Álgebra de composición

En matemáticas , un álgebra de composición $A$ sobre un cuerpo $K$ es un álgebra no necesariamente asociativa sobre $K$ junto con una forma cuadrática no degenerada $N$ que satisface

N(xy)=N(x)N(y)

para todos $los x$ $e$ y en $A$ .

Un álgebra de composición incluye una involución llamada conjugación : La forma cuadrática se llama norma del álgebra. $x\mapsto x^{*}.$ $Estilo de visualización N(x)=xx^{*}}$

Un álgebra de composición ( A , ∗, N ) es un álgebra de división o un álgebra de división , dependiendo de la existencia de un v distinto de cero en A tal que N ( v ) = 0, llamado vector nulo . ^[1] Cuando x no es un vector nulo, el inverso multiplicativo de x es . Cuando hay un vector nulo distinto de cero, N es una forma cuadrática isótropa y "el álgebra se divide". ${\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$

Teorema de estructura

Toda álgebra de composición unitaria sobre un cuerpo $K$ se puede obtener mediante la aplicación repetida de la construcción de Cayley–Dickson a partir de $K$ (si la característica de $K$ es diferente de $2$ ) o una subálgebra de composición bidimensional (si $char(K) = 2$ ). Las posibles dimensiones de un álgebra de composición son $1$ , $2$ , $4$ y $8$ . ^[2]^[3]^[4]

Las álgebras de composición unidimensionales solo existen cuando $char(K) \neq 2$ .
Las álgebras de composición de dimensión 1 y 2 son conmutativas y asociativas.
Las álgebras de composición de dimensión 2 son extensiones de campo cuadrático de $K$ o isomorfas a $K \oplus K$ .
Las álgebras de composición de dimensión 4 se denominan álgebras de cuaterniones . Son asociativas pero no conmutativas.
Las álgebras de composición de dimensión 8 se denominan álgebras de octoniones . No son asociativas ni conmutativas.

Para mantener una terminología coherente, las álgebras de dimensión 1 se han denominado unarión y las de dimensión 2, binarion . ^[5]

Toda álgebra de composición es un álgebra alternativa . ^[3]

Usando la forma duplicada ( _ : _ ): A × A → K entonces la traza de a está dada por ( a :1) y el conjugado por a * = ( a :1)e – a donde e es el elemento base para 1. Una serie de ejercicios demuestra que un álgebra de composición es siempre un álgebra alternativa. ^[6] $(a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b),$

Instancias y uso

Cuando el campo $K$ se toma como números complejos $C$ y la forma cuadrática $z 2$ , entonces cuatro álgebras de composición sobre $C$ son $C mismo$ , los números bicomplejos , los biquaterniones (isomorfos al anillo matricial complejo 2 × 2 $M(2,$ $C$ $)$ ), y los bioctoniones $C$ $\otimes$ $O$ , que también se llaman octoniones complejos.

El anillo matricial $M(2, C)$ ha sido objeto de interés desde hace mucho tiempo, primero como bicuaterniones por Hamilton (1853), más tarde en forma de matriz isomorfa y, especialmente, como álgebra de Pauli .

La función de elevación al cuadrado $N (x) = x 2$ en el cuerpo de números reales forma el álgebra de composición primordial. Cuando el cuerpo $K$ se toma como números reales $R$ , entonces hay sólo otras seis álgebras de composición reales. ^[3]^{: 166} En dos, cuatro y ocho dimensiones hay tanto un álgebra de división como un álgebra de división :

binarios: números complejos con forma cuadrática

x 2 + y 2

y números complejos divididos con forma cuadrática

x 2 - y 2

cuaterniones y cuaterniones divididos ,

octoniones y octoniones divididos .

Cada álgebra de composición tiene asociada una forma bilineal B( x,y ) construida con la norma N y una identidad de polarización :

B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.

^[7]

Historia

La composición de las sumas de cuadrados fue notada por varios autores tempranos. Diofanto era consciente de la identidad que involucra la suma de dos cuadrados, ahora llamada identidad de Brahmagupta-Fibonacci , que también se articula como una propiedad de las normas euclidianas de los números complejos cuando se multiplican. Leonhard Euler discutió la identidad de cuatro cuadrados en 1748, y llevó a WR Hamilton a construir su álgebra de cuatro dimensiones de cuaterniones . ^[5]^{: 62} En 1848 se describieron las tessarinas dando la primera luz a los números bicomplejos.

Alrededor de 1818, el erudito danés Ferdinand Degen expuso la identidad de ocho cuadrados de Degen , que más tarde se relacionó con las normas de los elementos del álgebra de octoniones :

Históricamente, la primera álgebra no asociativa, los números de Cayley ... surgieron en el contexto del problema de teoría de números de las formas cuadráticas que permiten la composición... esta cuestión de teoría de números se puede transformar en una que concierna a ciertos sistemas algebraicos, las álgebras de composición... ^[5]^{: 61}

En 1919, Leonard Dickson avanzó en el estudio del problema de Hurwitz con un estudio de los esfuerzos realizados hasta la fecha y con la presentación del método de duplicar los cuaterniones para obtener los números de Cayley . Introdujo una nueva unidad imaginaria $e$ y para los cuaterniones $q$ y $Q$ escribe un número de Cayley $q + Q e$ . Denotando el conjugado del cuaternión por $q'$ , el producto de dos números de Cayley es ^[8]

(q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.

El conjugado de un número de Cayley es $q' - Q e$ , y la forma cuadrática es $qq' + QQ'$ , que se obtiene multiplicando el número por su conjugado. El método de duplicación se conoce como construcción de Cayley-Dickson .

En 1923 el caso de las álgebras reales con formas definidas positivas fue delimitado por el teorema de Hurwitz (álgebras de composición) .

En 1931, Max Zorn introdujo una gamma (γ) en la regla de multiplicación en la construcción de Dickson para generar octoniones divididos . ^[9] Adrian Albert también utilizó la gamma en 1942 cuando demostró que la duplicación de Dickson podía aplicarse a cualquier campo con la función de cuadratura para construir álgebras de binones, cuaterniones y octoniones con sus formas cuadráticas. ^[10] Nathan Jacobson describió los automorfismos de las álgebras de composición en 1958. ^[2]

Las álgebras de composición clásicas sobre $R$ y $C$ son álgebras unitarias . Las álgebras de composición sin identidad multiplicativa fueron descubiertas por HP Petersson ( álgebras de Petersson ) y Susumu Okubo ( álgebras de Okubo ) y otros. ^[11]^{: 463–81}

Véase también

Referencias

Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Álgebra de composición asociativa

^ Springer, TA ; FD Veldkamp (2000). Octoniones, álgebras de Jordan y grupos excepcionales . Springer-Verlag . p. 18. ISBN 3-540-66337-1.
^ ab Jacobson, Nathan (1958). "Álgebras de composición y sus automorfismos". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 7 : 55–80. doi :10.1007/bf02854388. Zbl 0083.02702.
^ abc Guy Roos (2008) "Dominios simétricos excepcionales", §1: Álgebras de Cayley, en Simetrías en análisis complejo por Bruce Gilligan y Guy Roos, volumen 468 de Matemáticas contemporáneas , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4459-5
^ Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Introducción a las álgebras no asociativas. Dover Publications . Págs. 72–75. ISBN. 0-486-68813-5.Zbl 0145.25601 .
^ abc Kevin McCrimmon (2004) Una muestra de las álgebras de Jordan , Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924
^ Álgebra de composición asociativa/Paradigma trascendental#Tratamiento categórico en Wikilibros
^ Arthur A. Sagle y Ralph E. Walde (1973) Introducción a los grupos de Lie y las álgebras de Lie , páginas 194−200, Academic Press
^ Dickson, LE (1919), "Sobre los cuaterniones y su generalización y la historia del teorema de los ocho cuadrados", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 20 (3), Anales de Matemáticas: 155–171, doi :10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865
^ Max Zorn (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402
^ Albert, Adrian (1942). "Formas cuadráticas que permiten la composición". Anales de Matemáticas . 43 (1): 161–177. doi :10.2307/1968887. JSTOR 1968887. Zbl 0060.04003.
^ Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev , Markus Rost , Jean-Pierre Tignol (1998) "Composición y trialidad", capítulo 8 en El libro de las involuciones , pp. 451-511, Colloquium Publications v 44, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0904-0

Lectura adicional

Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Análisis de conos simétricos . Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York. pp. 81–86. ISBN 0-19-853477-9.Señor 1446489 .
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN. 0-8218-1095-2.Zbl 1068.11023 .
Harvey, F. Reese (1990). Espinores y calibraciones . Perspectivas en matemáticas. Vol. 9. San Diego: Academic Press . ISBN. 0-12-329650-1.Zbl 0694.53002 .