Transposición de una función lineal

Mapa inducido entre los espacios duales de los dos espacios vectoriales

En álgebra lineal , la transpuesta de una función lineal entre dos espacios vectoriales, definida sobre el mismo cuerpo , es una función inducida entre los espacios duales de los dos espacios vectoriales. La transpuesta o adjunta algebraica de una función lineal se utiliza a menudo para estudiar la función lineal original. Este concepto se generaliza mediante los funtores adjuntos .

Definición

Sea el espacio dual algebraico de un espacio vectorial Sea y espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Si es una función lineal , entonces su adjunto algebraico o dual , ^[1] es la función definida por La función resultante se llama pullback de por ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}.}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\#}u:Y^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle f\mapsto f\circ u.}$ ${\displaystyle {}^{\#}u(f):=f\circ u}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u.}$

El espacio dual continuo de un espacio vectorial topológico (TVS) se denota por Si y son TVS, entonces una función lineal es débilmente continua si y solo si en cuyo caso denotamos la restricción de a La función se llama transpuesta ^[2] o adjunta algebraica de La siguiente identidad caracteriza la transpuesta de : ^[3] donde es el emparejamiento natural definido por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\#}u\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime },}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{\#}u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle u.}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \left\langle {}^{t}u(f),x\right\rangle =\left\langle f,u(x)\right\rangle \quad {\text{ for all }}f\in Y^{\prime }{\text{ and }}x\in X,}$$ ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle z,h\right\rangle :=z(h).}$

Propiedades

La asignación produce una función lineal inyectiva entre el espacio de operadores lineales de a y el espacio de operadores lineales de a Si entonces el espacio de funciones lineales es un álgebra bajo composición de funciones , y la asignación es entonces un antihomomorfismo de álgebras, lo que significa que En el lenguaje de la teoría de categorías , tomar el dual de espacios vectoriales y la transposición de funciones lineales es, por lo tanto, un funtor contravariante de la categoría de espacios vectoriales sobre sí mismo. Uno puede identificarse con el uso de la inyección natural en el doble dual. ${\displaystyle u\mapsto {}^{t}u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle {}^{t}(uv)={}^{t}v{}^{t}u.}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {}^{t}\left({}^{t}u\right)}$ ${\displaystyle u}$

• Si y son mapas lineales entonces ^[4] ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle v:Y\to Z}$ ${\displaystyle {}^{t}(v\circ u)={}^{t}u\circ {}^{t}v}$
• Si es un isomorfismo del espacio vectorial ( sobreyectivo ), entonces también lo es la transpuesta. ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }.}$
• Si y son espacios normados entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \|x\|=\sup _{\|x^{\prime }\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|\quad {\text{ for each }}x\in X}$$y si el operador lineal está acotado entonces la norma del operador de es igual a la norma de ; es decir ^{[5] [6]} y además, ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \|u\|=\left\|{}^{t}u\right\|,}$$ $${\displaystyle \|u\|=\sup \left\{\left|y^{\prime }(ux)\right|:\|x\|\leq 1,\left\|y^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}x\in X,y^{\prime }\in Y^{\prime }\right\}.}$$

Polares

Supongamos ahora que es un operador lineal débilmente continuo entre espacios vectoriales topológicos y con espacios duales continuos y respectivamente. Sea el sistema dual canónico , definido por donde y se dice que son ortogonales si Para cualquier subconjunto y sea el polar ( absoluto ) de en (resp. de en ). ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime },}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times X^{\prime }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x=0.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\prime }\subseteq X^{\prime },}$ $${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}\qquad {\text{ and }}\qquad S^{\circ }=\left\{x\in X:\sup _{s^{\prime }\in S^{\prime }}\left|s^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

• Si y son conjuntos convexos y débilmente cerrados que contienen el origen, entonces implica ^[7] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$ ${\displaystyle u(A)\subseteq B.}$
• Si y entonces ^[4] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$

$${\displaystyle [u(A)]^{\circ }=\left({}^{t}u\right)^{-1}\left(A^{\circ }\right)}$$y $${\displaystyle u(A)\subseteq B\quad {\text{ implies }}\quad {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }.}$$

• Si y son localmente convexos entonces ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}u=\left(\operatorname {Im} u\right)^{\circ }.}$$

Aniquiladores

Supóngase que y son espacios vectoriales topológicos y es un operador lineal débilmente continuo (por lo que ). Dados los subconjuntos y definamos sus aniquiladores (con respecto al sistema dual canónico) mediante ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle \left({}^{t}u\right)\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle N\subseteq X^{\prime },}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m):m\in M\right\}\end{alignedat}}}$

y

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}N(x):=\left\{n^{\prime }(x):n^{\prime }\in N\right\}\\\end{alignedat}}}$

• El núcleo de es el subespacio de ortogonal a la imagen de : ^[7] ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \ker {}^{t}u=(\operatorname {Im} u)^{\bot }}$$

• La función lineal es inyectiva si y sólo si su imagen es un subconjunto débilmente denso de (es decir, la imagen de es densa en cuando se da la topología débil inducida por ). ^[7] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}u}$
• La transpuesta es continua cuando ambos y están dotados de la topología débil-* (resp. ambos dotados de la topología dual fuerte , ambos dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos compactos, ambos dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos). ^[8] ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$
• ( Suryección de espacios de Fréchet ): Si y son espacios de Fréchet , entonces el operador lineal continuo es sobreyectivo si y solo si (1) la transpuesta es inyectiva , y (2) la imagen de la transpuesta de es un subconjunto débilmente cerrado (es decir, débilmente cerrado*) de ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Duales de espacios cocientes

Sea un subespacio vectorial cerrado de un espacio localmente convexo de Hausdorff y denotemos la función cociente canónica por Supongamos que está dotada de la topología cociente inducida por la función cociente Entonces la transpuesta de la función cociente se valora en y es un isomorfismo TVS sobre Si es un espacio de Banach entonces es también una isometría . ^[6] Usando esta transpuesta, cada funcional lineal continuo en el espacio cociente se identifica canónicamente con una funcional lineal continuo en el aniquilador de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \pi :X\to X/M\quad {\text{ where }}\quad \pi (x):=x+M.}$$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M.}$ ${\displaystyle M^{\bot }}$ $${\displaystyle {}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }\subseteq X^{\prime }}$$ ${\displaystyle M^{\bot }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M.}$

Duales de subespacios vectoriales

Sea un subespacio vectorial cerrado de un espacio localmente convexo de Hausdorff Si y si es una extensión lineal continua de a entonces la asignación induce un isomorfismo de espacio vectorial que es una isometría si es un espacio de Banach. ^[6] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle m^{\prime }\in M^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle m^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m^{\prime }\mapsto x^{\prime }+M^{\bot }}$ $${\displaystyle M^{\prime }\to X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right),}$$ ${\displaystyle X}$

Denotemos la función de inclusión por La transpuesta de la función de inclusión es cuyo núcleo es el aniquilador y que es sobreyectiva por el teorema de Hahn-Banach . Esta función induce un isomorfismo de espacios vectoriales. $${\displaystyle \operatorname {In} :M\to X\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {In} (m):=m\quad {\text{ for all }}m\in M.}$$ $${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :X^{\prime }\to M^{\prime }}$$ ${\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}}$ $${\displaystyle X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right)\to M^{\prime }.}$$

Representación como matriz

Si la función lineal se representa por la matriz con respecto a dos bases de y entonces se representa por la matriz transpuesta con respecto a las bases duales de y de ahí el nombre. Alternativamente, como se representa por actuando hacia la derecha sobre los vectores columna, se representa por la misma matriz actuando hacia la izquierda sobre los vectores fila. Estos puntos de vista están relacionados por el producto interno canónico en el que identifica el espacio de vectores columna con el espacio dual de vectores fila. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle A^{T}}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Relación con el adjunto hermítico

La identidad que caracteriza a la transpuesta, es decir, es formalmente similar a la definición del adjunto hermítico , sin embargo, la transpuesta y el adjunto hermítico no son la misma función. La transpuesta es una función y se define para funciones lineales entre espacios vectoriales cualesquiera y sin requerir ninguna estructura adicional. La función adjunta hermítica y solo se define para funciones lineales entre espacios de Hilbert, ya que se define en términos del producto interno en el espacio de Hilbert. Por lo tanto, la función adjunta hermítica requiere más estructura matemática que la transpuesta. ${\displaystyle \left[u^{*}(f),x\right]=[f,u(x)],}$ ${\displaystyle Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y\to X}$

Sin embargo, la transpuesta se utiliza a menudo en contextos donde los espacios vectoriales están equipados con una forma bilineal no degenerada, como el producto escalar euclidiano u otro producto interno real . En este caso, la forma bilineal no degenerada se utiliza a menudo de forma implícita para mapear entre los espacios vectoriales y sus duales, para expresar el mapa transpuesto como un mapa. Para un espacio de Hilbert complejo, el producto interno es sesquilineal y no bilineal, y estas conversiones cambian la transpuesta en el mapa adjunto. ${\displaystyle Y\to X.}$

Más precisamente: si y son espacios de Hilbert y es una función lineal, entonces la transpuesta de y el adjunto hermítico de los cuales denotaremos respectivamente por y están relacionados. Denotemos por y las isometrías antilineales canónicas de los espacios de Hilbert y sobre sus duales. Entonces es la siguiente composición de funciones: ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle u^{*},}$ ${\displaystyle I:X\to X^{*}}$ ${\displaystyle J:Y\to Y^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle Y{\overset {J}{\longrightarrow }}Y^{*}{\overset {{}^{\text{t}}u}{\longrightarrow }}X^{*}{\overset {I^{-1}}{\longrightarrow }}X}$

Aplicaciones al análisis funcional

Supongamos que y son espacios vectoriales topológicos y que es un mapa lineal, entonces muchas de las propiedades de se reflejan en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}^{t}u.}$

• Si y son conjuntos convexos, débilmente cerrados que contienen el origen, entonces implica ^[4] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$ ${\displaystyle u(A)\subseteq B.}$
• El espacio nulo de es el subespacio de ortogonal al rango de ^[4] ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle u(X)}$ ${\displaystyle u.}$
• ${\displaystyle {}^{t}u}$es inyectiva si y sólo si el rango de es débilmente cerrado. ^[4] ${\displaystyle u(X)}$ ${\displaystyle u}$

Véase también

• Functores adjuntos  : relación entre dos functores que abstraen muchas construcciones comunes
• Operador de composición  – Operador lineal en matemáticas
• Adjunto hermítico  : transposición conjugada de un operador en dimensiones infinitas
• Teorema de representación de Riesz  – Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert
• Espacio dual § Transposición de una función lineal
• Transposición § Transposición de una función lineal

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, pág. 128.
2. Trèves 2006, pág. 240.
3. Halmos (1974, §44)
4. Schaefer y Wolff 1999, págs. 129-130
5. Trèves 2006, págs. 240-252.
6. Rudin 1991, págs. 92-115.
7. Schaefer y Wolff 1999, págs. 128-130.
8. Trèves 2006, págs. 199-200.
9. Trèves 2006, págs. 382–383.
10. Trèves 2006, pág. 488.

Bibliografía

• Halmos, Paul (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Springer, ISBN 0-387-90093-4
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .