Valoración discreta

En matemáticas , una valoración discreta es una valoración entera en un campo K ; es decir, una función : ^[1]

${\displaystyle \nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

satisfaciendo las condiciones:

${\displaystyle \nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)}$

${\displaystyle \nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}}$

${\displaystyle \nu (x)=\infty \iff x=0}$

Para todos . ${\displaystyle x,y\in K}$

Téngase en cuenta que a menudo se excluye explícitamente la valoración trivial que solo tiene en cuenta los valores . ${\displaystyle 0,\infty }$

Un campo con una valoración discreta no trivial se denomina campo de valoración discreta .

Anillos de valoración discretos y valoraciones sobre campos

A cada campo con valoración discreta podemos asociar el subanillo ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

de , que es un anillo de valoración discreto . Por el contrario, la valoración en un anillo de valoración discreto se puede extender de manera única a una valoración discreta en el campo cociente ; el anillo de valoración discreto asociado es simplemente . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K={\text{Quot}}(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

• Para un primo fijo y para cualquier elemento distinto de cero, escriba con tal que no divida a . Entonces, se obtiene una valoración discreta en , llamada valoración p-ádica . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x=p^{j}{\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle j,a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \nu (x)=j}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Dada una superficie de Riemann , podemos considerar el campo de funciones meromórficas . Para un punto fijo , definimos una valoración discreta en de la siguiente manera: si y solo si es el entero más grande tal que la función puede extenderse a una función holomorfa en . Esto significa: si entonces tiene una raíz de orden en el punto ; si entonces tiene un polo de orden en . De manera similar, también se define una valoración discreta en el campo de funciones de una curva algebraica para cada punto regular en la curva. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K=M(X)}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \nu (f)=j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f(z)/(z-p)^{j}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu (f)=j>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu (f)=j<0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -j}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Se pueden encontrar más ejemplos en el artículo sobre anillos de valoración discretos .

Citas

1. Cassels y Fröhlich 1967, pág. 2.

Referencias

• Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht , eds. (1967), Teoría algebraica de números , Academic Press , Zbl  0153.07403
• Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Campos locales y sus extensiones , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 121 (segunda ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3259-2, Sr.  1915966