William Kingdon Clifford FRS (4 de mayo de 1845 - 3 de marzo de 1879) fue un matemático y filósofo británico . Basándose en el trabajo de Hermann Grassmann , introdujo lo que ahora se denomina álgebra geométrica , un caso especial del álgebra de Clifford nombrado en su honor. Las operaciones del álgebra geométrica tienen el efecto de reflejar, rotar, trasladar y mapear los objetos geométricos que se están modelando en nuevas posiciones. Las álgebras de Clifford en general y el álgebra geométrica en particular han tenido una importancia cada vez mayor para la física matemática , [1] la geometría , [2] y la informática . [3] Clifford fue el primero en sugerir que la gravitación podría ser una manifestación de una geometría subyacente. En sus escritos filosóficos acuñó la expresión materia mental .
Nacido en Exeter , William Clifford mostró una gran promesa en la escuela. Continuó sus estudios en el King's College de Londres (a los 15 años) y en el Trinity College de Cambridge , donde fue elegido miembro en 1868, después de haber sido segundo wrangler en 1867 y segundo premio de Smith. [4] [5] Ser segundo fue un destino que compartió con otros que se convirtieron en científicos famosos, incluidos William Thomson (Lord Kelvin) y James Clerk Maxwell . En 1870, formó parte de una expedición a Italia para observar el eclipse solar del 22 de diciembre de 1870. Durante ese viaje sobrevivió a un naufragio en la costa siciliana. [6]
En 1871, fue nombrado profesor de matemáticas y mecánica en el University College de Londres y en 1874 se convirtió en miembro de la Royal Society . [4] También fue miembro de la Sociedad Matemática de Londres y de la Sociedad Metafísica .
Clifford se casó con Lucy Lane el 7 de abril de 1875, con quien tuvo dos hijos. [7] Clifford disfrutaba entretener a los niños y escribió una colección de cuentos de hadas, The Little People . [8]
En 1876, Clifford sufrió una crisis nerviosa, probablemente provocada por el exceso de trabajo. Enseñaba y administraba de día y escribía de noche. Unas vacaciones de medio año en Argelia y España le permitieron retomar sus funciones durante 18 meses, tras los cuales volvió a colapsar. Fue a la isla de Madeira para recuperarse, pero murió allí de tuberculosis a los pocos meses, dejando viuda y con dos hijos.
Clifford y su esposa están enterrados en el cementerio Highgate de Londres , cerca de las tumbas de George Eliot y Herbert Spencer , justo al norte de la tumba de Karl Marx .
La revista académica Advances in Applied Clifford Algebras publica sobre el legado de Clifford en cinemática y álgebra abstracta .
"Clifford era ante todo y ante todo un geómetra".
— Henry John Stephen Smith [4]
El descubrimiento de la geometría no euclidiana abrió nuevas posibilidades en geometría en la era de Clifford. Nació el campo de la geometría diferencial intrínseca , con el concepto de curvatura aplicado ampliamente al espacio mismo así como a líneas y superficies curvas. Clifford quedó muy impresionado por el ensayo de Bernhard Riemann de 1854 "Sobre las hipótesis que se encuentran en las bases de la geometría". [9] En 1870, informó a la Sociedad Filosófica de Cambridge sobre los conceptos de espacio curvo de Riemann, e incluyó especulaciones sobre la curvatura del espacio por la gravedad. La traducción de Clifford [10] [11] del artículo de Riemann se publicó en Nature en 1873. Su informe en Cambridge, "Sobre la teoría espacial de la materia", se publicó en 1876, anticipándose 40 años a la relatividad general de Albert Einstein . Clifford elaboró la geometría del espacio elíptico como un espacio métrico no euclidiano . Ahora se dice que las curvas equidistantes en el espacio elíptico son paralelos de Clifford .
Los contemporáneos de Clifford lo consideraban agudo y original, ingenioso y cálido. A menudo trabajaba hasta altas horas de la noche, lo que pudo haber acelerado su muerte. Publicó artículos sobre una variedad de temas que incluyen formas algebraicas y geometría proyectiva y el libro de texto Elementos de dinámica . Su aplicación de la teoría de grafos a la teoría invariante fue seguida por William Spottiswoode y Alfred Kempe . [12]
En 1878, Clifford publicó un trabajo fundamental, basándose en el extenso álgebra de Grassmann. [13] Había logrado unificar los cuaterniones , desarrollados por William Rowan Hamilton , con el producto exterior de Grassmann (también conocido como el producto exterior ). Comprendió la naturaleza geométrica de la creación de Grassmann y que los cuaterniones encajaban perfectamente en el álgebra que Grassmann había desarrollado. Los versores de los cuaterniones facilitan la representación de la rotación. Clifford sentó las bases de un producto geométrico, compuesto por la suma del producto interior y el producto exterior de Grassmann. El producto geométrico fue finalmente formalizado por el matemático húngaro Marcel Riesz . El producto interno equipa al álgebra geométrica con una métrica, incorporando completamente relaciones de distancia y ángulo para líneas, planos y volúmenes, mientras que el producto externo otorga a esos planos y volúmenes propiedades similares a vectores, incluido un sesgo direccional.
La combinación de ambos puso en juego la operación de división. Esto amplió enormemente nuestra comprensión cualitativa de cómo interactúan los objetos en el espacio. Fundamentalmente, también proporcionó los medios para calcular cuantitativamente las consecuencias espaciales de esas interacciones. El álgebra geométrica resultante, como él la llamó, finalmente logró el objetivo largamente buscado [i] de crear un álgebra que refleje los movimientos y proyecciones de objetos en un espacio tridimensional. [14]
Además, el esquema algebraico de Clifford se extiende a dimensiones superiores. Las operaciones algebraicas tienen la misma forma simbólica que en 2 o 3 dimensiones. La importancia de las álgebras generales de Clifford ha crecido con el tiempo, mientras que sus clases de isomorfismo (como álgebras reales) se han identificado en otros sistemas matemáticos más allá de los cuaterniones. [15]
Los ámbitos del análisis real y del análisis complejo se han ampliado a través del álgebra H de cuaterniones, gracias a su noción de una esfera tridimensional incrustada en un espacio de cuatro dimensiones. Los versores de cuaterniones , que habitan en esta 3 esferas, proporcionan una representación del grupo de rotación SO(3) . Clifford señaló que los bicuaterniones de Hamilton eran un producto tensorial de álgebras conocidas y propuso en su lugar otros dos productos tensoriales de H : Clifford argumentó que los "escalares" tomados de los números complejos C podrían tomarse de los números complejos divididos D o del dual números norte . En términos de productos tensoriales, produce bicuaterniones divididos , mientras que forma cuaterniones duales . El álgebra de cuaterniones duales se utiliza para expresar el desplazamiento del tornillo , un mapeo común en cinemática.
Como filósofo, el nombre de Clifford se asocia principalmente con dos frases de su acuñación, materia mental y yo tribal . El primero simboliza su concepción metafísica , sugerida por su lectura de Baruch Spinoza , [4] que Clifford (1878) definió de la siguiente manera: [17]
A ese elemento del que, como hemos visto, incluso el sentimiento más simple es un complejo, lo llamaré materia mental. Una molécula de materia inorgánica en movimiento no posee mente ni conciencia; pero posee una pequeña parte de la mente. Cuando las moléculas se combinan de tal manera que forman la película en la parte inferior de una medusa, los elementos de la materia mental que las acompañan se combinan de tal manera que forman los débiles comienzos de la Sentiencia. Cuando las moléculas se combinan de tal manera que forman el cerebro y el sistema nervioso de un vertebrado, los elementos correspondientes de la materia mental se combinan de tal manera que forman algún tipo de conciencia; es decir, los cambios en el complejo que tienen lugar al mismo tiempo están tan vinculados entre sí que la repetición de uno implica la repetición del otro. Cuando la materia toma la forma compleja de un cerebro humano vivo, la materia mental correspondiente toma la forma de una conciencia humana, que tiene inteligencia y volición.
— "Sobre la naturaleza de las cosas en sí mismas" (1878)
Respecto al concepto de Clifford, Sir Frederick Pollock escribió:
En pocas palabras, la concepción es que la mente es la única realidad última; no la mente tal como la conocemos en las formas complejas de sentimiento y pensamiento conscientes, sino los elementos más simples a partir de los cuales se construyen el pensamiento y el sentimiento. El hipotético elemento último de la mente, o átomo de materia mental, corresponde precisamente al hipotético átomo de la materia, siendo el hecho último cuyo fenómeno es el átomo material. La materia y el universo sensible son las relaciones entre organismos particulares, es decir, la mente organizada en conciencia , y el resto del mundo. Esto conduce a resultados que en un sentido amplio y popular se llamarían materialistas . Pero la teoría, como teoría metafísica , debe considerarse del lado idealista. Hablando técnicamente, se trata de un monismo idealista . [4]
El yo tribal , por otra parte, da la clave de la visión ética de Clifford, que explica la conciencia y la ley moral mediante el desarrollo en cada individuo de un "yo", que prescribe la conducta conducente al bienestar de la "tribu". Gran parte de la prominencia contemporánea de Clifford se debió a su actitud hacia la religión . Animado por un intenso amor a su concepción de la verdad y la devoción al deber público, libró la guerra contra los sistemas eclesiásticos que le parecían favorecer el oscurantismo y anteponer las exigencias de las sectas a las de la sociedad humana. La alarma fue mayor, ya que la teología aún no estaba reconciliada con el darwinismo ; y Clifford fue considerado un peligroso defensor de las tendencias antiespirituales que entonces se imputaban a la ciencia moderna. [4] También ha habido un debate sobre hasta qué punto la doctrina de Clifford sobre la " concomitancia " o el " paralelismo psicofísico " influyó en el modelo del sistema nervioso de John Hughlings Jackson y, a través de él, en el trabajo de Janet, Freud, Ribot y Oye. [18]
En su ensayo de 1877, La ética de la creencia , Clifford sostiene que es inmoral creer cosas para las que no se carece de pruebas. [19] Describe a un armador que planeaba enviar al mar un barco viejo y no bien construido lleno de pasajeros. Al propietario del barco le sugirieron dudas sobre si el barco podría no estar en condiciones de navegar: "Estas dudas se apoderaron de su mente y lo hicieron infeliz". Consideró reparar el barco aunque sería costoso. Por fin, "logró superar estos reflejos melancólicos". Observó partir el barco, "con el corazón alegre... y recibió el dinero del seguro cuando se hundió en medio del océano y no contó cuentos". [19]
Clifford sostiene que el propietario del barco era culpable de la muerte de los pasajeros a pesar de que creía sinceramente que el barco estaba en buen estado: "[ Él] no tenía derecho a creer en las pruebas que tenía ante él ". [ii] Además, sostiene que incluso en el caso en que el barco llegue exitosamente a su destino, la decisión sigue siendo inmoral, porque la moralidad de la elección se define para siempre una vez que se hace la elección, y el resultado real, definido por el azar ciego, no No importa. El armador no sería menos culpable: nunca se descubriría su mala conducta, pero aun así no tenía derecho a tomar esa decisión dada la información de que disponía en ese momento.
Clifford concluye con lo que se conoce como el principio de Clifford : "es incorrecto siempre, en todas partes y para cualquiera creer algo sin pruebas suficientes". [19]
Como tal, está argumentando en directa oposición a los pensadores religiosos para quienes la "fe ciega" (es decir, creer en las cosas a pesar de la falta de evidencia de ellas) era una virtud. Este artículo fue famosamente atacado por el filósofo pragmático William James en su conferencia " Voluntad de creer ". A menudo estos dos trabajos se leen y publican juntos como piedras de toque para el debate sobre el evidencialismo , la fe y la creencia excesiva .
Aunque Clifford nunca construyó una teoría completa del espacio-tiempo y la relatividad , hay algunas observaciones notables que hizo impresas que presagiaron estos conceptos modernos: en su libro Elementos de dinámica (1878), introdujo el "movimiento cuasi armónico en una hipérbola". Escribió una expresión para una hipérbola unitaria parametrizada , que otros autores utilizaron más tarde como modelo para la velocidad relativista. En otra parte afirma: [20]
Este pasaje hace referencia a los bicuaterniones , aunque Clifford los convirtió en bicuaterniones divididos como su desarrollo independiente. El libro continúa con un capítulo "Sobre la curvatura del espacio", la sustancia de la relatividad general . Clifford también discutió sus puntos de vista en Sobre la teoría espacial de la materia en 1876.
En 1910, William Barrett Frankland citó la teoría espacial de la materia en su libro sobre el paralelismo: "La audacia de esta especulación seguramente no tiene igual en la historia del pensamiento. Sin embargo, hasta el presente presenta la apariencia de un vuelo icariano. " [21] Años más tarde, después de que Albert Einstein avanzara en la relatividad general , varios autores señalaron que Clifford se había anticipado a Einstein. Hermann Weyl (1923), por ejemplo, mencionó a Clifford como uno de los que, al igual que Bernhard Riemann , anticipó las ideas geométricas de la relatividad. [22]
En 1940, Eric Temple Bell publicó El desarrollo de las matemáticas , en el que analiza la presciencia de Clifford sobre la relatividad: [23]
John Archibald Wheeler , durante el Congreso Internacional de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia (CLMPS) de 1960 en Stanford , presentó su formulación geometrodinámica de la relatividad general acreditando a Clifford como el iniciador. [24]
En La filosofía natural del tiempo (1961), Gerald James Whitrow recuerda la presciencia de Clifford y lo cita para describir la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker en cosmología. [25]
Cornelius Lanczos (1970) resume las premoniciones de Clifford: [26]
Asimismo, Banesh Hoffmann (1973) escribe: [27]
En 1990, Ruth Farwell y Christopher Knee examinaron el expediente reconociendo la previsión de Clifford. [28] Concluyen que "fue Clifford, no Riemann, quien anticipó algunas de las ideas conceptuales de la Relatividad General". Para explicar la falta de reconocimiento de la presciencia de Clifford, señalan que él era un experto en geometría métrica, y que "la geometría métrica era demasiado desafiante para la epistemología ortodoxa como para seguirla". [28] En 1992, Farwell y Knee continuaron su estudio de Clifford y Riemann: [29]
[Ellos] sostienen que una vez que se utilizaron los tensores en la teoría de la relatividad general, existió el marco en el que se podría desarrollar una perspectiva geométrica en física y permitió redescubrir las desafiantes concepciones geométricas de Riemann y Clifford.
"Yo... sostengo que en el mundo físico no ocurre nada más que esta variación [de la curvatura del espacio]".
— Artículos matemáticos (1882)
"No hay ningún descubridor científico, ningún poeta, ningún pintor, ningún músico, que no te diga que encontró ya hecho su descubrimiento, su poema o su cuadro, que le llegó desde fuera y que no lo creó conscientemente a partir de él. dentro de."
— "Algunas de las condiciones del desarrollo mental" (1882), conferencia en la Royal Institution
"Está mal siempre, en todas partes y para cualquiera creer algo sin pruebas suficientes".
— La ética de la creencia (1879) [1877]
"Si un hombre, que sostiene una creencia que le enseñaron en la niñez o de la que fue persuadido después, reprime y rechaza cualquier duda que surja sobre ella en su mente, evita intencionalmente la lectura de libros y la compañía de hombres que cuestionan o discutirlo, y considera impías aquellas preguntas que no pueden hacerse fácilmente sin perturbarlo: la vida de ese hombre es un largo pecado contra la humanidad ".
— La ética de la creencia (1879) [1877]
"Yo no era, y fui concebido. Amé y trabajé un poco. No soy y no me aflijo."
— Epitafio
Conferencias sobre diez matemáticos británicos del siglo XIX.(Vea especialmente las páginas 78–91)
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