Álgebra de cuaterniones

Generalización de cuaterniones a otros campos.

En matemáticas , un álgebra de cuaterniones sobre un campo F es un álgebra central simple A sobre F ^[1] [ ^2] que tiene dimensión 4 sobre F. Cada álgebra de cuaterniones se convierte en un álgebra matricial extendiendo escalares (equivalentemente, tensorizando con una extensión de campo ), es decir , para una extensión de campo adecuada K de F , es isomorfa al álgebra matricial 2 × 2 sobre K. ${\displaystyle A\otimes _{F}K}$

La noción de álgebra de cuaterniones puede verse como una generalización de los cuaterniones de Hamilton a un campo base arbitrario. Los cuaterniones de Hamilton son un álgebra de cuaterniones (en el sentido anterior) sobre y, de hecho, el único además del álgebra de matrices reales 2 × 2 , hasta el isomorfismo. Cuando , entonces los bicuaterniones forman el álgebra de cuaterniones sobre F . ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F=\mathbb {C} }$

Estructura

El álgebra de cuaterniones aquí significa algo más general que el álgebra de los cuaterniones de Hamilton . Cuando el campo de coeficientes F no tiene la característica 2, cada álgebra de cuaterniones sobre F puede describirse como un espacio vectorial F de 4 dimensiones con base , con las siguientes reglas de multiplicación: ${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$

${\displaystyle i^{2}=a}$

${\displaystyle j^{2}=b}$

${\displaystyle ij=k}$

${\displaystyle ji=-k}$

donde a y b son elementos distintos de cero de F . De estas reglas obtenemos:

${\displaystyle k^{2}=ijij=-iijj=-ab}$

Los casos clásicos donde son los cuaterniones de Hamilton ( a = b = −1) y los cuaterniones divididos ( a = −1, b = +1). En cuaterniones divididos, y , a diferencia de las ecuaciones de Hamilton. ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle k^{2}=+1}$ ${\displaystyle jk=-i}$

El álgebra definida de esta manera se denota ( a , b ) _F o simplemente ( a , b ). ^[3] Cuando F tiene la característica 2, también es posible una descripción explícita diferente en términos de una base de 4 elementos, pero en cualquier caso la definición de un álgebra de cuaterniones sobre F como un álgebra simple central de 4 dimensiones sobre F se aplica uniformemente en todas las características.

Un álgebra de cuaterniones ( a , b ) _F es un álgebra de división o isomorfa al álgebra matricial de matrices 2 × 2 sobre F ; el último caso se denomina división . ^[4] La forma normal

${\displaystyle N(t+xi+yj+zk)=t^{2}-ax^{2}-by^{2}+abz^{2}\ }$

define una estructura de álgebra de división si y solo si la norma es una forma cuadrática anisotrópica , es decir, cero solo en el elemento cero. La cónica C ( a , b ) definida por

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}\ }$

tiene un punto ( x , y , z ) con coordenadas en F en el caso de división. ^[5]

Solicitud

Las álgebras de cuaterniones se aplican en teoría de números , particularmente a formas cuadráticas . Son estructuras concretas que generan los elementos de orden dos en el grupo de Brauer de F. Para algunos campos, incluidos los campos de números algebraicos , cada elemento de orden 2 en su grupo de Brauer está representado por un álgebra de cuaterniones. Un teorema de Alexander Merkurjev implica que cada elemento de orden 2 en el grupo de Brauer de cualquier campo está representado por un producto tensorial de álgebras de cuaterniones. ^[6] En particular, sobre campos p -ádicos, la construcción de álgebras de cuaterniones puede verse como el símbolo cuadrático de Hilbert de la teoría de campos de clases locales .

Clasificación

Es un teorema de Frobenius que sólo hay dos álgebras de cuaterniones reales: matrices 2 × 2 sobre los reales y los cuaterniones reales de Hamilton.

De manera similar, sobre cualquier campo local F hay exactamente dos álgebras de cuaterniones: las matrices de 2 × 2 sobre F y un álgebra de división. Pero el álgebra de división de cuaterniones sobre un campo local no suele ser el de los cuaterniones de Hamilton sobre el campo. Por ejemplo, sobre los números p -ádicos , los cuaterniones de Hamilton son un álgebra de división solo cuando p es 2. Para p primos impares , los p -ádicos cuaterniones de Hamilton son isomórficos a las matrices de 2 × 2 sobre los p -ádicos. Para ver que los cuaterniones p -ádicos de Hamilton no son un álgebra de división para p primo impar , observe que la congruencia x ² + y ² = −1 mod p se puede resolver y, por lo tanto, mediante el lema de Hensel (aquí es donde se necesita que p sea impar) ecuación

x ² + y ² = −1

se puede resolver en los números p -ádicos. Por lo tanto el cuaternión

xi + yj + k

tiene norma 0 y por lo tanto no tiene inverso multiplicativo .

Una forma de clasificar las clases de isomorfismo del álgebra F de todas las álgebras de cuaterniones para un campo dado F es utilizar la correspondencia uno a uno entre las clases de isomorfismo de las álgebras de cuaterniones sobre F y las clases de isomorfismo de sus formas normativas .

A cada álgebra de cuaterniones A , se puede asociar una forma cuadrática N (llamada forma norma ) en A tal que

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

para todo x e y en A . Resulta que las posibles formas normativas para las álgebras F de cuaterniones son exactamente las formas 2 de Pfister .

Álgebras de cuaterniones sobre números racionales

Las álgebras de cuaterniones sobre números racionales tienen una teoría aritmética similar, pero más complicada, a la de las extensiones cuadráticas de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Sea un álgebra de cuaterniones terminado y sea un lugar de , con terminación (por lo que son los números p -ádicos para algún primo p o los números reales ). Defina , que es un álgebra de cuaterniones sobre . Así que hay dos opciones para : las matrices de 2 × 2 o un álgebra de división . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$

Decimos que está dividido (o no ramificado ) en si es isomorfo a las matrices de 2 × 2 sobre . Decimos que B no está dividido (o ramificado ) en si el álgebra de división de cuaterniones termina . Por ejemplo, los cuaterniones racionales de Hamilton no están divididos en 2 y en y están divididos en todos los primos impares. Las matrices racionales de 2 × 2 están divididas en todos los lugares. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle \infty }$

Un álgebra de cuaterniones sobre los racionales que se divide en es análoga a un campo cuadrático real y uno que no se divide en es análogo a un campo cuadrático imaginario . La analogía proviene de un campo cuadrático que tiene incrustaciones reales cuando el polinomio mínimo de un generador se divide entre los reales y, en caso contrario, tiene incrustaciones no reales. Una ilustración de la fuerza de esta analogía se refiere a los grupos unitarios en un orden de un álgebra de cuaterniones racional: es infinito si el álgebra de cuaterniones se divide en ^{[ cita necesaria ]} y es finito en caso contrario ^{[ cita necesaria ]} , tal como el grupo unitario de un El orden en un anillo cuadrático es infinito en el caso cuadrático real y finito en caso contrario. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

El número de lugares donde se ramifica un álgebra de cuaterniones sobre los racionales es siempre par, y esto es equivalente a la ley de reciprocidad cuadrática sobre los racionales. Además, los lugares donde B se ramifica determinan B hasta el isomorfismo como álgebra. (En otras palabras, las álgebras de cuaterniones no isomorfas sobre los racionales no comparten el mismo conjunto de lugares ramificados). El producto de los números primos en los que B se ramifica se llama discriminante de B.

Ver también

• Álgebra de composición
• álgebra cíclica
• álgebra de octonión
• Orden de los cuaterniones de Hurwitz
• cuaternión de Hurwitz

Notas

1. Ver Perforar. Álgebras asociativas. Saltador. Lema en la página 14.
2. Ver Milies & Sehgal, Introducción a los anillos grupales, ejercicio 17, capítulo 2.
3. Gille y Szamuely (2006) p.2
4. Gille y Szamuely (2006) p.3
5. Gille y Szamuely (2006) p.7
6. Lam (2005) p.139

Referencias

• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras centrales simples y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 101. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . doi :10.1017/CBO9780511607219. ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 67. Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR  2104929. Zbl  1068.11023.

Otras lecturas

• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alejandro ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). El libro de las involuciones . Publicaciones del Coloquio. vol. 44. Con prefacio de J. Tits. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . ISBN 0-8218-0904-0. SEÑOR  1632779. Zbl  0955.16001.
• Maclachlan, Colin; Ried, Alan W. (2003). La aritmética de las 3 variedades hiperbólicas . Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-6720-9. ISBN 0-387-98386-4. SEÑOR  1937957.Consulte el capítulo 2 (Álgebras de cuaterniones I) y el capítulo 7 (Álgebras de cuaterniones II).
• Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Álgebra"  . Encyclopædia Britannica (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.( Ver sección sobre cuaterniones ) .
• Álgebra de cuaterniones en la Enciclopedia de Matemáticas .