Función de imagen directa

En matemáticas , el funtor imagen directa es una construcción en la teoría de haces que generaliza el funtor de secciones globales al caso relativo. Es de importancia fundamental en topología y geometría algebraica . Dado un haz F definido en un espacio topológico X y una función continua f : X → Y , podemos definir un nuevo haz f _∗ F en Y , llamado el haz imagen directa o el haz de empuje hacia adelante de F a lo largo de f , tal que las secciones globales de f _∗ F están dadas por las secciones globales de F . Esta asignación da lugar a un funtor f _∗ de la categoría de haces en X a la categoría de haces en Y , que se conoce como el funtor imagen directa. Existen construcciones similares en muchos otros contextos algebraicos y geométricos, incluido el de haces cuasi coherentes y haces étale en un esquema .

Definición

Sea f : X → Y una función continua de espacios topológicos, y sea Sh(–) la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. El funtor de imagen directa

${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)}$

envía un haz F en X a su imagen directa prehaz f _∗ F en Y , definida en subconjuntos abiertos U de Y por

${\displaystyle f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)).}$

Esto resulta ser un haz en Y , y se llama haz de imagen directa o haz de empuje hacia adelante de F a lo largo de f .

Puesto que un morfismo de haces φ: F → G en X da lugar a un morfismo de haces f _∗ (φ): f _∗ ( F ) → f _∗ ( G ) en Y de manera obvia, tenemos efectivamente que f _∗ es un funtor.

Ejemplo

Si Y es un punto, y f : X → Y es la única función continua, entonces Sh( Y ) es la categoría Ab de los grupos abelianos, y el funtor imagen directa f _∗ : Sh( X ) → Ab es igual al funtor de secciones globales .

Variantes

Si se trata de haces de conjuntos en lugar de haces de grupos abelianos, se aplica la misma definición. De manera similar, si f : ( X , O _X ) → ( Y , O _Y ) es un morfismo de espacios anillados , obtenemos un funtor imagen directo f _∗ : Sh( X , O _X ) → Sh( Y , O _Y ) de la categoría de haces de O _X -módulos a la categoría de haces de O _Y -módulos. Además, si f es ahora un morfismo de esquemas cuasi-compactos y cuasi-separados , entonces f _∗ conserva la propiedad de ser cuasi-coherente, por lo que obtenemos el funtor imagen directo entre categorías de haces cuasi-coherentes. ^[1]

Una definición similar se aplica a haces sobre topoi , como haces de étale . Allí, en lugar de la preimagen anterior f ⁻¹ ( U ), se utiliza el producto de fibras de U y X sobre Y .

Propiedades

• La formación de categorías de haces y funtores de imagen directa define por sí misma un funtor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de categorías: dadas las aplicaciones continuas f : X → Y y g : Y → Z , tenemos ( gf ) _∗ = g _∗ f _∗ .
• El funtor de imagen directa es adjunto derecho al funtor de imagen inversa , lo que significa que para cualquier haz continuo y respectivamente en X , Y , existe un isomorfismo natural: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

• Si f es la inclusión de un subespacio cerrado X ⊆ Y entonces f _∗ es exacta . En realidad, en este caso f _∗ es una equivalencia entre la categoría de haces en X y la categoría de haces en Y soportados en X. Esto se deduce del hecho de que el tallo de es si y cero en caso contrario (aquí se utiliza la cerrazón de X en Y ). ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})_{y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{y}}$ ${\displaystyle y\in X}$
• Si f es el morfismo de esquemas afines determinado por un homomorfismo de anillo , entonces el funtor de imagen directa f _∗ en haces cuasi-coherentes se identifica con el funtor de restricción de escalares a lo largo de φ. ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,S\to \mathrm {Spec} \,R}$ ${\displaystyle \phi :R\to S}$

Imágenes directas superiores

El funtor de imagen directa es exacto a la izquierda , pero normalmente no exacto a la derecha. Por lo tanto, se pueden considerar los funtores derivados a la derecha de la imagen directa. Se denominan imágenes directas superiores y se denotan como R ^q f _∗ .

Se puede demostrar que existe una expresión similar a la anterior para imágenes directas superiores: para un haz F en X , el haz R ^q f _∗ ( F ) es el haz asociado al prehaz

${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$,

donde H ^q denota cohomología del haz .

En el contexto de la geometría algebraica y de un morfismo de esquemas cuasi-compactos y cuasi-separados, se tiene asimismo el funtor derivado correcto ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle Rf_{*}:D_{qcoh}(X)\to D_{qcoh}(Y)}$

como un funtor entre las categorías derivadas (ilimitadas) de haces cuasi-coherentes. En esta situación, siempre admite un adjunto derecho . ^[2] Esto está estrechamente relacionado, pero no es generalmente equivalente a, el funtor de imagen inversa excepcional , a menos que también sea propio . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle f^{\times }}$ ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle f}$

Véase también

• Teorema de cambio de base propio

Referencias

1. "Sección 26.24 (01LA): Funcionalidad para módulos cuasi-coherentes: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 20 de septiembre de 2022 .
2. "Sección 48.3 (0A9D): Adjunto derecho de pushforward—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 20 de septiembre de 2022 .

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de haces , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, Sr.  0842190, especialmente la sección II.4