El espacio de Sitter

Variedad lorentziana de simetría máxima con constante cosmológica positiva

En física matemática , un espacio de Sitter n -dimensional (a menudo denominado dS _n ) es una variedad lorentziana de simetría máxima con curvatura escalar positiva constante . Es el análogo lorentziano ^{[ se necesita más explicación ]} de una n -esfera (con su métrica riemanniana canónica ).

La principal aplicación del espacio de De Sitter es su uso en la relatividad general , donde sirve como uno de los modelos matemáticos más simples del universo consistente con la expansión acelerada observada del universo . Más específicamente, el espacio de De Sitter es la solución de vacío máximamente simétrica de las ecuaciones de campo de Einstein con una constante cosmológica positiva (que corresponde a una densidad de energía de vacío positiva y una presión negativa). ${\displaystyle \Lambda }$

El espacio de De Sitter y el antiespacio de De Sitter reciben su nombre de Willem de Sitter (1872-1934), ^{[1] [2]} profesor de astronomía en la Universidad de Leiden y director del Observatorio de Leiden . Willem de Sitter y Albert Einstein trabajaron en estrecha colaboración en Leiden en la década de 1920 sobre la estructura espacio-temporal de nuestro universo. El espacio de De Sitter también fue descubierto, de forma independiente y aproximadamente en la misma época, por Tullio Levi-Civita . ^[3]

Definición

Un espacio de De Sitter se puede definir como una subvariedad de un espacio de Minkowski generalizado de una dimensión superior , incluida la métrica inducida. Tomemos el espacio de Minkowski R ^{1, n} con la métrica estándar : $${\displaystyle ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.}$$

El espacio de De Sitter n -dimensional es la subvariedad descrita por el hiperboloide de una lámina donde es una constante distinta de cero cuya dimensión es la longitud. La métrica inducida en el espacio de De Sitter inducida a partir de la métrica de Minkowski ambiental. No es degenerada y tiene firma lorentziana. (Si se reemplaza con en la definición anterior, se obtiene un hiperboloide de dos láminas. La métrica inducida en este caso es definida positivamente y cada lámina es una copia del espacio n hiperbólico . Véase Espacio de Minkowski § Geometría ). $${\displaystyle -x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2},}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ ${\displaystyle -\alpha ^{2}}$

El espacio de Sitter también se puede definir como el cociente O(1, n ) / O(1, n − 1) de dos grupos ortogonales indefinidos , lo que demuestra que es un espacio simétrico no riemanniano .

Topológicamente , dS _n es R × S ^{n −1} (que está simplemente conexo si n ≥ 3 ).

Propiedades

El grupo de isometría del espacio de De Sitter es el grupo de Lorentz O(1, n ) . Por lo tanto, la métrica tiene n ( n + 1)/2 campos vectoriales de Killing independientes y es máximamente simétrica. Todo espacio máximamente simétrico tiene una curvatura constante. El tensor de curvatura de Riemann de De Sitter viene dado por ^[4]

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}\left(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu }\right)}$

(utilizando la convención de signos para el tensor de curvatura de Riemann). El espacio de De Sitter es una variedad de Einstein ya que el tensor de Ricci es proporcional a la métrica: ${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }=R^{\lambda }{}_{\mu \lambda \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}$

Esto significa que el espacio de Sitter es una solución de vacío de la ecuación de Einstein con constante cosmológica dada por

${\displaystyle \Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.}$

La curvatura escalar del espacio de Sitter está dada por ^[4]

${\displaystyle R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .}$

Para el caso n = 4 , tenemos Λ = 3/ α ² y R = 4Λ = 12/ α ² .

Coordenadas

Coordenadas estáticas

Podemos introducir coordenadas estáticas para De Sitter de la siguiente manera: ${\displaystyle (t,r,\ldots )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\\x_{1}&={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\\x_{i}&=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.\end{aligned}}}$

donde se obtiene la incrustación estándar de la ( n − 2) -esfera en R ^{n −1} . En estas coordenadas la métrica de De Sitter toma la forma: ${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.}$

Obsérvese que hay un horizonte cosmológico en . ${\displaystyle r=\alpha }$

Corte plano

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)+{\frac {1}{2\alpha }}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{1}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)-{\frac {1}{2\alpha }}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{i}&=e^{{\frac {1}{\alpha }}t}y_{i},\qquad 2\leq i\leq n\end{aligned}}}$

donde . Entonces en las coordenadas métricas se lee: ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \left(t,y_{i}\right)}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+e^{2{\frac {1}{\alpha }}t}dy^{2}}$

¿Dónde está la métrica plana en 's? ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ ${\displaystyle y_{i}}$

Estableciendo , obtenemos la métrica conformemente plana: ${\displaystyle \zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{(\zeta _{\infty }-\zeta )^{2}}}\left(dy^{2}-d\zeta ^{2}\right)}$

Corte abierto

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha z_{i}\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\sinh \xi ,\qquad 2\leq i\leq n\end{aligned}}}$

donde se forma a con la métrica estándar . Entonces la métrica del espacio de Sitter se lee ${\textstyle \sum _{i}z_{i}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{n-2}}$ ${\textstyle \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)dH_{n-1}^{2},}$

dónde

${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-2}^{2}}$

es la métrica hiperbólica estándar.

Corte cerrado

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)z_{i},\qquad 1\leq i\leq n\end{aligned}}}$

donde s describe un . Entonces la métrica se lee: ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)d\Omega _{n-1}^{2}.}$

Cambiando la variable tiempo al tiempo conforme mediante obtenemos una métrica conformemente equivalente al universo estático de Einstein: ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}\left(-d\eta ^{2}+d\Omega _{n-1}^{2}\right).}$

Estas coordenadas, también conocidas como "coordenadas globales", cubren la extensión máxima del espacio de Sitter y, por lo tanto, pueden usarse para encontrar su diagrama de Penrose . ^[5]

Corte en dS

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&=\alpha \cos \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right),\\x_{2}&=\alpha \sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha z_{i}\sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\sinh \xi ,\qquad 3\leq i\leq n\end{aligned}}}$

donde s describe un . Entonces la métrica se lee: ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle S^{n-3}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

dónde

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)dH_{n-2}^{2}}$

es la métrica de un espacio de Sitter dimensional con radio de curvatura en coordenadas de corte abierto. La métrica hiperbólica viene dada por: ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.}$

Esta es la continuación analítica de las coordenadas de corte abiertas bajo y también cambiando y porque cambian su naturaleza temporal/espacial. ${\displaystyle \left(t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\phi _{n-3}\right)\to \left(i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\ldots ,\phi _{n-4}\right)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Véase también

• Espacio anti-de Sitter
• El universo de Sitter
• Correspondencia AdS/CFT
• Métrica de Sitter-Schwarzschild

Referencias

1. de Sitter, W. (1917), "Sobre la relatividad de la inercia: Observaciones sobre la última hipótesis de Einstein" (PDF) , Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. , 19 : 1217–1225, Bibcode :1917KNAB...19.1217D
2. de Sitter, W. (1917), "Sobre la curvatura del espacio" (PDF) , Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. , 20 : 229–243
3. Levi-Civita, Tullio (1917), "Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi", Rendiconti, Reale Accademia dei Lincei , 26 : 519–31
4. Zee 2013, pág. 626
5. Hawking y Ellis. La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge Univ. Press.

• Zee, Anthony (2013). Einstein Gravity in a Nutshell [La gravedad de Einstein en pocas palabras] . Princeton University Press. ISBN 9780691145587.

Lectura adicional

• Qingming Cheng (2001) [1994], "El espacio de De Sitter", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Nomizu, Katsumi (1982), "La métrica de Lorentz-Poincaré en el semiespacio superior y su extensión", Hokkaido Mathematical Journal , 11 (3): 253–261, doi : 10.14492/hokmj/1381757803
• Coxeter, HSM (1943), "Un trasfondo geométrico para el mundo de De Sitter", American Mathematical Monthly , 50 (4), Mathematical Association of America: 217–228, doi :10.2307/2303924, JSTOR  2303924
• Susskind, L.; Lindesay, J. (2005), Introducción a los agujeros negros, la información y la revolución de la teoría de cuerdas: el universo holográfico , pág. 119(11.5.25)

Enlaces externos

• Guía simplificada de los espacios de De Sitter y anti-De Sitter Una introducción pedagógica a los espacios de De Sitter y anti-De Sitter. El artículo principal es simplificado y casi no contiene matemáticas. El apéndice es técnico y está destinado a lectores con conocimientos de física o matemáticas.