En topología algebraica , dada una función continua f : X → Y de espacios topológicos y un anillo R , el retroceso a lo largo de f en la teoría de cohomología es un homomorfismo de R - álgebra que preserva el grado :
del anillo de cohomología de Y con coeficientes en R al de X . El uso del superíndice tiene como objetivo indicar su naturaleza contravariante : invierte la dirección de la función. Por ejemplo, si X , Y son variedades , R el cuerpo de números reales y la cohomología es la cohomología de De Rham , entonces el retroceso es inducido por el retroceso de las formas diferenciales .
La invariancia de homotopía de la cohomología establece que si dos mapas f , g : X → Y son homotópicos entre sí, entonces determinan el mismo retroceso: f * = g * .
Por el contrario, un avance para la cohomología de De Rham, por ejemplo, se da mediante la integración a lo largo de las fibras .
Primero revisamos la definición de la cohomología del dual de un complejo de cadena . Sea R un anillo conmutativo, C un complejo de cadena de R - módulos y G un R -módulo. Así como se hace , se hace
donde Hom es el caso especial del Hom entre un complejo de cadena y un complejo de cocadena, con G visto como un complejo de cocadena concentrado en grado cero. (Para hacer esto riguroso, uno necesita elegir signos de manera similar a los signos en el producto tensorial de complejos ). Por ejemplo, si C es el complejo de cadena singular asociado a un espacio topológico X , entonces esta es la definición de la cohomología singular de X con coeficientes en G .
Ahora, sea f : C → C ' una función de complejos de cadena (por ejemplo, puede ser inducida por una función continua entre espacios topológicos, ver Pushforward (homología) ). Entonces está la función
de complejos de cocadena, lo que a su vez determina el homomorfismo de retroceso
sobre los módulos de cohomología y el anillo de cohomología.
Si C , C ' son complejos de cadenas singulares de espacios X , Y , entonces este es el retroceso para la teoría de cohomología singular.
