En física teórica , la geometrodinámica es un intento de describir el espacio-tiempo y los fenómenos asociados completamente en términos de geometría . Técnicamente, su objetivo es unificar las fuerzas fundamentales y reformular la relatividad general como un espacio de configuración de tres-métricas, módulo difeomorfismos tridimensionales . El origen de esta idea se puede encontrar en los trabajos del matemático inglés William Kingdon Clifford . [1] Esta teoría fue promovida con entusiasmo por John Wheeler en la década de 1960, y el trabajo sobre ella continúa en el siglo XXI.
El término geometrodinámica es sinónimo de relatividad general . Más apropiadamente, algunos autores usan la frase geometrodinámica de Einstein para denotar la formulación del valor inicial de la relatividad general, introducida por Arnowitt, Deser y Misner ( formalismo ADM ) alrededor de 1960. En esta reformulación, los espacio-tiempos se cortan en hipercortes espaciales de una manera bastante arbitraria [ cita requerida ] , y la ecuación de campo de Einstein del vacío se reformula como una ecuación de evolución que describe cómo, dada la geometría de un hipercorte inicial (el "valor inicial"), la geometría evoluciona con el "tiempo". Esto requiere dar ecuaciones de restricción que deben ser satisfechas por el hipercorte original. También implica cierta "elección de calibre"; específicamente, elecciones sobre cómo evoluciona el sistema de coordenadas utilizado para describir la geometría del hipercorte.
Wheeler [2] quería reducir la física a la geometría de una manera aún más fundamental que la reformulación de la relatividad general por parte de ADM con una geometría dinámica cuya curvatura cambia con el tiempo. Intenta hacer realidad tres conceptos:
Quería sentar las bases de la gravedad cuántica y unificar la gravitación con el electromagnetismo (las interacciones fuertes y débiles aún no se entendían lo suficientemente bien en 1960 como para ser incluidas).
Wheeler introdujo la noción de geones , paquetes de ondas gravitacionales confinados en una región compacta del espacio-tiempo y unidos por la atracción gravitacional de la energía del campo (gravitacional) de la propia onda. [3] Wheeler estaba intrigado por la posibilidad de que los geones pudieran afectar a las partículas de prueba de forma muy similar a un objeto masivo, es decir, masa sin masa .
Wheeler también estaba muy intrigado por el hecho de que la solución de masa puntual (sin giro) de la relatividad general, el vacío de Schwarzschild , tiene la naturaleza de un agujero de gusano . De manera similar, en el caso de una partícula cargada, la geometría de la solución de electrovacío de Reissner-Nordström sugiere que la simetría entre las líneas de campo eléctrico (que "terminan" en cargas) y magnético (que nunca terminan) podría restaurarse si las líneas de campo eléctrico en realidad no terminan sino que solo pasan a través de un agujero de gusano hacia alguna ubicación distante o incluso otra rama del universo. George Rainich había demostrado décadas antes que se puede obtener el tensor de campo electromagnético a partir de la contribución electromagnética al tensor de tensión-energía , que en la relatividad general está directamente acoplado a la curvatura del espacio-tiempo ; Wheeler y Misner desarrollaron esto en la llamada teoría de campo ya unificada que unifica parcialmente la gravitación y el electromagnetismo, produciendo carga sin carga .
En la reformulación de la relatividad general por ADM, Wheeler argumentó que la ecuación de campo de Einstein completa puede recuperarse una vez que se puede derivar la restricción del momento , y sugirió que esto podría deducirse únicamente de consideraciones geométricas, convirtiendo a la relatividad general en algo así como una necesidad lógica. En concreto, la curvatura (el campo gravitatorio) podría surgir como una especie de "promedio" sobre fenómenos topológicos muy complicados a escalas muy pequeñas, la llamada espuma del espacio-tiempo . Esto haría realidad la intuición geométrica sugerida por la gravedad cuántica, o campo sin campo .
Estas ideas despertaron la imaginación de muchos físicos, aunque el propio Wheeler desbarató rápidamente algunas de las esperanzas iniciales depositadas en su programa. En particular, los fermiones de espín 1/2 resultaron difíciles de manejar. Para ello, hay que recurrir a la teoría de campos unificados de Einstein del sistema Einstein-Maxwell-Dirac o, de forma más general, al sistema Einstein-Yang-Mills-Dirac-Higgs.
La geometrodinámica también atrajo la atención de filósofos intrigados por la posibilidad de realizar algunas de las ideas de Descartes y Spinoza sobre la naturaleza del espacio.
Más recientemente, Christopher Isham , Jeremy Butterfield y sus estudiantes han continuado desarrollando la geometrodinámica cuántica [4] para tener en cuenta el trabajo reciente en pos de una teoría cuántica de la gravedad y los desarrollos posteriores en la muy extensa teoría matemática de formulaciones de valor inicial de la relatividad general. Algunos de los objetivos originales de Wheeler siguen siendo importantes para este trabajo, en particular la esperanza de sentar una base sólida para la gravedad cuántica. El programa filosófico también continúa motivando a varios contribuyentes destacados.
Las ideas topológicas en el campo de la gravedad se remontan a Riemann , Clifford y Weyl y encontraron una realización más concreta en los agujeros de gusano de Wheeler caracterizados por el invariante de Euler-Poincaré . Son el resultado de colocar asas en los agujeros negros.
En el plano observacional, la relatividad general (RG) de Albert Einstein está bastante bien establecida para el sistema solar y los púlsares dobles. Sin embargo, en la RG la métrica cumple un doble papel: mide distancias en el espacio-tiempo y sirve como potencial gravitatorio para la conexión de Christoffel . Esta dicotomía parece ser uno de los principales obstáculos para la cuantización de la gravedad. Arthur Stanley Eddington sugirió ya en 1924 en su libro La teoría matemática de la relatividad (2.ª edición) considerar la conexión como el campo básico y la métrica como un mero concepto derivado.
En consecuencia, la acción primordial en cuatro dimensiones debe construirse a partir de una acción topológica libre de métrica, como el invariante de Pontryagin de la conexión de calibración correspondiente. De manera similar a la teoría de Yang-Mills , se puede lograr una cuantificación modificando la definición de curvatura y las identidades de Bianchi mediante fantasmas topológicos. En un formalismo de Cartan graduado de este tipo , la nilpotencia de los operadores fantasma está a la par con el lema de Poincaré para la derivada exterior . Utilizando un formalismo de anticampo BRST con una fijación de calibración de dualidad, se obtiene una cuantificación consistente en espacios de doble curvatura dual. La restricción impone soluciones de tipo instantón en la "teoría de Yang-Mielke" de la gravedad de curvatura al cuadrado, [5] propuesta en su forma afín ya por Weyl 1919 y por Yang en 1974. Sin embargo, estas soluciones exactas exhiben una "degeneración del vacío". Es necesario modificar la doble dualidad de la curvatura a través de términos de ruptura de escala, para conservar las ecuaciones de Einstein con una constante cosmológica inducida de origen parcialmente topológico como el único "fondo" macroscópico.
Tales términos de ruptura de escala surgen de manera más natural en un formalismo de restricción, el llamado esquema BF , en el que la curvatura de calibre se denota por F. En el caso de la gravedad, se aparta del grupo lineal especial SL(5, R ) en cuatro dimensiones, generalizando así las teorías de calibre ( anti- ) de Sitter de la gravedad . Después de aplicar la ruptura espontánea de simetría a la teoría BF topológica correspondiente, nuevamente surgen espacios de Einstein con una constante cosmológica minúscula relacionada con la escala de ruptura de simetría. Aquí la métrica de "fondo" se induce a través de un mecanismo similar al de Higgs . La finitud de un esquema topológico deformado de este tipo puede convertirse en seguridad asintótica después de la cuantificación del modelo roto espontáneamente. [6]
Richard J. Petti cree que los modelos cosmológicos con torsión pero sin partículas rotatorias basados en la teoría de Einstein-Cartan ilustran una situación de "un campo (no propagante) sin campo". [7]