea (abierto o cerrado) entre los puntos y Entonces el conjunto es equilibrado y absorbente, pero no es necesariamente convexo. ${\displaystyle 0\leq t\leq \pi ,}$ ${\displaystyle r_{t}}$ ${\displaystyle B^{t}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle -(\cos t,\sin t).}$ ${\displaystyle B=\bigcup _{0\leq t<\pi }r_{t}B^{t}}$

El casco equilibrado de un conjunto cerrado no necesita estar cerrado. Tomemos por ejemplo la gráfica de en ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}$

The next example shows that the balanced hull of a convex set may fail to be convex (however, the convex hull of a balanced set is always balanced). For an example, let the convex subset be ${\displaystyle S:=[-1,1]\times \{1\},}$ which is a horizontal closed line segment lying above the ${\displaystyle x-}$axis in ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$ The balanced hull ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ is a non-convex subset that is "hour glass shaped" and equal to the union of two closed and filled isosceles triangles ${\displaystyle T_{1}}$ and ${\displaystyle T_{2},}$ where ${\displaystyle T_{2}=-T_{1}}$ and ${\displaystyle T_{1}}$ is the filled triangle whose vertices are the origin together with the endpoints of ${\displaystyle S}$ (said differently, ${\displaystyle T_{1}}$ is the convex hull of ${\displaystyle S\cup \{(0,0)\}}$ while ${\displaystyle T_{2}}$ is the convex hull of ${\displaystyle (-S)\cup \{(0,0)\}}$).

Sufficient conditions

A set ${\displaystyle T}$ is balanced if and only if it is equal to its balanced hull ${\displaystyle \operatorname {bal} T}$ or to its balanced core ${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$ in which case all three of these sets are equal: ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

The Cartesian product of a family of balanced sets is balanced in the product space of the corresponding vector spaces (over the same field ${\displaystyle \mathbb {K} }$).

• The balanced hull of a compact (respectively, totally bounded, bounded) set has the same property.^[4]
• The convex hull of a balanced set is convex and balanced (that is, it is absolutely convex). However, the balanced hull of a convex set may fail to be convex (a counter-example is given above).
• Arbitrary unions of balanced sets are balanced, and the same is true of arbitrary intersections of balanced sets.
• Scalar multiples and (finite) Minkowski sums of balanced sets are again balanced.
• Images and preimages of balanced sets under linear maps are again balanced. Explicitly, if ${\displaystyle L:X\to Y}$ is a linear map and ${\displaystyle B\subseteq X}$ and ${\displaystyle C\subseteq Y}$ are balanced sets, then ${\displaystyle L(B)}$ and ${\displaystyle L^{-1}(C)}$ are balanced sets.

Balanced neighborhoods

En cualquier espacio vectorial topológico , el cierre de un conjunto equilibrado es equilibrado. ^[5] La unión del origen y el interior topológico de un conjunto equilibrado es equilibrada. Por tanto, el interior topológico de una vecindad equilibrada del origen está equilibrado. ^{[5] [prueba 1]} Sin embargo, es un subconjunto equilibrado de que contiene el origen pero cuyo interior topológico (no vacío) no contiene el origen y, por tanto, no es un conjunto equilibrado. ^[6] De manera similar, para espacios vectoriales reales, si denota la cáscara convexa de y (un triángulo relleno cuyos vértices son estos tres puntos), entonces es un subconjunto equilibrado (en forma de reloj de arena ) cuyo interior topológico no vacío no contiene el origen y por lo que no es un conjunto equilibrado (y aunque el conjunto formado sumando el origen está equilibrado, no es un conjunto abierto ni una vecindad del origen). ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}:|z|\leq |w|\right\}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)\in X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (\pm 1,1)}$ ${\displaystyle B:=T\cup (-T)}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{(0,0)\}\cup \operatorname {Int} _{X}B}$

Cada vecindad (respectivamente, vecindad convexa) del origen en un espacio vectorial topológico contiene una vecindad abierta equilibrada (respectivamente, convexa y equilibrada) del origen. De hecho, la siguiente construcción produce conjuntos tan equilibrados. Dado que el conjunto simétrico será convexo (respectivamente, cerrado, equilibrado, acotado , una vecindad del origen, un subconjunto absorbente de ) siempre que esto sea cierto. Será un conjunto equilibrado si tiene forma de estrella en el origen, ^{[nota 2 ]} lo cual es cierto, por ejemplo, cuando es convexo y contiene. En particular, si es una vecindad convexa del origen, entonces será una vecindad convexa equilibrada del origen y, por tanto, su interior topológico será una vecindad abierta convexa equilibrada del origen. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W\subseteq X,}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW\subseteq W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$

Prueba

Dejar y definir (donde denota elementos del campo de escalares). La toma muestra que Si es convexo, entonces también lo es (dado que una intersección de conjuntos convexos es convexo) y, por tanto, también lo es el interior de . si entonces ${\displaystyle 0\in W\subseteq X}$ ${\displaystyle A=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle u:=1}$ ${\displaystyle A\subseteq W.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |s|=1}$

$${\displaystyle sA=\bigcap _{|u|=1}suW\subseteq \bigcap _{|u|=1}uW=A}$$

y por lo tanto, si tiene forma de estrella en el origen ^{[nota 2],} entonces también lo tendrá cada (para ), lo que implica que para cualquier ${\displaystyle sA=A.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle uW}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1,}$

$${\displaystyle rA=\bigcap _{|u|=1}ruW\subseteq \bigcap _{|u|=1}uW=A}$$

demostrando así que está equilibrado. Si es convexo y contiene el origen, entonces tiene forma de estrella en el origen y, por lo tanto, estará equilibrado. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$

Ahora supongamos que hay una vecindad del origen en Dado que la multiplicación escalar (definida por ) es continua en el origen y existe una vecindad abierta básica (donde y ) del origen en la topología del producto de tal manera que el conjunto está equilibrado y también es abierto porque puede escribirse como ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle M:\mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle M(a,x)=ax}$ ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {K} \times X}$ ${\displaystyle M(0,0)=0\in W,}$ ${\displaystyle B_{r}\times V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}:=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X}$ ${\displaystyle M\left(B_{r}\times V\right)\subseteq W;}$ ${\displaystyle M\left(B_{r}\times V\right)=B_{r}V}$

$${\displaystyle B_{r}V=\bigcup _{|a|<r}aV=\bigcup _{0<|a|<r}aV\qquad {\text{ (since }}0\cdot V=\{0\}\subseteq aV{\text{ )}}}$$

donde hay una vecindad abierta del origen cuando finalmente, ${\displaystyle aV}$ ${\displaystyle a\neq 0.}$

$${\displaystyle A=\bigcap _{|u|=1}uW\supseteq \bigcap _{|u|=1}uB_{r}V=\bigcap _{|u|=1}B_{r}V=B_{r}V}$$

muestra que también es un barrio del origen. Si está equilibrado entonces porque en su interior contiene el origen, también estará equilibrado. Si es convexo, entonces es convexo y equilibrado y, por lo tanto, lo mismo ocurre con ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}A.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Supongamos que es un subconjunto convexo y absorbente de Luego será un subconjunto absorbente equilibrado convexo , lo que garantiza que el funcional de Minkowski de será una seminorma al convertirse así en un espacio seminormado que lleva su topología pseudometrizable canónica. El conjunto de múltiplos escalares como rangos sobre (o sobre cualquier otro conjunto de escalares distintos de cero que tengan como punto límite) forma una base de vecindad de discos absorbentes en el origen de esta topología localmente convexa . Si es un espacio vectorial topológico y si este subconjunto absorbente convexo también es un subconjunto acotado de entonces lo mismo será cierto para el disco absorbente si además no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, entonces será una norma y formará lo que es conocido como espacio normado auxiliar . ^[7] Si este espacio normado es un espacio de Banach, entonces se llama disco de Banach . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Propiedades

Propiedades de los conjuntos equilibrados.

Un conjunto balanceado no está vacío si y sólo si contiene el origen. Por definición, un conjunto es absolutamente convexo si y sólo si es convexo y equilibrado. Todo conjunto equilibrado tiene forma de estrella (en 0) y es un conjunto simétrico . Si es un subconjunto balanceado de entonces: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

• para cualquier escalar y si entonces y Por lo tanto, si y son escalares, entonces ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle |c|\leq |d|}$ ${\displaystyle cB\subseteq dB}$ ${\displaystyle cB=|c|B.}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (cB)\cap (dB)=\min _{}\{|c|,|d|\}B.}$
• ${\displaystyle B}$es absorbente en si y sólo si para todo existe algo tal que ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rB.}$
• para cualquier subespacio vectorial unidimensional del conjunto es convexo y equilibrado. Si no está vacío y si es un subespacio vectorial unidimensional, entonces es o está absorbiendo en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\cap Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {span} B}$ ${\displaystyle B\cap Y}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle Y.}$
• para cualquiera que contenga más de un punto, entonces es una vecindad convexa y equilibrada de en el espacio vectorial unidimensional cuando este espacio está dotado de la topología euclidiana de Hausdorff ; y el conjunto es un subconjunto balanceado convexo del espacio vectorial real que contiene el origen. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {span} x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} x}$ ${\displaystyle B\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$

Propiedades de cascos equilibrados y núcleos equilibrados.

Para cualquier colección de subconjuntos de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {balcore} \left(\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {balcore} S.}$$

En cualquier espacio vectorial topológico, la carcasa equilibrada de cualquier vecindad abierta del origen vuelve a estar abierta. Si es un espacio vectorial topológico de Hausdorff y si es un subconjunto compacto de entonces el casco equilibrado de es compacto. ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$

Si un conjunto es cerrado (respectivamente, convexo, absorbente , una vecindad del origen), entonces lo mismo ocurre con su núcleo equilibrado.

Para cualquier subconjunto y cualquier escalar ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,S)=c\operatorname {bal} S=|c|\operatorname {bal} S.}$

Para cualquier escalar Esta igualdad es válida si y sólo si Por lo tanto, si o entonces ${\displaystyle c\neq 0,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S.}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle S\subseteq \{0\}.}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle S=\varnothing }$

$${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S}$$

${\displaystyle c.}$

Nociones relacionadas

Una función en un espacio vectorial real o complejo se dice que es una ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$función equilibrada si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:^[9]

1. ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$siempre que un escalar sea satisfactorio y ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. ${\displaystyle p(ax)\leq p(bx)}$siempre y son escalares satisfactorios y ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |a|\leq |b|}$ ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq t\}}$es un conjunto balanceado para todo real no negativo ${\displaystyle t\geq 0.}$

Si es una función balanceada, entonces para cada escalar y vector , en particular, para cada escalar de longitud unitaria (satisfactorio ) y cada ^[9] El uso muestra que cada función balanceada es una función simétrica . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(ax)=p(|a|x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x\in X;}$ ${\displaystyle p(ux)=p(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle u:=-1}$

Una función de valor real es una seminorma si y solo si es una función sublineal balanceada . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

Ver también

• Conjunto absolutamente convexo  – conjunto convexo y equilibradoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Conjunto absorbente  : conjunto que se puede "inflar" para llegar a cualquier punto.
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  - Generalización de la acotación
• Conjunto convexo  : en geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.
• Dominio estelar  : propiedad de conjuntos de puntos en espacios euclidianos
• Conjunto simétrico  : propiedad de subconjuntos de grupos (matemáticas)
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Referencias

1. Swartz 1992, págs.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs.
3. Jarchow 1981, pág. 34.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
5. Rudin 1991, págs. 10-14.
6. Rudin 1991, pag. 38.
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 115-154.
8. Tréves 2006, pag. 56.
9. Schechter 1996, pág. 313.

1. Suponiendo que todos los espacios vectoriales que contienen un conjunto están sobre el mismo campo, al describir el conjunto como "equilibrado", no es necesario mencionar un espacio vectorial que contenga. Es decir, " está equilibrado" se puede escribir en lugar de " es un subconjunto equilibrado de ". ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
2. tener forma de estrella en el origen significa que y para todos y ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in W}$ ${\displaystyle rw\in W}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle w\in W.}$

Pruebas

1. Que esté equilibrado. Si su interior topológico está vacío, entonces está equilibrado, así que asuma lo contrario y sea un escalar. Si entonces el mapa definido por es un homeomorfismo , lo que implica que porque es abierto, entonces solo queda demostrar que esto es cierto para Sin embargo, puede que no sea cierto, pero cuando sea cierto entonces estará equilibrado. ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto sx}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B=\operatorname {Int} _{X}(sB)\subseteq sB\subseteq B;}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle s\operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle s=0.}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Fuentes

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• Conway, Juan (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Operadores lineales . Matemática pura y aplicada. vol. 1. Nueva York: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261.
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SEÑOR  0248498. OCLC  840293704.
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• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
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