Integración a lo largo de las fibras

En geometría diferencial , la integración a lo largo de las fibras de una forma k produce una forma donde m es la dimensión de la fibra, mediante "integración". También se denomina integración de fibra . ${\displaystyle (k-m)}$

Definición

Sea un haz de fibras sobre una variedad con fibras orientadas compactas. Si es una forma k en E , entonces para vectores tangentes w _i 's en b , sea ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle (\pi _{*}\alpha )_{b}(w_{1},\dots ,w_{k-m})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta }$

donde es la forma superior inducida en la fibra ; es decir, una forma dada por: con elevaciones de a , ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\widetilde {w_{i}}}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \beta (v_{1},\dots ,v_{m})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{m},{\widetilde {w_{1}}},\dots ,{\widetilde {w_{k-m}}}).}$

(Para ver si es suave, trabájelo en coordenadas; véase el ejemplo siguiente). ${\displaystyle b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}}$

Entonces es una función lineal . Según la fórmula de Stokes, si las fibras no tienen límites (es decir, ), la función desciende a la cohomología de De Rham : ${\displaystyle \pi _{*}}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(E)\to \Omega ^{k-m}(B)}$ ${\displaystyle [d,\int ]=0}$

${\displaystyle \pi _{*}:\operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{k-m}(B;\mathbb {R} ).}$

Esto también se llama integración de fibra.

Ahora, supongamos que es un haz esférico ; es decir, la fibra típica es una esfera. Entonces hay una secuencia exacta , K el núcleo, que conduce a una secuencia exacta larga, eliminando el coeficiente y utilizando : ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {H} ^{k}(B){\overset {\delta }{\to }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(B){\overset {\pi ^{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(E){\overset {\pi _{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+1}(B)\rightarrow \cdots }$,

llamada secuencia Gysin .

Ejemplo

Sea una proyección obvia. Primero supongamos que con coordenadas y consideremos una forma k : ${\displaystyle \pi :M\times [0,1]\to M}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle \alpha =f\,dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{i_{k}}+g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}.}$

Luego, en cada punto en M ,

${\displaystyle \pi _{*}(\alpha )=\pi _{*}(g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}})=\left(\int _{0}^{1}g(\cdot ,t)\,dt\right)\,{dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}}.}$^[1]

De este cálculo local se deduce fácilmente la siguiente fórmula (ver Poincaré_lemma#Direct_proof ): si es cualquier forma k en ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M\times [0,1],}$

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d\pi _{*}(\alpha )}$

¿Dónde está la restricción de a ? ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M\times \{i\}}$

Como aplicación de esta fórmula, supongamos que θ es una función suave (considerada como homotopía). Entonces, la composición es un operador de homotopía (también llamado homotopía de cadena): ${\displaystyle f:M\times [0,1]\to N}$ ${\displaystyle h=\pi _{*}\circ f^{*}}$

${\displaystyle d\circ h+h\circ d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M),}$

lo que implica inducir la misma función en cohomología, hecho conocido como invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham . Como corolario, por ejemplo, sea U una bola abierta en R ⁿ con centro en el origen y sea . Luego , el hecho conocido como lema de Poincaré . ${\displaystyle f_{1},f_{0}}$ ${\displaystyle f_{t}:U\to U,x\mapsto tx}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )}$

Fórmula de proyección

Dado un fibrado vectorial π  : E → B sobre una variedad, decimos que una forma diferencial α sobre E tiene soporte vertical-compacto si la restricción tiene soporte compacto para cada b en B . Escribimos para el espacio vectorial de formas diferenciales sobre E con soporte vertical-compacto. Si E está orientado como un fibrado vectorial, exactamente como antes, podemos definir la integración a lo largo de la fibra: ${\displaystyle \alpha |_{\pi ^{-1}(b)}}$ ${\displaystyle \Omega _{vc}^{*}(E)}$

${\displaystyle \pi _{*}:\Omega _{vc}^{*}(E)\to \Omega ^{*}(B).}$

Lo siguiente se conoce como fórmula de proyección. ^[2] Creamos un módulo derecho estableciendo . ${\displaystyle \Omega _{vc}^{*}(E)}$ ${\displaystyle \Omega ^{*}(B)}$ ${\displaystyle \alpha \cdot \beta =\alpha \wedge \pi ^{*}\beta }$

Proposición  —  Sea un fibrado vectorial orientado sobre una variedad y la integración a lo largo de la fibra. Entonces ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle \pi _{*}}$

1. ${\displaystyle \pi _{*}}$es -lineal; es decir, para cualquier forma β en B y cualquier forma α en E con soporte vertical-compacto, ${\displaystyle \Omega ^{*}(B)}$

   ${\displaystyle \pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\pi _{*}\alpha \wedge \beta .}$

2. Si B está orientado como una variedad, entonces para cualquier forma α en E con soporte compacto vertical y cualquier forma β en B con soporte compacto,

   ${\displaystyle \int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta }$.

Demostración: 1. Como la afirmación es local, podemos suponer que π es trivial: es decir, es una proyección. Sean las coordenadas en la fibra. Si , entonces, como es un homomorfismo de anillo, ${\displaystyle \pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B}$ ${\displaystyle t_{j}}$ ${\displaystyle \alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta }$ ${\displaystyle \pi ^{*}}$

${\displaystyle \pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1},\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .}$

De manera similar, ambos lados son cero si α no contiene dt . La prueba de 2. es similar. ${\displaystyle \square }$

Véase también

• Mapa de transgresiones

Notas

1. Si entonces, en un punto b de M , identificando 's con sus ascensores, tenemos: ${\displaystyle \alpha =g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{j}}}$

   ${\displaystyle \beta (\partial _{t})=\alpha (\partial _{t},\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=g(b,t)}$

   y entonces

   ${\displaystyle \pi _{*}(\alpha )_{b}(\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=\int _{[0,1]}\beta =\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt.}$

   Por lo tanto, mediante el mismo cálculo, si dt no aparece en α . ${\displaystyle \pi _{*}(\alpha )_{b}=\left(\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt\right)dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}.}$ ${\displaystyle \pi _{*}(\alpha )=0}$
2. Bott y Tu 1982, Proposición 6.15.; tenga en cuenta que utilizan una definición diferente a la utilizada aquí, lo que resulta en un cambio de signo.

Referencias

• Michele Audin , Acciones de toros en variedades simplécticas, Birkhauser, 2004
• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90613-4