Obstáculo

En matemáticas , un pullback es cualquiera de dos procesos diferentes, pero relacionados: precomposición y producto de fibra. Su dual es un pushforward .

Precomposición

La precomposición con una función probablemente proporciona la noción más elemental de pullback: en términos simples, una función de una variable donde ella misma es una función de otra variable puede escribirse como una función de Este es el pullback de por la función ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y.}$ $${\displaystyle f(y(x))\equiv g(x)}$$

Es un proceso tan fundamental que a menudo se pasa por alto sin mencionarlo.

Sin embargo, no son sólo las funciones las que pueden "retroceder" en este sentido. Los retrocesos pueden aplicarse a muchos otros objetos, como las formas diferenciales y sus clases de cohomología ; véase

• Retroceso (geometría diferencial)
• Retroceso (cohomología)

Producto de fibra

El fibrado de pullback es un ejemplo que une la noción de un pullback como precomposición y la noción de un pullback como un cuadrado cartesiano . En ese ejemplo, el espacio base de un fibrado de fibras se retira, en el sentido de precomposición, arriba. Las fibras luego viajan junto con los puntos en el espacio base en el que están ancladas: el nuevo fibrado de pullback resultante se ve localmente como un producto cartesiano del nuevo espacio base y la fibra (sin cambios). El fibrado de pullback entonces tiene dos proyecciones: una al espacio base, la otra a la fibra; el producto de los dos se vuelve coherente cuando se trata como un producto de fibra .

Generalizaciones y teoría de categorías

La noción de pullback como un producto de fibra conduce en última instancia a la idea muy general de un pullback categórico , pero tiene casos especiales importantes: haces de imagen inversa (y pullback) en geometría algebraica , y fibrados de pullback en topología algebraica y geometría diferencial.

Ver también:

• Retroceso (teoría de categorías)
• Categoría de fibra
• Haz de imágenes invertidas

Análisis funcional

Cuando se estudia el pullback como un operador que actúa sobre espacios funcionales , se convierte en un operador lineal y se lo conoce como operador de transposición o de composición . Su adjunto es el push-forward o, en el contexto del análisis funcional , el operador de transferencia .

Relación

La relación entre las dos nociones de pullback puede quizás ilustrarse mejor con secciones de haces de fibras: si es una sección de un haz de fibras sobre y entonces el pullback (precomposición) de s con es una sección del haz de pullback (fibra-producto) sobre ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle f:M\to N,}$ ${\displaystyle f^{*}s=s\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}E}$ ${\displaystyle M.}$

Véase también

• Functor de imagen inversa  – functor entre categorías de haces con valores de grupo abeliano inducido por una función continua entre espacios topológicos; gavillamiento del prehaz asociando a un conjunto abierto U el límite inductivo de los grupos asociados a superconjuntos abiertos de la imagen de UPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias