Campo local

Campo topológico localmente compacto

En matemáticas , un cuerpo K se denomina cuerpo local no arquimediano si es completo respecto de una métrica inducida por una valoración discreta v y si su cuerpo de residuos k es finito. ^[1] En general, un cuerpo local es un cuerpo topológico localmente compacto respecto de una topología no discreta . ^[2] Los números reales R y los números complejos C (con sus topologías estándar) son cuerpos locales arquimedianos. Dado un cuerpo local, la valoración definida en él puede ser de cualquiera de dos tipos, cada uno de los cuales corresponde a uno de los dos tipos básicos de cuerpos locales: aquellos en los que la valoración es arquimediana y aquellos en los que no lo es. En el primer caso, se denomina cuerpo local arquimediano , en el segundo caso, se lo denomina cuerpo local no arquimediano . ^[3] Los cuerpos locales surgen de forma natural en la teoría de números como completaciones de cuerpos globales . ^[4]

Si bien los campos locales arquimedianos son bastante conocidos en matemáticas desde hace al menos 250 años, los primeros ejemplos de campos locales no arquimedianos, los campos de números p -ádicos para el entero primo positivo p , fueron introducidos por Kurt Hensel a fines del siglo XIX.

Todo campo local es isomorfo (como campo topológico) a uno de los siguientes: ^[3]

• Campos locales arquimedianos ( característica cero): los números reales R , y los números complejos C .
• Cuerpos locales no arquimedianos de característica cero: extensiones finitas de los números p -ádicos Q _p (donde p es cualquier número primo ).
• Campos locales no arquimedianos de característica p (para p cualquier número primo dado): el campo de la serie formal de Laurent F _q (( T )) sobre un campo finito F _q , donde q es una potencia de p .

En particular, de importancia en la teoría de números, las clases de cuerpos locales se muestran como las terminaciones de cuerpos numéricos algebraicos con respecto a su valoración discreta correspondiente a uno de sus ideales máximos . Los artículos de investigación en la teoría de números moderna a menudo consideran una noción más general, que requiere solo que el cuerpo de residuos sea perfecto de característica positiva, no necesariamente finito. ^[5] Este artículo utiliza la primera definición.

Valor absoluto inducido

Dado tal valor absoluto en un campo K , se puede definir la siguiente topología en K : para un número real positivo m , defina el subconjunto B _m de K mediante

${\displaystyle B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.}$

Entonces, los b+B _m forman una base de vecindad de b en K .

Por el contrario, un campo topológico con una topología localmente compacta no discreta tiene un valor absoluto que define su topología. Se puede construir utilizando la medida de Haar del grupo aditivo del campo.

Características básicas de los campos locales no arquimedianos

Para un campo local no arquimediano F (con valor absoluto denotado por |·|), los siguientes objetos son importantes:

• su anillo de números enteros , que es un anillo de valoración discreto , es la bola unitaria cerrada de F , y es compacto ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}}$
• las unidades en su anillo de números enteros que forman un grupo y es la esfera unidad de F ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}$
• el único ideal primo no nulo en su anillo de números enteros que es su bola unidad abierta ; ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \{a\in F:|a|<1\}}$
• un generador de llamado uniformizador de ; ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle F}$
• su campo de residuos que es finito (ya que es compacto y discreto ). ${\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

Cada elemento a distinto de cero de F puede escribirse como a = ϖ ⁿ u con u una unidad y n un entero único. La valoración normalizada de F es la función sobreyectiva v  : F → Z ∪ {∞} definida enviando un a distinto de cero al entero único n tal que a = ϖ ⁿ u con u una unidad y enviando 0 a ∞. Si q es la cardinalidad del cuerpo de residuos, el valor absoluto de F inducido por su estructura como cuerpo local viene dado por: ^[6]

${\displaystyle |a|=q^{-v(a)}.}$

Una definición equivalente y muy importante de un cuerpo local no arquimediano es que es un cuerpo que es completo con respecto a una valoración discreta y cuyo cuerpo de residuos es finito.

Ejemplos

1. Los números p -ádicos : el anillo de números enteros de Q _p es el anillo de números enteros p-ádicos Z p _. Su ideal primo es p Z _p y su cuerpo de residuos es Z / p Z. Cada elemento distinto de cero de Q _p se puede escribir como u p ⁿ donde u es una unidad en Z _p y n es un número entero, entonces v ( u p ⁿ ) = n para la valoración normalizada.
2. La serie formal de Laurent sobre un cuerpo finito : el anillo de números enteros de F _q (( T )) es el anillo de la serie de potencias formal F _q [[ T ]]. Su ideal máximo es ( T ) (es decir, la serie de potencias cuyo término constante es cero) y su cuerpo de residuos es F _q . Su valoración normalizada está relacionada con el grado (inferior) de una serie formal de Laurent de la siguiente manera:

   ${\displaystyle v\left(\sum _{i=-m}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)=-m}$(donde a _{− m} no es cero).

3. La serie formal de Laurent sobre los números complejos no es un cuerpo local. Por ejemplo, su cuerpo de residuos es C [[ T ]]/( T ) = C , que no es finito.

Grupos de unidades superiores

El n ^-ésimo grupo unitario superior de un cuerpo local no arquimediano F es

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}}$

para n  ≥ 1. El grupo U ⁽¹⁾ se denomina grupo de unidades principales y cualquier elemento del mismo se denomina unidad principal . El grupo de unidades completo se denota U ⁽⁰⁾ . ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }}$

Los grupos unitarios superiores forman una filtración decreciente del grupo unitario.

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq \cdots }$

cuyos cocientes están dados por

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

para n  ≥ 1. ^[7] (Aquí " " significa un isomorfismo no canónico). ${\displaystyle \approx }$

Estructura del grupo unitario

El grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un cuerpo local no arquimediano F es isomorfo a

${\displaystyle F^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U^{(1)}}$

donde q es el orden del campo de residuos, y μ _{q −1} es el grupo de ( q −1)ras raíces de la unidad (en F ). Su estructura como grupo abeliano depende de su característica :

• Si F tiene característica positiva p , entonces

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{\mathbf {N} }}$

donde N denota los números naturales ;

• Si F tiene característica cero (es decir, es una extensión finita de Q _p de grado d ), entonces

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /(q-1)\oplus \mathbf {Z} /p^{a}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{d}}$

donde a  ≥ 0 se define de modo que el grupo de raíces p -potenciales de la unidad en F es . ^[8] ${\displaystyle \mu _{p^{a}}}$

Teoría de campos locales

Esta teoría incluye el estudio de los tipos de campos locales, extensiones de campos locales usando el lema de Hensel , extensiones de Galois de campos locales, filtraciones de grupos de Galois de campos locales, el comportamiento del mapa normativo en campos locales, el homomorfismo de reciprocidad local y el teorema de existencia en la teoría de campos de clase local , correspondencia local de Langlands , teoría de Hodge-Tate (también llamada teoría de Hodge p -ádica ), fórmulas explícitas para el símbolo de Hilbert en la teoría de campos de clase local, ver, por ejemplo, ^[9]

Campos locales de dimensiones superiores

A un campo local a veces se le denomina campo local unidimensional .

Un cuerpo local no arquimediano puede verse como el cuerpo de fracciones de la completitud del anillo local de un esquema aritmético unidimensional de rango 1 en su punto no singular.

Para un entero no negativo n , un campo local de dimensión n es un campo de valoración discreto completo cuyo campo de residuos es un campo local de dimensión ( n − 1). ^[5] Dependiendo de la definición de campo local, un campo local de dimensión cero es entonces un campo finito (con la definición utilizada en este artículo), o un campo perfecto de característica positiva.

Desde el punto de vista geométrico, los campos locales n -dimensionales con un último campo de residuos finitos se asocian naturalmente a una bandera completa de subesquemas de un esquema aritmético n -dimensional.

Véase también

• Lema de Hensel
• Grupo de ramificación
• Teoría de campos de clases locales
• Campo local superior

Citas

1. Cassels y Fröhlich 1967, pág. 129, cap. VI, Introducción...
2. Weil 1995, pág. 20.
3. Milne 2020, pág. 127, Observación 7.49.
4. Neukirch 1999, pág. 134, Sec. 5.
5. Fesenko y Vostokov 2002, Def. 1.4.6.
6. Weil 1995, Cap. I, Teorema 6.
7. Neukirch 1999, pág. 122.
8. Neukirch 1999, Teorema II.5.7.
9. Fesenko y Vostokov 2002, capítulos 1 a 4, 7.

Referencias

• Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht , eds. (1967), Teoría algebraica de números , Academic Press , Zbl  0153.07403
• Fesenko, Ivan B. ; Vostokov, Sergei V. (2002), Campos locales y sus extensiones , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 121 (segunda ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3259-2, Sr.  1915966
• Milne, James S. (2020), Teoría algebraica de números (3.08 ed.)
• Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . vol. 322. Traducido por Schappacher, Norbert. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8.MR  1697859.Zbl 0956.11021  .​
• Weil, André (1995), Teoría básica de números , Classics in Mathematics, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 3-540-58655-5
• Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 67 (Primera ed.), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7

Enlaces externos

• "Campo local", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]