Grupo ortogonal indefinido

Grupo ortogonal de forma cuadrática indefinida.

En matemáticas , el grupo ortogonal indefinido , O( p , q ) es el grupo de Lie de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial real n - dimensional que dejan invariante una forma bilineal simétrica y no degenerada de firma ( p , q ) , donde n = p + q . También se le llama grupo pseudoortogonal ^[1] o grupo ortogonal generalizado . ^[2] La dimensión del grupo es n ( n − 1)/2 .

El grupo ortogonal especial indefinido , SO( p , q ) es el subgrupo de O( p , q ) que consta de todos los elementos con determinante 1. A diferencia del caso definido, SO( p , q ) no está conexo: tiene 2 componentes - y hay dos subgrupos de índices finitos adicionales, a saber, los conectados SO ⁺ ( p , q ) y O ⁺ ( p , q ) , que tiene 2 componentes; consulte § Topología para su definición y discusión.

La firma de la forma determina el grupo hasta el isomorfismo ; intercambiar p con q equivale a reemplazar la métrica por su negativo, por lo que se obtiene el mismo grupo. Si p o q son iguales a cero, entonces el grupo es isomorfo al grupo ortogonal ordinario O ( n ). A continuación supondremos que tanto p como q son positivos.

El grupo O( p , q ) está definido para espacios vectoriales sobre los reales . Para espacios complejos , todos los grupos O( p , q ; C ) son isomorfos al grupo ortogonal habitual O( p + q ; C ) , ya que la transformación cambia la firma de una forma. Esto no debe confundirse con el grupo unitario indefinido U( p , q ) que conserva una forma sesquilineal de firma ( p , q ) . ${\displaystyle z_{j}\mapsto iz_{j}}$

En dimensión par n = 2 p , O( p , p ) se conoce como grupo ortogonal dividido.

Ejemplos

Las asignaciones de compresión , aquí r = 3/2 , son las simetrías hiperbólicas básicas.

El ejemplo básico son las asignaciones de compresión , que es el grupo SO ⁺ (1, 1) de (el componente de identidad de) transformaciones lineales que preservan la hipérbola unitaria . Concretamente, estas son las matrices y pueden interpretarse como rotaciones hiperbólicas, del mismo modo que el grupo SO(2) puede interpretarse como rotaciones circulares. ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],}$

En física, el grupo de Lorentz O(1,3) es de importancia central, siendo el escenario del electromagnetismo y la relatividad especial . (Algunos textos usan O(3,1) para el grupo de Lorentz; sin embargo, O(1,3) prevalece en la teoría cuántica de campos porque las propiedades geométricas de la ecuación de Dirac son más naturales en O(1,3) .)

Definición de matriz

Se puede definir O( p , q ) como un grupo de matrices , al igual que para el grupo ortogonal clásico O( n ). Considere la matriz diagonal dada por ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}$

Entonces podemos definir una forma bilineal simétrica mediante la fórmula ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}$,

¿Dónde está el producto interno estándar ? ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

Luego definimos como el grupo de matrices que conservan esta forma bilineal: ^[3] ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}$.

Más explícitamente, consta de matrices tales que ^[4] ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle gA^{\mathrm {tr} }g=A^{-1}}$,

¿Dónde está la transpuesta de ? ${\displaystyle A^{\mathrm {tr} }}$ ${\displaystyle A}$

Se obtiene un grupo isomorfo (de hecho, un subgrupo conjugado de GL( p + q ) ) reemplazando g con cualquier matriz simétrica con p valores propios positivos y q negativos. Diagonalizar esta matriz da una conjugación de este grupo con el grupo estándar O( p , q ) .

Subgrupos

El grupo SO ⁺ ( p , q ) y los subgrupos relacionados de O( p , q ) se pueden describir algebraicamente. Dividir una matriz L en O( p , q ) como una matriz de bloques :

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

donde A , B , C y D son bloques p × p , p × q , q × p y q × q , respectivamente. Se puede demostrar que el conjunto de matrices en O( p , q ) cuyo bloque A superior izquierdo p × p tiene determinante positivo es un subgrupo. O, para decirlo de otra manera, si

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\;\mathrm {and} \;M={\begin{pmatrix}W&X\\Y&Z\end{pmatrix}}}$

están en O( p , q ) , entonces

${\displaystyle (\operatorname {sgn} \det A)(\operatorname {sgn} \det W)=\operatorname {sgn} \det(AW+BY).}$

El resultado análogo para el bloque q × q de la parte inferior derecha también es válido. El subgrupo SO ⁺ ( p , q ) consta de matrices L tales que det A y det D son ambas positivas. ^{[5] [6]}

Para todas las matrices L en O( p , q ) , los determinantes de A y D tienen la propiedad de que y que ^[7] En particular, el subgrupo SO( p , q ) consta de matrices L tales que det A y det D tienen el mismo signo. ^[5] ${\textstyle {\frac {\det A}{\det D}}=\det L}$ ${\displaystyle |\det A|=|\det D|\geq 1.}$

Topología

Suponiendo que tanto p como q son positivos, ninguno de los grupos O ( p , q ) ni SO ( p , q ) son conexos , ya que tienen cuatro y dos componentes respectivamente. π ₀ (O( p , q )) ≅ C ₂ × C ₂ es el grupo de cuatro de Klein , siendo cada factor si un elemento conserva o invierte las orientaciones respectivas en los subespacios dimensionales p y q en los que la forma es definida; tenga en cuenta que invertir la orientación en solo uno de estos subespacios invierte la orientación en todo el espacio. El grupo ortogonal especial tiene componentes π ₀ (SO( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) }, cada uno de los cuales conserva ambas orientaciones o invierte ambas orientaciones, en cualquier caso preservando la orientación general. ^{[ se necesita aclaración ]}

El componente de identidad de O( p , q ) a menudo se denota SO ⁺ ( p , q ) y puede identificarse con el conjunto de elementos en SO( p , q ) que preservan ambas orientaciones. Esta notación está relacionada con la notación O ⁺ (1, 3) para el grupo de Lorentz ortocrónico , donde + se refiere a preservar la orientación en la primera dimensión (temporal).

El grupo O( p , q ) tampoco es compacto , pero contiene los subgrupos compactos O( p ) y O( q ) que actúan sobre los subespacios en los que la forma es definida. De hecho, O( p ) × O( q ) es un subgrupo compacto máximo de O( p , q ) , mientras que S(O( p ) × O( q )) es un subgrupo compacto máximo de SO( p , q ) . Asimismo, SO( p ) × SO( q ) es un subgrupo compacto máximo de SO ⁺ ( p , q ) . Por lo tanto, los espacios son equivalentes en homotopía a productos de grupos ortogonales (especiales), a partir de los cuales se pueden calcular invariantes algebrotopológicas. (Ver Subgrupo compacto máximo ).

En particular, el grupo fundamental de SO ⁺ ( p , q ) es el producto de los grupos fundamentales de los componentes, π ₁ (SO ⁺ ( p , q )) = π ₁ (SO( p )) × π ₁ (SO ( q )) , y está dada por:

Grupo ortogonal dividido

En dimensiones pares, el grupo medio O( n , n ) se conoce como grupo ortogonal dividido y es de particular interés, como ocurre como el grupo de transformaciones de dualidad T en la teoría de cuerdas, por ejemplo. Es el grupo de Lie dividido correspondiente al álgebra de Lie compleja, por lo que _{2 n} (el grupo de Lie de la forma real dividida del álgebra de Lie); más precisamente, el componente de identidad es el grupo de Lie dividido, ya que los componentes que no son de identidad no se pueden reconstruir a partir del álgebra de Lie. En este sentido, es opuesto al grupo ortogonal definido O( n ) := O( n , 0) = O(0, n ) , que es la forma real compacta del álgebra de Lie compleja.

El grupo SO(1, 1) puede identificarse con el grupo de números complejos divididos unitarios .

En términos de ser un grupo de tipo Lie (es decir, construcción de un grupo algebraico a partir de un álgebra de Lie), los grupos ortogonales divididos son grupos de Chevalley , mientras que los grupos ortogonales no divididos requieren una construcción un poco más complicada y son grupos de Steinberg .

Los grupos ortogonales divididos se utilizan para construir la variedad de banderas generalizadas sobre campos no algebraicamente cerrados.

Ver también

• grupo ortogonal
• grupo lorentz
• grupo poincaré
• Forma bilineal simétrica

Referencias

1. Popov 2001
2. Salón 2015, pag. 8, Sección 1.2
3. Salón 2015 Sección 1.2.3
4. Hall 2015 Capítulo 1, Ejercicio 1
5. Lester, JA (1993). "Subgrupos ortocrónicos de O (p, q)". Álgebra lineal y multilineal . 36 (2): 111-113. doi :10.1080/03081089308818280. Zbl  0799.20041.
6. Shirokov 2012, págs. 88–96, sección 7.1
7. Shirokov 2012, págs. 89–91, Lemas 7.1 y 7.2

Fuentes

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Anthony Knapp , Grupos de mentiras más allá de una introducción , segunda edición, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5 ; consulte la página 372 para obtener una descripción del grupo ortogonal indefinido. 
• Popov, VL (2001) [1994], "Grupo ortogonal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Shirokov, DS (2012). Conferencias sobre álgebras y espinores de Clifford Лекции по алгебрам клиффорда и спинорам (PDF) (en ruso). doi :10.4213/libro1373. Zbl  1291.15063.
• Joseph A. Wolf , Espacios de curvatura constante , (1967) página. 335.