número bicomplejo

Álgebra conmutativa y asociativa de dos dimensiones complejas.

En álgebra abstracta , un número bicomplejo es un par ( w , z ) de números complejos construidos mediante el proceso de Cayley-Dickson que define el conjugado bicomplejo y el producto de dos números bicomplejos como ${\displaystyle (w,z)^{*}=(w,-z)}$

${\displaystyle (u,v)(w,z)=(uw-vz,uz+vw).}$

Entonces la norma bicompleja viene dada por

${\displaystyle (w,z)^{*}(w,z)=(w,-z)(w,z)=(w^{2}+z^{2},0),}$una forma cuadrática en el primer componente.

Los números bicomplejos forman un álgebra conmutativa sobre C de dimensión dos que es isomorfa a la suma directa de álgebras C ⊕ C .

El producto de dos números bicomplejos produce un valor de forma cuadrática que es el producto de las formas cuadráticas individuales de los números: una verificación de esta propiedad de la forma cuadrática de un producto se refiere a la identidad Brahmagupta-Fibonacci . Esta propiedad de la forma cuadrática de un número bicomplejo indica que estos números forman un álgebra de composición . De hecho, los números bicomplejos surgen en el nivel binarion de la construcción de Cayley-Dickson basada en la norma z ² . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

El número bicomplejo general se puede representar mediante la matriz , que tiene determinante . Por tanto, la propiedad componente de la forma cuadrática coincide con la propiedad componente del determinante. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&iz\\iz&w\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle w^{2}+z^{2}}$

Los números bicomplejos presentan dos unidades imaginarias distintas . Al ser la multiplicación asociativa y conmutativa, el producto de estas unidades imaginarias debe tener uno positivo por su cuadrado. Un elemento como este producto se ha denominado unidad hiperbólica . ^[1]

Como un álgebra real

Los números bicomplejos forman un álgebra sobre C de dimensión dos, y dado que C es de dimensión dos sobre R , los números bicomplejos son un álgebra sobre R de dimensión cuatro. De hecho, el álgebra real es más antigua que la compleja; se denominó tesarinos en 1848, mientras que el álgebra compleja no se introdujo hasta 1892.

Una base para el álgebra de 4 tesarinos sobre R especifica z = 1 y z = − i , dando las matrices , que se multiplican según la tabla dada. Cuando la matriz identidad se identifica con 1, entonces un tesarino t = w + zj . ${\displaystyle k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \ j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Historia

El tema de las unidades imaginarias múltiples se examinó en la década de 1840. En una larga serie "Sobre los cuaterniones, o sobre un nuevo sistema de imaginarios en álgebra" que comenzó en 1844 en Philosophical Magazine , William Rowan Hamilton comunicó un sistema que multiplica según el grupo de los cuaterniones . En 1848, Thomas Kirkman informó sobre su correspondencia con Arthur Cayley sobre ecuaciones sobre las unidades que determinan un sistema de números hipercomplejos. ^[3]

tesarinos

En 1848 James Cockle presentó los tesarinos en una serie de artículos en Philosophical Magazine . ^[4]

Una tesarina es un número hipercomplejo de la forma

${\displaystyle t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathbb {R} }$

donde Cockle usó tesarinos para aislar la serie de cosenos hiperbólicos y la serie de senos hiperbólicos en la serie exponencial. También mostró cómo surgen divisores cero en los tesarinos, lo que lo inspiró a utilizar el término "imposibles". Los tesarinos ahora son más conocidos por su subálgebra de tesarinos reales , también llamados números complejos divididos , que expresan la parametrización de la hipérbola unitaria . ${\displaystyle ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.}$ ${\displaystyle t=w+yj\ }$

Números bicomplejos

En un artículo de Mathematische Annalen de 1892, Corrado Segre introdujo los números bicomplejos , ^[5] que forman un álgebra isomorfa a los tesarinos. ^[6]

Segre leyó las Lectures on Quaternions (1853) de WR Hamilton y las obras de WK Clifford . Segre utilizó algo de la notación de Hamilton para desarrollar su sistema de números bicomplejos : Sean h e i elementos que cuadran a −1 y que conmutan. Entonces, suponiendo asociatividad de la multiplicación, el producto hi debe elevarse al cuadrado +1. El álgebra construida sobre la base { 1, h , i , hi } es entonces la misma que los tesarinos de James Cockle, representados utilizando una base diferente. Segre señaló que elementos

${\displaystyle g=(1-hi)/2,\quad g'=(1+hi)/2}$   son idempotentes .

Cuando los números bicomplejos se expresan en términos de la base { 1, h , i , − hi } , su equivalencia con los tesarinos es evidente, particularmente si los vectores en esta base se reordenan como { 1, i , − hi , h } . Observar la representación lineal de estas álgebras isomorfas muestra una concordancia en la cuarta dimensión cuando se usa el signo negativo; Considere el producto de muestra dado arriba bajo representación lineal.

bibinarios

La teoría moderna de las álgebras de composición posiciona el álgebra como una construcción binaria basada en otra construcción binaria, de ahí los bibinarios . ^[7] El nivel de unarión en el proceso de Cayley-Dickson debe ser un campo, y a partir del campo real, los habituales números complejos surgen como división binaria, otro campo. De este modo, el proceso puede comenzar de nuevo para formar bibinarios. Kevin McCrimmon señaló la simplificación de la nomenclatura proporcionada por el término binarion en su texto A Taste of Jordan Algebras (2004).

Raíces polinómicas

Escribe ² C = C ⊕ C y representa sus elementos mediante pares ordenados ( u , v ) de números complejos. Dado que el álgebra de tesarinos T es isomorfo a ² C , los anillos de los polinomios T [X] y ² C [ X ] también son isomorfos, sin embargo, los polinomios en este último álgebra se dividen:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k},b_{k})(u,v)^{k}\quad =\quad \left({\sum _{k=1}^{n}a_{i}u^{k}},\quad \sum _{k=1}^{n}b_{k}v^{k}\right).}$

En consecuencia, cuando se establece una ecuación polinómica en esta álgebra, se reduce a dos ecuaciones polinómicas en C. Si el grado es n , entonces hay n raíces para cada ecuación: cualquier par ordenado de este conjunto de raíces satisfará la ecuación original en ² C [ X ], por lo que tiene n ² raíces. ^[8] ${\displaystyle f(u,v)=(0,0)}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n},\ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}.}$ ${\displaystyle (u_{i},v_{j})\!}$

Debido al isomorfismo con T [ X ], existe una correspondencia de polinomios y una correspondencia de sus raíces. Por tanto, los polinomios tesarinos de grado n también tienen n ² raíces, contando la multiplicidad de raíces .

Aplicaciones

El número bicomplejo aparece como el centro de CAPS ( álgebra compleja del espacio físico ), que es el álgebra de Clifford . ^[9] Dado que el espacio lineal de CAPS puede verse como el espacio de cuatro dimensiones { } sobre { }. ${\displaystyle Cl(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},e_{3}}$ ${\displaystyle 1,i,k,j}$

Los tesarinos se han aplicado en el procesamiento de señales digitales . ^{[10] [11] [12]}

Los números bicomplejos se emplean en mecánica de fluidos. El uso del álgebra bicompleja concilia dos aplicaciones distintas de números complejos: la representación de flujos potenciales bidimensionales en el plano complejo y la función exponencial compleja . ^[13]

Referencias

1. ME Luna-Elizarrarás, M. Shapiro, DC Struppa (2013) Funciones holomorfas bicomplejas: álgebra, geometría y análisis de números bicomplejos , página 6, Birkhauser ISBN  978-3-319-24868-4
2. http://3dfractals.com/docs/Article01_bicomplex.pdf
3. Thomas Kirkman (1848) "Sobre pluquaterniones y productos homoides de n cuadrados", Revista filosófica de Londres y Edimburgo 1848, p. 447 Enlace a libros de Google
4. James Cockle en Revista filosófica Londres-Dublín-Edimburgo , serie 3
   • 1848 Sobre ciertas funciones que se asemejan a cuaterniones y sobre un nuevo imaginario en álgebra, 33:435–9.
   • 1849 Sobre un nuevo imaginario en álgebra 34:37–47.
   • 1849 Sobre los símbolos del álgebra y la teoría de los tesarinos 34:406–10.
   • 1850 Sobre la verdadera amplitud de un tesarino 36:290-2.
   • 1850 Sobre ecuaciones imposibles, cantidades imposibles y tesarinos 37:281–3.
   Enlaces de la Biblioteca del Patrimonio de la Biodiversidad .
5. Segre, Corrado (1892), "Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici" [La representación real de elementos complejos y entidades hiperalgebraicas], Mathematische Annalen , 40 (3): 413–467, doi :10.1007/bf01443559, S2CID  121807474, archivado desde el original el 12 de septiembre de 2013 , consultado el 12 de septiembre de 2013(véanse especialmente las páginas 455–67)
6. Álgebra abstracta / anillos de polinomios en Wikilibros
7. Álgebra de composición asociativa / Bibinarios en Wikilibros
8. Poodiack, Robert D. y Kevin J. LeClair (2009) "Teoremas fundamentales del álgebra para los perplejos", The College Mathematics Journal 40(5):322–35.
9. Baylis, NOSOTROS; Kiselica, JD (2012). El álgebra compleja del espacio físico: un marco para la relatividad . Adv. Aplica. Álgebras de Clifford . vol. 22. Enlace Springer. págs. 537–561.
10. Pei, Soo-Chang; Chang, Ja-Han; Ding, Jian-Jiun (21 de junio de 2004). "Bicuaterniones conmutativos reducidos y su transformada de Fourier para procesamiento de señales e imágenes" (PDF) . Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 52 (7). IEEE: 2012-2031. doi :10.1109/TSP.2004.828901. ISSN  1941-0476. S2CID  13907861.
11. Alfsmann, Daniel (4 a 8 de septiembre de 2006). Sobre familias de álgebras hipercomplejas de 2N dimensiones adecuadas para el procesamiento de señales digitales (PDF) . 14ª Conferencia Europea sobre Procesamiento de Señales, Florencia, Italia: EURASIP. Archivado desde el original (PDF) el 16 de julio de 2011 . Consultado el 18 de febrero de 2010 .{{cite conference}}: CS1 maint: location (link)
12. Alfsmann, Daniel; Göckler, Heinz G. (2007). Sobre sistemas digitales LTI complejos hiperbólicos (PDF) . EURASIP.
13. Kleine, Vítor G.; Hanifi, Ardeshir; Henningson, Dan S. (2022). "Estabilidad de flujos potenciales bidimensionales utilizando números bicomplejos". Proc. R. Soc. A . 478 (20220165). doi :10.1098/rspa.2022.0165. PMC 9185835 . PMID  35702595. 

Otras lecturas

• G. Baley Price (1991) Introducción a las funciones y espacios multicomplejos Marcel Dekker ISBN 0-8247-8345-X 
• F. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti. (2008) Las matemáticas del espacio-tiempo de Minkowski con una introducción a los números hipercomplejos conmutativos , Birkhäuser Verlag , Basilea ISBN 978-3-7643-8613-9 
• Alpay D, Luna-Elizarrarás ME, Shapiro M, Struppa DC. (2014) Conceptos básicos del análisis funcional con escalares bicomplejos y análisis de Schur bicomplejo , Cham, Suiza: Springer Science & BusinessMedia
• Luna-Elizarrarás ME, Shapiro M, Struppa DC, Vajiac A. (2015) Funciones holomorfas bicomplejas: el álgebra, la geometría y el análisis de números bicomplejos , Cham, Suiza: Birkhäuser
• Rochon, Dominic y Michael Shapiro (2004). "Sobre las propiedades algebraicas de los números bicomplejos e hiperbólicos". Anal. Univ. Oradea, fasc. matemáticas 11, no. 71: 110. http://3dfractals.com/docs/Article01_bicomplex.pdf