bicuaternión

Quaternions with complex number coefficients

En álgebra abstracta , los bicuaterniones son los números w + x i + y j + z k , donde w , x , y y z son números complejos , o variantes de los mismos, y los elementos de { 1 , i , j , k } multiplicar como en el grupo de cuaterniones y conmutar con sus coeficientes. Existen tres tipos de bicuaterniones correspondientes a los números complejos y sus variaciones:

• Bicuaterniones cuando los coeficientes son números complejos .
• Bicuaterniones divididos cuando los coeficientes son números complejos divididos .
• Cuaterniones duales cuando los coeficientes son números duales .

Este artículo trata sobre los bicuaterniones ordinarios nombrados por William Rowan Hamilton en 1844. ^[1] Algunos de los defensores más destacados de estos bicuaterniones incluyen a Alexander Macfarlane , Arthur W. Conway , Ludwik Silberstein y Cornelius Lanczos . Como se desarrolla a continuación, la cuasiesfera unitaria de los bicuaterniones proporciona una representación del grupo de Lorentz , que es la base de la relatividad especial .

El álgebra de bicuaterniones puede considerarse como un producto tensor C ⊗ _R H , donde C es el cuerpo de números complejos y H es el álgebra de división de cuaterniones (reales) . En otras palabras, los bicuaterniones son sólo la complejización de los cuaterniones. Vistos como un álgebra compleja, los bicuaterniones son isomorfos al álgebra de matrices complejas 2 × 2 M ₂ ( C ) . También son isomorfos a varias álgebras de Clifford , incluida C ⊗ _R H = Cl^[0]
₃( C ) = Cl ₂ ( C ) = Cl _1,2 ( R ) , ^[2] el álgebra de Pauli Cl _3,0 ( R ) , ^{[3] [4]} y la parte par Cl^[0]
_1,3( R ) = Cl^[0]
_3,1( R ) del álgebra espacio-temporal . ^[5]

A continuación se muestra una tabla de multiplicación de Biquaternion ^{[6] :}

Definición

Sea { 1 , i , j , k } la base de los cuaterniones (reales) H , y sean u , v , w , x números complejos, entonces

${\displaystyle q=u\mathbf {1} +v\mathbf {i} +w\mathbf {j} +x\mathbf {k} }$

es un bicuaternión . ^[7] Para distinguir las raíces cuadradas de menos uno en los bicuaterniones, Hamilton ^{[8] [9]} y Arthur W. Conway utilizaron la convención de representar la raíz cuadrada de menos uno en el campo escalar C por h para evitar confusión con la i. en el grupo de los cuaterniones . Se supone la conmutatividad del campo escalar con el grupo de cuaterniones:

${\displaystyle h\mathbf {i} =\mathbf {i} h,\ \ h\mathbf {j} =\mathbf {j} h,\ \ h\mathbf {k} =\mathbf {k} h.}$

Hamilton introdujo los términos bivector , biconjugado , bitensor y biversor para ampliar las nociones utilizadas con cuaterniones reales H.

La exposición principal de Hamilton sobre los bicuaterniones se produjo en 1853 en sus Lectures on Quaternions . Las ediciones de Elements of Quaternions , en 1866 por William Edwin Hamilton (hijo de Rowan), y en 1899, 1901 por Charles Jasper Joly , redujeron la cobertura de los bicuaterniones en favor de los cuaterniones reales.

Considerada con las operaciones de suma por componentes y multiplicación según el grupo de cuaterniones, esta colección forma un álgebra de 4 dimensiones sobre los números complejos C. El álgebra de bicuaterniones es asociativa , pero no conmutativa . Un bicuaternión es una unidad o un divisor de cero . El álgebra de bicuaterniones forma un álgebra de composición y puede construirse a partir de números bicomplejos . Ver § Como álgebra de composición a continuación.

Lugar en la teoría de los anillos.

Representación lineal

Tenga en cuenta que el producto matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}}$.

Como h es la unidad imaginaria , cada una de estas tres matrices tiene un cuadrado igual al negativo de la matriz identidad . Cuando este producto matricial se interpreta como i j = k , entonces se obtiene un subgrupo de matrices que es isomorfo al grupo del cuaternión . Como consecuencia,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u+hv&w+hx\\-w+hx&u-hv\end{pmatrix}}}$

representa bicuaternión q = u 1 + v i + w j + x k . Dada cualquier matriz compleja de 2 × 2 , existen valores complejos u , v , w y x para expresarlos de esta forma, de modo que el anillo de la matriz M(2, C ) sea isomorfo ^[10] al anillo bicuaternión .

subálgebras

Considerando el álgebra del bicuaternión sobre el campo escalar de números reales R , el conjunto

${\displaystyle \{\mathbf {1} ,h,\mathbf {i} ,h\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,h\mathbf {j} ,\mathbf {k} ,h\mathbf {k} \}}$

forma una base por lo que el álgebra tiene ocho dimensiones reales . Los cuadrados de los elementos h i , h j y h k son todos positivos, por ejemplo, ( h i ) ² = h ² i ² = (− 1 )(− 1 ) = + 1 .

La subálgebra dada por

${\displaystyle \{x+y(h\mathbf {i} ):x,y\in \mathbb {R} \}}$

es un anillo isomorfo al plano de números complejos divididos , que tiene una estructura algebraica construida sobre la hipérbola unitaria . Los elementos h j y h k también determinan dichas subálgebras.

Además,

${\displaystyle \{x+y\mathbf {j} :x,y\in \mathbb {C} \}}$

es una subálgebra isomorfa a los números bicomplejos .

Una tercera subálgebra llamada cocuaterniones es generada por h j y h k . Se ve que ( h j )( h k ) = (− 1 ) i , y que el cuadrado de este elemento es − 1 . Estos elementos generan el grupo diédrico del cuadrado. El subespacio lineal con base { 1 , i , h j , h k } por tanto está cerrado bajo la multiplicación y forma el álgebra de cocuaterniones.

En el contexto de la mecánica cuántica y el álgebra de espinores , los bicuaterniones h i , h j y h k (o sus negativos), vistos en la representación M ₂ ( C ) , se denominan matrices de Pauli .

Propiedades algebraicas

Los bicuaterniones tienen dos conjugaciones :

• el biconjugado o biscalar menos bivector es y ${\displaystyle q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,}$
• la conjugación compleja de coeficientes bicuaternión ${\displaystyle {\bar {q}}={\bar {w}}+{\bar {x}}\mathbf {i} +{\bar {y}}\mathbf {j} +{\bar {z}}\mathbf {k} }$

donde cuando ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bh}$ ${\displaystyle z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .}$

Tenga en cuenta que ${\displaystyle (pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad {\overline {pq}}={\bar {p}}{\bar {q}},\quad {\overline {q^{*}}}={\bar {q}}^{*}.}$

Claramente, si entonces q es divisor de cero. De lo contrario es un número complejo. Además, se puede comprobar fácilmente. Esto permite definir la inversa mediante ${\displaystyle qq^{*}=0}$ ${\displaystyle \lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }}$ ${\displaystyle qq^{*}=q^{*}q}$

• ${\displaystyle q^{-1}=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-1}}$, si ${\displaystyle qq^{*}\neq 0.}$

Relación con las transformaciones de Lorentz

Consideremos ahora el subespacio lineal ^[11]

${\displaystyle M=\lbrace q\colon q^{*}={\bar {q}}\rbrace =\lbrace t+x(h\mathbf {i} )+y(h\mathbf {j} )+z(h\mathbf {k} )\colon t,x,y,z\in \mathbb {R} \rbrace .}$

M no es una subálgebra ya que no está cerrada bajo productos ; por ejemplo, de hecho, M no puede formar un álgebra si ni siquiera es un magma . ${\displaystyle (h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.}$

Proposición: Si q está en M , entonces ${\displaystyle qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Prueba: De las definiciones,

${\displaystyle {\begin{aligned}qq^{*}&=(t+xh\mathbf {i} +yh\mathbf {j} +zh\mathbf {k} )(t-xh\mathbf {i} -yh\mathbf {j} -zh\mathbf {k} )\\&=t^{2}-x^{2}(h\mathbf {i} )^{2}-y^{2}(h\mathbf {j} )^{2}-z^{2}(h\mathbf {k} )^{2}\\&=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$

Definición: Sea el bicuaternión g satisfacer. Entonces la transformación de Lorentz asociada con g viene dada por ${\displaystyle gg^{*}=1.}$

${\displaystyle T(q)=g^{*}q{\bar {g}}.}$

Proposición: Si q está en M , entonces T ( q ) también está en M .

Prueba: ${\displaystyle (g^{*}q{\bar {g}})^{*}={\bar {g}}^{*}q^{*}g={\overline {g^{*}}}{\bar {q}}g={\overline {g^{*}q{\bar {g}})}}.}$

Proposición: ${\displaystyle \quad T(q)(T(q))^{*}=qq^{*}}$

Prueba: Nótese primero que gg * = 1 implica que la suma de los cuadrados de sus cuatro componentes complejos es uno. Entonces la suma de los cuadrados de los complejos conjugados de estos componentes también es uno. Por lo tanto, ahora ${\displaystyle {\bar {g}}({\bar {g}})^{*}=1.}$

${\displaystyle (g^{*}q{\bar {g}})(g^{*}q{\bar {g}})^{*}=g^{*}q({\bar {g}}{\bar {g}}^{*})q^{*}g=g^{*}qq^{*}g=qq^{*}.}$

Terminología asociada

Como los bicuaterniones han sido un elemento fijo del álgebra lineal desde los inicios de la física matemática , existe una variedad de conceptos que se ilustran o representan mediante el álgebra de bicuaterniones. El grupo de transformación tiene dos partes, y la primera parte se caracteriza por  ; entonces la transformación de Lorentz correspondiente a g viene dada por ya que dicha transformación es una rotación por multiplicación de cuaterniones , y el conjunto de ellos es SO(3) Pero este subgrupo de G no es un subgrupo normal , por lo que no se puede formar ningún grupo cociente . ${\displaystyle G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace }$ ${\displaystyle G\cap H}$ ${\displaystyle G\cap M.}$ ${\displaystyle g={\bar {g}}}$ ${\displaystyle T(q)=g^{-1}qg}$ ${\displaystyle g^{*}=g^{-1}.}$ ${\displaystyle \cong G\cap H.}$

Para verlo es necesario mostrar alguna estructura subálgebra en los bicuaterniones. Sea r un elemento de la esfera de raíces cuadradas de menos uno en la subálgebra del cuaternión real H. Entonces ( hr ) ² = +1 y el plano de bicuaterniones dado por es una subálgebra conmutativa isomorfa al plano de números complejos divididos . Así como el plano complejo ordinario tiene un círculo unitario, tiene una hipérbola unitaria dada por ${\displaystyle G\cap M}$ ${\displaystyle D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace }$ ${\displaystyle D_{r}}$

${\displaystyle \exp(ahr)=\cosh(a)+hr\ \sinh(a),\quad a\in R.}$

Así como el círculo unitario gira mediante la multiplicación de uno de sus elementos, la hipérbola gira porque de ahí que estos operadores algebraicos en la hipérbola se llamen versores hiperbólicos . El círculo unitario en C y la hipérbola unitaria en D _r son ejemplos de grupos de un parámetro . Por cada raíz cuadrada r de menos uno en H , hay un grupo de un parámetro en los bicuaterniones dado por ${\displaystyle \exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).}$ ${\displaystyle G\cap D_{r}.}$

El espacio de los bicuaterniones tiene una topología natural a través de la métrica euclidiana en el espacio 8 . Con respecto a esta topología, G es un grupo topológico . Además, tiene una estructura analítica que lo convierte en un grupo de Lie de seis parámetros . Considere el subespacio de bivectores . Luego, el mapa exponencial toma los vectores reales y los vectores h . Cuando está equipado con el conmutador , A forma el álgebra de Lie de G. Así, este estudio de un espacio de seis dimensiones sirve para introducir los conceptos generales de la teoría de Lie . Cuando se ve en la representación matricial, G se llama grupo lineal especial SL(2,C) en M(2, C ) . ${\displaystyle A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace }$ ${\displaystyle \exp :A\to G}$ ${\displaystyle G\cap H}$ ${\displaystyle G\cap M.}$

Muchos de los conceptos de la relatividad especial se ilustran a través de las estructuras de bicuaterniones presentadas. El subespacio M corresponde al espacio de Minkowski , donde las cuatro coordenadas dan las ubicaciones temporales y espaciales de los eventos en un sistema de referencia en reposo . Cualquier versor hiperbólico exp( ahr ) corresponde a una velocidad en la dirección r de velocidad c tanh a donde c es la velocidad de la luz . El marco de referencia inercial de esta velocidad se puede convertir en el marco de reposo aplicando el impulso de Lorentz T dado por g = exp(0,5 ahr ) desde entonces, de modo que, naturalmente, el hiperboloide que representa el rango de velocidades para el movimiento subluminal, es de interés físico. Ha habido un trabajo considerable que asocia este "espacio de velocidades" con el modelo hiperboloide de la geometría hiperbólica . En relatividad especial, el parámetro del ángulo hiperbólico de un versor hiperbólico se llama rapidez . Así vemos que el grupo bicuaternión G proporciona una representación de grupo para el grupo de Lorentz . ^[12] ${\displaystyle g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}}$ ${\displaystyle T(\exp(ahr))=1.}$ ${\displaystyle G\cap M,}$

Después de la introducción de la teoría del espinor , particularmente en manos de Wolfgang Pauli y Élie Cartan , la representación bicuaternión del grupo de Lorentz fue reemplazada. Los nuevos métodos se basaron en vectores base en el conjunto.

${\displaystyle \{q\ :\ qq^{*}=0\}=\left\{w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \ :\ w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\right\}}$

que se llama cono de luz complejo . La representación anterior del grupo de Lorentz coincide con lo que los físicos llaman cuatro vectores . Más allá de los cuatro vectores, el modelo estándar de física de partículas también incluye otras representaciones de Lorentz, conocidas como escalares , y la representación (1, 0) ⊕ (0, 1) asociada, por ejemplo, al tensor de campo electromagnético . Además, la física de partículas hace uso de las representaciones SL(2, C ) (o representaciones proyectivas del grupo de Lorentz) conocidas como espinores de Weyl zurdos y diestros , espinores de Majorana y espinores de Dirac . Se sabe que cada una de estas siete representaciones puede construirse como subespacios invariantes dentro de los bicuaterniones. ^[13]

Como álgebra de composición

Aunque WR Hamilton introdujo los bicuaterniones en el siglo XIX, la delimitación de su estructura matemática como un tipo especial de álgebra sobre un campo se logró en el siglo XX: los bicuaterniones pueden generarse a partir de números bicomplejos de la misma manera que Adrian Albert los generó . los cuaterniones reales a partir de números complejos en la llamada construcción de Cayley-Dickson . En esta construcción, un número bicomplejo ( w , z ) tiene conjugado ( w , z )* = ( w , – z ) .

El bicuaternión es entonces un par de números bicomplejos ( a , b ) , donde el producto con un segundo bicuaternión ( c , d ) es

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).}$

Si entonces el biconjugado ${\displaystyle a=(u,v),b=(w,z),}$ ${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).}$

Cuando ( a , b )* se escribe como un 4-vector de números complejos ordinarios,

${\displaystyle (u,v,w,z)^{*}=(u,-v,-w,-z).}$

Los bicuaterniones forman un ejemplo de álgebra de cuaterniones y tienen norma

${\displaystyle N(u,v,w,z)=u^{2}+v^{2}+w^{2}+z^{2}.}$

Dos bicuaterniones pyq satisfacen N ( pq ) = N ( p ) N ( q ) , lo que indica que N es una forma cuadrática que admite composición, de modo que los bicuaterniones forman un álgebra de composición .

Ver también

• Álgebra de bicuaterniones
• Número hipercomplejo
• Análisis hipercomplejo
• Joaquín Lambek
• El uso de MacFarlane
• anillo cociente

Citas

1. Hamilton 1850.
2. Garling 2011, págs.112, 113.
3. Garling 2011, pag. 112.
4. Francisco y Kosowsky 2005, pag. 404.
5. Francisco y Kosowsky 2005, pag. 386.
6. https://www.naturalspublishing.com/files/published/e71f3zs34zg62q.pdf
7. Hamilton 1853, pag. 639.
8. Hamilton 1853, pag. 730.
9. Hamilton 1866, pag. 289.
10. Dickson 1914, pag. 13.
11. Lanczos 1949, consulte la ecuación 94.16, página 305. La siguiente álgebra se compara con Lanczos, excepto que usa ~ para indicar conjugación de cuaterniones y * para conjugación compleja.
12. Hermann 1974, capítulo 6.4 Cuaterniones complejos y ecuaciones de Maxwell.
13. Furey 2012.

Referencias

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