En matemáticas , un fibrado en pullback o fibrado inducido [1] [2] [3] es el fibrado de fibras que es inducido por una función de su espacio base. Dado un fibrado de fibras π : E → B y una función continua f : B ′ → B se puede definir un "pullback" de E por f como un fibrado f * E sobre B ′ . La fibra de f * E sobre un punto b ′ en B ′ es justamente la fibra de E sobre f ( b ′) . Por lo tanto f * E es la unión disjunta de todas estas fibras dotadas de una topología adecuada .
Sea π : E → B un fibrado con fibra abstracta F y sea f : B ′ → B una función continua . Defina el fibrado de pullback mediante
y equiparlo con la topología del subespacio y el mapa de proyección π ′ : f * E → B ′ dado por la proyección sobre el primer factor, es decir,
La proyección sobre el segundo factor da un mapa
de tal manera que el siguiente diagrama conmuta :
Si ( U , φ ) es una trivialización local de E entonces ( f −1 U , ψ ) es una trivialización local de f * E donde
De ello se deduce que f * E es un fibrado sobre B ′ con fibra F . El fibrado f * E se denomina pullback de E por f o el fibrado inducido por f . La función h es entonces un morfismo de fibrado que cubre f .
Cualquier sección s de E sobre B induce una sección de f * E , llamada sección de retroceso f * s , simplemente definiendo
Si el fibrado E → B tiene un grupo de estructura G con funciones de transición t ij (con respecto a una familia de trivializaciones locales {( U i , φ i )} ) entonces el fibrado de pullback f * E también tiene un grupo de estructura G . Las funciones de transición en f * E están dadas por
Si E → B es un fibrado vectorial o fibrado principal , entonces también lo es el pullback f * E . En el caso de un fibrado principal, la acción correcta de G sobre f * E está dada por
De ello se deduce que la función h que cubre f es equivariante y, por tanto, define un morfismo de fibrados principales.
En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción del haz de pullback es un ejemplo de pullback categórico más general . Como tal, satisface la propiedad universal correspondiente .
La construcción del fibrado pullback puede llevarse a cabo en subcategorías de la categoría de espacios topológicos , como la categoría de variedades suaves . Esta última construcción es útil en geometría diferencial y topología .
Los haces también pueden describirse por sus haces de secciones . El retroceso de los haces corresponde entonces a la imagen inversa de los haces , que es un funtor contravariante . Un haz, sin embargo, es más naturalmente un objeto covariante , ya que tiene un empuje hacia delante , llamado la imagen directa de un haz . La tensión y la interacción entre haces y haces, o imagen inversa y directa, pueden ser ventajosas en muchas áreas de la geometría. Sin embargo, la imagen directa de un haz de secciones de un haz no es en general el haz de secciones de algún haz de imagen directa, de modo que aunque la noción de un 'empuje hacia delante de un haz' se define en algunos contextos (por ejemplo, el empuje hacia delante por un difeomorfismo), en general se entiende mejor en la categoría de haces, porque los objetos que crea no pueden ser en general haces.
