Función sublineal

Tipo de función en álgebra lineal

En álgebra lineal , una función sublineal (o funcional como se usa más a menudo en el análisis funcional ), también llamada cuasi-seminorma o funcional de Banach , en un espacio vectorial es una función de valor real con solo algunas de las propiedades de una seminorma. . A diferencia de las seminormas, una función sublineal no tiene que tener un valor no negativo y tampoco tiene que ser absolutamente homogénea . Las seminormas son en sí mismas abstracciones de la noción más conocida de normas , donde una seminorma tiene todas las propiedades definitorias de una norma, excepto que no es necesario asignar vectores distintos de cero a valores distintos de cero. ${\displaystyle X}$

En el análisis funcional, a veces se utiliza el nombre funcional de Banach , lo que refleja que se utilizan con mayor frecuencia cuando se aplica una formulación general del teorema de Hahn-Banach . La noción de función sublineal fue introducida por Stefan Banach cuando demostró su versión del teorema de Hahn-Banach . ^[1]

También existe una noción diferente en informática , que se describe a continuación, que también recibe el nombre de "función sublineal".

Definiciones

Sea un espacio vectorial sobre un campo donde están los números reales o los números complejos. Una función con valor real se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$función sublineal (o unafuncional sublineal si), y también a veces llamado un ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$cuasi-seminorma o unaFuncional de Banach , si tiene estas dos propiedades:^[1]

1. Homogeneidad positiva / Homogeneidad no negativa : ^[2] para todos los realesy todos ${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$
   • Esta condición se cumple si y sólo si para todo real positivo y todo ${\displaystyle p(rx)\leq rp(x)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. Subaditividad / Desigualdad triangular : ^[2] para todos ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
   • Esta condición de subaditividad requiere tener un valor real. ${\displaystyle p}$

Una función se llama ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$positivo ^[3]ono negativo si espara todos, aunque algunos autores^[4]definen ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X,}$positivo para significar en cambio quesiempre queestas definiciones no sean equivalentes. Es un ${\displaystyle p(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x\neq 0;}$función simétrica sipara todos Toda función simétrica subaditiva es necesariamente no negativa.^{[prueba 1]} Una función sublineal en un espacio vectorial real es simétrica si y solo si es unaseminorma. Una función sublineal en un espacio vectorial real o complejo es una seminorma si y solo si es unafunción balanceadao equivalentemente, si y solo sipara cadaescalarunitario de longitud(satisfactorio) y cada ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |u|=1}$ ${\displaystyle x\in X.}$

El conjunto de todas las funciones sublineales en denotado por se puede ordenar parcialmente declarando si y solo si para todos. Una función sublineal se llama mínima si es un elemento mínimo de bajo este orden. Una función sublineal es mínima si y sólo si es un funcional lineal real . ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\#},}$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Cada norma , seminorma y funcional lineal real es una función sublineal. La función de identidad es un ejemplo de función sublineal (de hecho, es incluso una funcional lineal) que no es ni positiva ni seminorma; lo mismo es cierto para la negación de este mapa ^[5] Más generalmente, para cualquier real el mapa ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto -x.}$ ${\displaystyle a\leq b,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S_{a,b}:\;&&\mathbb {R} &&\;\to \;&\mathbb {R} \\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&{\begin{cases}ax&{\text{ if }}x\leq 0\\bx&{\text{ if }}x\geq 0\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a:=-p(-1)}$ ${\displaystyle b:=p(1)}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle p=S_{a,b}.}$

Si y son funciones sublineales en un espacio vectorial real, entonces también lo es el mapa. Más generalmente, si es una colección no vacía de funcionales sublineales en un espacio vectorial real y si es para todos, entonces es un funcional sublineal en ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle q(x):=\sup\{p(x):p\in {\mathcal {P}}\},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X.}$

Una función que es subaditiva , convexa y satisfactoria también es positivamente homogénea (la última condición es necesaria, como muestra el ejemplo de on ). Si es positivamente homogéneo, es convexo si y sólo si es subaditivo. Por lo tanto, suponiendo que dos propiedades cualesquiera entre la subaditividad, la convexidad y la homogeneidad positiva implican la tercera. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(x):={\sqrt {x^{2}+1}}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$

Propiedades

Toda función sublineal es una función convexa : para ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ subadditivity}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ nonnegative homogeneity}}\\\end{alignedat}}}$$

Si es una función sublineal en un espacio vectorial entonces ^{[prueba 2] [3]} ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),}$$

^[3] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(-x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle 0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.}$$

^[3] ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

Subaditividad de garantías que para todos los vectores ^{[1] [prueba 3]} ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in X,}$

$${\displaystyle p(x)-p(y)~\leq ~p(x-y),}$$

$${\displaystyle -p(x)~\leq ~p(-x),}$$

desigualdad del triángulo inverso ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$

$${\displaystyle |p(x)-p(y)|~\leq ~p(x-y).}$$

Definir entonces la subaditividad también garantiza que para todo el valor de en el conjunto es constante e igual a ^{[prueba 4]} En particular, si es un subespacio vectorial de entonces y la asignación que se denotará por es un sublineal de valor real bien definido función en el espacio cociente que satisface Si es una seminorma entonces es solo la norma canónica habitual en el espacio cociente ${\displaystyle \ker p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~p^{-1}(0),}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}}$ ${\displaystyle p(x).}$ ${\displaystyle \ker p=p^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -\ker p=\ker p}$ ${\displaystyle x+\ker p\mapsto p(x),}$ ${\displaystyle {\hat {p}},}$ ${\displaystyle X\,/\,\ker p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle X\,/\,\ker p.}$

Lema de sublinealidad de Pryce ^[2]  : supongamosque es un funcional sublineal en un espacio vectorialy quees un subconjunto convexo no vacío. Sies un vector yson números reales positivos tales que ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a,c>0}$

$${\displaystyle p(x)+ac~<~\inf _{k\in K}p(x+ak)}$$

entonces para cada real positivo existe alguno tal que ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} \in K}$

$${\displaystyle p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{k\in K}p(x+a\mathbf {z} +bk).}$$

Sumar ambos lados de la hipótesis (donde ) y combinarlo con la conclusión da ${\displaystyle bc}$ ${\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}$ ${\displaystyle p(x+aK)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p(x+ak):k\in K\}}$

$${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~\inf _{}p(x+aK)+bc~\leq ~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{}p(x+a\mathbf {z} +bK)}$$

$${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~p(x+a\mathbf {z} +b\mathbf {z} )}$$

${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$

Seminorma asociada

Si es una función sublineal de valor real en un espacio vectorial real (o si es compleja, entonces cuando se considera como un espacio vectorial real), entonces el mapa define una seminorma en el espacio vectorial real llamada seminorma asociada con ^[3] A. La función sublineal en un espacio vectorial real o complejo es una función simétrica si y solo si donde como antes. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$

De manera más general, si es una función sublineal de valor real en un espacio vectorial (real o complejo) , entonces ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{|u|=1}p(ux)~=~\sup\{p(ux):u{\text{ is a unit scalar }}\}}$$

seminorma ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$

Relación con funcionales lineales

Si es una función sublineal en un espacio vectorial real , entonces las siguientes son equivalentes: ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$es un funcional lineal .
2. para cada ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0.}$
3. para cada ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0.}$
4. ${\displaystyle p}$es una función sublineal mínima.

Si es una función sublineal en un espacio vectorial real , entonces existe una funcional lineal tal que ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p.}$

Si es un espacio vectorial real, es una función lineal y es una función sublineal positiva entonces si y sólo si ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Dominando un funcional lineal

Se dice que una función de valor real definida en un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo está dominada por una función sublineal si para cada cosa que pertenece al dominio de If es una funcional lineal real entonces ^{[6] [1]} está dominada por (es decir, ) si y sólo si ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\leq p}$

$${\displaystyle -p(-x)\leq f(x)\leq p(x)\quad {\text{ for every }}x\in X.}$$

mapa simétrico ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$

Teorema ^[1]  -  Si es una función sublineal en un espacio vectorial real y si entonces existe una funcional lineal que está dominada por (es decir, ) y satisface Además, si es un espacio vectorial topológico y es continuo en el origen, entonces es continuo. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle f(z)=p(z).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

Continuidad

Teorema ^[7]  -  Supongamos que es una función subaditiva (es decir, para todos ). Entonces es continua en el origen si y sólo si es uniformemente continua en Si satisface entonces es continua si y sólo si su valor absoluto es continuo. Si no es negativo entonces es continuo si y sólo si está abierto en ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)<1\}}$ ${\displaystyle X.}$

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre números reales o complejos y que es una función sublineal. Entonces las siguientes son equivalentes: ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle p}$es continuo;
2. ${\displaystyle p}$es continuo en 0;
3. ${\displaystyle p}$es uniformemente continuo en ; ${\displaystyle X}$

y si es positivo, esta lista podrá ampliarse para incluir: ${\displaystyle p}$

4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$está abierto en ${\displaystyle X.}$

Si es un TVS real, es una función lineal y es una función sublineal continua, entonces implica que es continua. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Relación con funciones de Minkowski y conjuntos convexos abiertos

Teorema ^[7]  -  Si es una vecindad abierta convexa del origen en un espacio vectorial topológico , entonces la funcional de Minkowski es una función sublineal continua no negativa tal que si además es un conjunto equilibrado entonces es una seminorma ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle p_{U}:X\to [0,\infty ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=\left\{x\in X:p_{U}(x)<1\right\};}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle X.}$

Relación con conjuntos convexos abiertos

Teorema ^[7]  —  Supongamos que es un espacio vectorial topológico (no necesariamente localmente convexo o de Hausdorff ) sobre números reales o complejos. Entonces los subconjuntos convexos abiertos de son exactamente aquellos que tienen la forma ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$

para alguna y alguna función sublineal continua positiva en ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Prueba

Sea un subconjunto convexo abierto de If entonces sea arbitrario y en caso contrario sea arbitrario. Sea la funcional de Minkowski de la cual es una función sublineal continua porque es convexa, absorbente y abierta ( sin embargo, no es necesariamente una seminorma ya que no se supuso que estuviera equilibrada ). De ello se sigue que ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle 0\in V}$ ${\displaystyle z:=0}$ ${\displaystyle z\in V}$ ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle V-z,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V-z}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X=X-z,}$

$${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}.}$$

Se mostrará lo que completará la prueba. Una de las propiedades conocidas de los funcionales de Minkowski garantiza que desde es convexo y contiene el origen. Así como se desee. ${\displaystyle V=z+\{x\in X:p(x)<1\},}$ ${\textstyle \{x\in X:p(x)<1\}=(0,1)(V-z),}$ ${\displaystyle (0,1)(V-z)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{tx:0<t<1,x\in V-z\}=V-z}$ ${\displaystyle V-z}$ ${\displaystyle V-z=\{x\in X:p(x)<1\},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Operadores

El concepto puede extenderse a operadores homogéneos y subaditivos. Esto requiere sólo que el codominio sea, digamos, un espacio vectorial ordenado para que las condiciones tengan sentido.

Definición de informática

En informática , una función se llama sublineal si o en notación asintótica (obsérvese el pequeño ). Formalmente, si y sólo si, para cualquier dado existe una función tal que para ^[8] Es decir, crece más lentamente que cualquier función lineal. Los dos significados no deben confundirse: mientras que un funcional de Banach es convexo , casi lo contrario ocurre con las funciones de crecimiento sublineal: cada función puede estar acotada superiormente por una función cóncava de crecimiento sublineal. ^[9] ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ ${\displaystyle c>0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(n)<cn}$ ${\displaystyle n\geq N.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$

Ver también

• Norma asimétrica  – Generalización del concepto de norma
• Espacio normado auxiliar
• Teorema de Hahn-Banach  : teorema sobre la extensión de funcionales lineales acotadosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Funcional lineal  : mapa lineal desde un espacio vectorial a su campo de escalaresPages displaying short descriptions of redirect targets
• Funcional de Minkowski  – Función hecha a partir de un conjunto
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• Seminorma  : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad del triángulo y es absolutamente homogéneaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• superaditividad

Notas

Pruebas

1. Dejemos que la desigualdad y la simetría del triángulo implican Sustituir y luego restar de ambos lados demuestra que Por lo tanto, lo que implica ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)=p(x)+p(x)=2p(x).}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 0\leq p(0).}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)\leq 2p(x)}$ ${\displaystyle 0\leq p(x).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Si y entonces la homogeneidad no negativa implica que En consecuencia, lo cual solo es posible si ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r:=0}$ ${\displaystyle p(0)=p(rx)=rp(x)=0p(x)=0.}$ ${\displaystyle 0=p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x),}$ ${\displaystyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. lo que sucede si y solo si Sustituyendo y da lo que implica (no se necesita homogeneidad positiva; la desigualdad triangular es suficiente). ${\displaystyle p(x)=p(y+(x-y))\leq p(y)+p(x-y),}$ ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle y:=-x}$ ${\displaystyle p(x)-p(-x)\leq p(x-(-x))=p(x+x)\leq p(x)+p(x),}$ ${\displaystyle -p(-x)\leq p(x)}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
4. Sea y Queda por demostrar que La desigualdad del triángulo implica Dado que se desea. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k\in p^{-1}(0)\cap (-p^{-1}(0)).}$ ${\displaystyle p(x+k)=p(x).}$ ${\displaystyle p(x+k)\leq p(x)+p(k)=p(x)+0=p(x).}$ ${\displaystyle p(-k)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(x)-p(-k)\leq p(x-(-k))=p(x+k),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 177-220.
2. Schechter 1996, págs. 313–315.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs.
4. Kubrusly 2011, pag. 200.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs.
6. Rudin 1991, págs. 56–62.
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 192-193.
8. Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest y Clifford Stein (2001) [1990]. "3.1". Introducción a los algoritmos (2ª ed.). MIT Press y McGraw-Hill. págs. 47–48. ISBN 0-262-03293-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Ceccherini-Silberstein, Tullio; Salvatori, Maura; Sava-Huss, Ecaterina (29 de junio de 2017). Grupos, gráficos y paseos aleatorios . Cambridge. Lema 5.17. ISBN 9781316604403. OCLC  948670194.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Bibliografía

• Kubrusly, Carlos S. (2011). Los elementos de la teoría del operador (Segunda ed.). Boston: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.