Retroceso (geometría diferencial)

Operación matemática

Sea una función suave entre variedades suaves y . Entonces hay una función lineal asociada desde el espacio de 1-formas en (el espacio lineal de secciones del fibrado cotangente ) al espacio de 1-formas en . Esta función lineal se conoce como pullback (por ), y se denota frecuentemente por . De manera más general, cualquier campo tensorial covariante –en particular cualquier forma diferencial– en puede ser pullback a usando . ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$

Cuando el mapa es un difeomorfismo , entonces el pullback, junto con el pushforward , se pueden usar para transformar cualquier campo tensorial de a o viceversa. En particular, si es un difeomorfismo entre subconjuntos abiertos de y , visto como un cambio de coordenadas (quizás entre diferentes gráficos en una variedad ), entonces el pullback y el pushforward describen las propiedades de transformación de los tensores covariantes y contravariantes utilizados en enfoques más tradicionales (dependientes de las coordenadas) para el tema. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

La idea detrás del pullback es esencialmente la noción de precomposición de una función con otra. Sin embargo, al combinar esta idea en varios contextos diferentes, se pueden construir operaciones de pullback bastante elaboradas. Este artículo comienza con las operaciones más simples y luego las utiliza para construir otras más sofisticadas. En términos generales, el mecanismo de pullback (usando precomposición) convierte varias construcciones en geometría diferencial en funtores contravariantes .

Retroceso de funciones suaves y mapas suaves

Sea una función suavizada entre variedades (suaves) y , y supongamos que es una función suavizada en . Entonces, el pullback de por es la función suavizada en definida por . De manera similar, si es una función suavizada en un conjunto abierto en , entonces la misma fórmula define una función suavizada en el conjunto abierto . (En el lenguaje de haces , el pullback define un morfismo del haz de funciones suavizadas en a la imagen directa por del haz de funciones suavizadas en ). ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:N\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$

De manera más general, si es una aplicación suave de a cualquier otra variedad , entonces es una aplicación suave de a . ${\displaystyle f:N\to A}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$

Retirada de paquetes y secciones

Si es un fibrado vectorial (o, de hecho, cualquier fibrado ) sobre y es una función suave, entonces el fibrado de pullback es un fibrado vectorial (o fibrado ) sobre cuya fibra sobre en está dada por . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}}$

En esta situación, la precomposición define una operación de retroceso en secciones de : si es una sección de over , entonces la sección de retroceso es una sección de over . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}s=s\circ \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$

Retroceso de formas multilineales

Sea Φ: V → W una función lineal entre los espacios vectoriales V y W (es decir, Φ es un elemento de L ( V , W ) , también denotado Hom( V , W ) ), y sea

$${\displaystyle F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbf {R} }$$

sea ​​una forma multilineal en W (también conocida como un tensor – que no debe confundirse con un cuerpo tensorial – de rango (0, s ) , donde s es el número de factores de W en el producto). Entonces el pullback Φ ^∗ F de F por Φ es una forma multilineal en V definida por la precomposición de F con Φ. Más precisamente, dados los vectores v ₁ , v ₂ , ..., v _s en V , Φ ^∗ F se define por la fórmula

$${\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),}$$

que es una forma multilineal en V . Por lo tanto, Φ ^∗ es un operador (lineal) de formas multilineales en W a formas multilineales en V . Como caso especial, observe que si F es una forma lineal (o (0,1)-tensor) en W , de modo que F es un elemento de W ^∗ , el espacio dual de W , entonces Φ ^∗ F es un elemento de V ^∗ , y por lo tanto el pullback por Φ define una función lineal entre espacios duales que actúa en la dirección opuesta a la función lineal Φ misma:

$${\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.}$$

Desde un punto de vista tensorial, es natural intentar extender la noción de pullback a tensores de rango arbitrario, es decir, a aplicaciones multilineales en W que toman valores en un producto tensorial de r copias de W , es decir, W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W . Sin embargo, los elementos de dicho producto tensorial no retroceden naturalmente: en su lugar, hay una operación de pushforward desde V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V a W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W dada por

$${\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).}$$

Sin embargo, de esto se sigue que si Φ es invertible, el pullback se puede definir utilizando pushforward por la función inversa Φ ⁻¹ . La combinación de estas dos construcciones produce una operación pushforward, a lo largo de una función lineal invertible, para tensores de cualquier rango ( r , s ) .

Retroceso de vectores cotangentes y 1-formas

Sea una función suave entre variedades suaves . Entonces la diferencial de , escrita , o , es un morfismo de fibrado vectorial (sobre ) del fibrado tangente de al fibrado de pullback . La transpuesta de es, por lo tanto, una función de fibrado de a , el fibrado cotangente de . ${\displaystyle \phi :M\to N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle D\phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle M}$

Ahora supongamos que es una sección de (una 1-forma en ), y precompongamos con para obtener una sección de pullback de . Al aplicar el mapa de fibrado anterior (puntualmente) a esta sección se obtiene el pullback de por , que es la 1-forma en definida por para en y en . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{*}\alpha }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X))}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

Retroceso de campos tensoriales (covariantes)

La construcción de la sección anterior se generaliza inmediatamente a fibrados tensoriales de rango para cualquier número natural : un cuerpo tensorial en una variedad es una sección del cuerpo tensorial en cuya fibra en en es el espacio de formas -multilineales. Al tomar igual a la diferencial (puntual) de una función suave de a , el pullback de formas multilineales se puede combinar con el pullback de secciones para producir un cuerpo tensorial de pullback en . Más precisamente, si es un cuerpo -tensor en , entonces el pullback de por es el cuerpo -tensor en definido por para en y en . ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle F:T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .}$$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle \phi ^{*}S}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\phi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{s}))}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

Retroceso de formas diferenciales

Un caso particularmente importante del pullback de campos tensoriales covariantes es el pullback de formas diferenciales . Si es una forma diferencial , es decir, una sección del fibrado exterior de formas alternas (por fibras) en , entonces el pullback de es la forma diferencial en definida por la misma fórmula que en la sección anterior: para en y en . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}N)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{k}))}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

El retroceso de formas diferenciales tiene dos propiedades que lo hacen extremadamente útil.

1. Es compatible con el producto cuña en el sentido de que para formas diferenciales y en , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\phi ^{*}\alpha \wedge \phi ^{*}\beta .}$$
2. Es compatible con la derivada exterior : si es una forma diferencial en entonces ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \phi ^{*}(d\alpha )=d(\phi ^{*}\alpha ).}$$

Retroceso por difeomorfismos

Cuando la función entre variedades es un difeomorfismo , es decir, tiene una inversa suave, entonces se puede definir un pullback para los campos vectoriales así como para las 1-formas, y por lo tanto, por extensión, para un campo tensorial mixto arbitrario en la variedad. La función lineal ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \Phi =d\phi _{x}\in \operatorname {GL} \left(T_{x}M,T_{\phi (x)}N\right)}$$

se puede invertir para dar $${\displaystyle \Phi ^{-1}=\left({d\phi _{x}}\right)^{-1}\in \operatorname {GL} \left(T_{\phi (x)}N,T_{x}M\right).}$$

Un campo tensorial mixto general se transformará entonces utilizando y de acuerdo con la descomposición del producto tensorial del fibrado tensorial en copias de y . Cuando , entonces el pullback y el pushforward describen las propiedades de transformación de un tensor en la variedad . En términos tradicionales, el pullback describe las propiedades de transformación de los índices covariantes de un tensor ; por el contrario, la transformación de los índices contravariantes está dada por un pushforward . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ ${\displaystyle TN}$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle M=N}$ ${\displaystyle M}$

Retroceso por automorfismos

La construcción de la sección anterior tiene una interpretación de teoría de la representación cuando es un difeomorfismo de una variedad a sí misma. En este caso la derivada es una sección de . Esto induce una acción de pullback sobre secciones de cualquier fibrado asociado al fibrado de marco de por una representación del grupo lineal general (donde ). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (TM,\phi ^{*}TM)}$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$ ${\displaystyle m=\dim M}$

Derivada de retroceso y Lie

Véase derivada de Lie . Aplicando las ideas anteriores al grupo local de 1 parámetro de difeomorfismos definido por un campo vectorial en , y diferenciando con respecto al parámetro, se obtiene una noción de derivada de Lie en cualquier fibrado asociado. ${\displaystyle M}$

Retirada de conexiones (derivadas covariantes)

Si es una conexión (o derivada covariante ) en un fibrado vectorial sobre y es una función suave de a , entonces hay una conexión de pullback en sobre , determinada únicamente por la condición de que ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}\nabla }$ ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \left(\phi ^{*}\nabla \right)_{X}\left(\phi ^{*}s\right)=\phi ^{*}\left(\nabla _{d\phi (X)}s\right).}$$

Véase también

• Empuje hacia adelante (diferencial)
• Paquete de retroceso
• Retroceso (teoría de categorías)

Referencias

• Jost, Jürgen (2002). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. Véanse las secciones 1.5 y 1.6 .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. Véase la sección 1.7 y 2.3 .