En matemáticas , una variedad de banderas generalizada ( o simplemente variedad de banderas ) es un espacio homogéneo cuyos puntos son banderas en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo F. Cuando F son números reales o complejos, una variedad de bandera generalizada es una variedad suave o compleja , llamada variedad de bandera real o compleja . Las variedades bandera son naturalmente variedades proyectivas .
Las variedades de banderas se pueden definir en varios grados de generalidad. Un prototipo es la variedad de banderas completas en un espacio vectorial V sobre un campo F , que es una variedad de banderas para el grupo lineal especial sobre F . Otras variedades de banderas surgen al considerar banderas parciales, o por restricción del grupo lineal especial a subgrupos como el grupo simpléctico . Para banderas parciales, es necesario especificar la secuencia de dimensiones de las banderas en consideración. Para los subgrupos del grupo lineal, se deberán imponer condiciones adicionales a las banderas.
En el sentido más general, una variedad bandera generalizada se define como una variedad proyectiva homogénea , es decir, una variedad proyectiva suave X sobre un campo F con una acción transitiva de un grupo reductor G (y un subgrupo estabilizador suave; eso no es una restricción). para F de característica cero). Si X tiene un punto F - racional , entonces es isomorfo a G / P para algún subgrupo parabólico P de G. También se puede realizar una variedad proyectiva homogénea como la órbita de un vector de mayor peso en una representación proyectiva de G. Las variedades homogéneas proyectivas complejas son los espacios modelo planos compactos para geometrías de Cartan de tipo parabólico. Son variedades riemannianas homogéneas bajo cualquier subgrupo compacto máximo de G , y son precisamente las órbitas coadjuntas de grupos compactos de Lie .
Las variedades de banderas pueden ser espacios simétricos . Sobre los números complejos, las variedades de bandera correspondientes son los espacios simétricos hermitianos . Sobre los números reales, un espacio R es sinónimo de una variedad de bandera real y los espacios simétricos correspondientes se denominan espacios R simétricos .
Una bandera en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo F es una secuencia creciente de subespacios , donde "creciente" significa que cada uno es un subespacio propio del siguiente (ver filtración ):
Si escribimos el tenue V i = d i entonces tenemos
donde n es la dimensión de V . Por tanto, debemos tener k ≤ n . Una bandera se llama bandera completa si d i = i para todo i , de lo contrario se llama bandera parcial . La firma de la bandera es la secuencia ( d 1 , ..., d k ).
Se puede obtener una bandera parcial a partir de una bandera completa eliminando algunos de los subespacios. Por el contrario, cualquier indicador parcial se puede completar (de muchas maneras diferentes) insertando subespacios adecuados.
Según los resultados básicos del álgebra lineal , dos banderas completas cualesquiera en un espacio vectorial V de n dimensiones sobre un campo F no son diferentes entre sí desde un punto de vista geométrico. Es decir, el grupo lineal general actúa transitivamente sobre el conjunto de todas las banderas completas.
Fijar una base ordenada para V , identificándola con F n , cuyo grupo lineal general es el grupo GL( n , F ) de n × n matrices invertibles. La bandera estándar asociada con esta base es aquella en la que el i -ésimo subespacio está abarcado por los primeros i vectores de la base. En relación con esta base, el estabilizador de la bandera estándar es el grupo de matrices triangulares inferiores no singulares , que denotamos por B n . Por lo tanto, la variedad de banderas completa se puede escribir como un espacio homogéneo GL( n , F ) / B n , lo que muestra en particular que tiene dimensión n ( n −1)/2 sobre F .
Tenga en cuenta que los múltiplos de la identidad actúan trivialmente en todas las banderas, por lo que se puede restringir la atención al grupo lineal especial SL( n , F ) de matrices con determinante uno, que es un grupo algebraico semisimple; el conjunto de matrices triangulares inferiores del determinante uno es un subgrupo de Borel .
Si el campo F son números reales o complejos, podemos introducir un producto interno en V tal que la base elegida sea ortonormal . Luego, cualquier bandera completa se divide en una suma directa de subespacios unidimensionales tomando complementos ortogonales. De ello se deduce que la variedad bandera completa sobre los números complejos es el espacio homogéneo
donde U( n ) es el grupo unitario y T n es el n -toro de matrices unitarias diagonales. Hay una descripción similar de los números reales con U( n ) reemplazado por el grupo ortogonal O( n ) y T n por las matrices ortogonales diagonales (que tienen entradas diagonales ±1).
La variedad de bandera parcial
es el espacio de todas las banderas de firma ( d 1 , d 2 , ... d k ) en un espacio vectorial V de dimensión n = d k sobre F . La variedad de bandera completa es el caso especial en el que d i = i para todo i . Cuando k = 2, este es un Grassmanniano de d subespacios unidimensionales de V.
Este es un espacio homogéneo para el grupo lineal general G de V sobre F . Para ser explícito, tome V = F n de modo que G = GL( n , F ). El estabilizador de una bandera de subespacios anidados V i de dimensión d i puede tomarse como el grupo de matrices triangulares inferiores de bloques no singulares , donde las dimensiones de los bloques son n i := d i − d i −1 (con d 0 = 0).
Restringiéndonos a matrices de determinante uno, este es un subgrupo parabólico P de SL( n , F ) y, por lo tanto, la variedad de bandera parcial es isomorfa al espacio homogéneo SL( n , F )/ P .
Si F son números reales o complejos, entonces se puede usar un producto interno para dividir cualquier bandera en una suma directa, por lo que la variedad de bandera parcial también es isomorfa al espacio homogéneo.
en el caso complejo, o
en el caso real.
Las matrices triangulares superiores del determinante uno son un subgrupo Borel de SL ( n , F ) y, por tanto, los estabilizadores de banderas parciales son subgrupos parabólicos. Además, una bandera parcial está determinada por el subgrupo parabólico que la estabiliza.
Por lo tanto, de manera más general, si G es un grupo algebraico semisimple o de Lie , entonces la variedad de bandera (generalizada) para G es G / P donde P es un subgrupo parabólico de G. La correspondencia entre subgrupos parabólicos y variedades de banderas generalizadas permite entender cada uno en términos del otro.
La ampliación de la terminología "variedad de banderas" es razonable, porque los puntos G / P todavía se pueden describir utilizando banderas. Cuando G es un grupo clásico , como un grupo simpléctico o un grupo ortogonal , esto es particularmente transparente. Si ( V , ω ) es un espacio vectorial simpléctico , entonces una bandera parcial en V es isotrópica si la forma simpléctica desaparece en los subespacios propios de V en la bandera. El estabilizador de una bandera isotrópica es un subgrupo parabólico del grupo simpléctico Sp ( V , ω ). Para los grupos ortogonales el panorama es similar, con un par de complicaciones. Primero, si F no es algebraicamente cerrado, entonces es posible que no existan subespacios isotrópicos: para una teoría general, es necesario utilizar los grupos ortogonales divididos . En segundo lugar, para espacios vectoriales de dimensión par 2 m , los subespacios isotrópicos de dimensión m vienen en dos tipos ("auto-dual" y "anti-auto-dual") y es necesario distinguirlos para obtener un espacio homogéneo.
Si G es un grupo de Lie compacto y conexo, contiene un toro máximo T y el espacio G / T de clases laterales izquierdas con la topología del cociente es una variedad real compacta. Si H es cualquier otro subgrupo cerrado y conectado de G que contenga T , entonces G / H es otra variedad real compacta. (Ambos son en realidad espacios complejos homogéneos de forma canónica mediante la complejización ).
La presencia de una estructura compleja y (co)homología celular hace que sea fácil ver que el anillo de cohomología de G / H está concentrado en grados pares, pero de hecho, se puede decir algo mucho más fuerte. Debido a que G → G/H es un paquete H principal , existe un mapa de clasificación G / H → BH con objetivo en el espacio de clasificación BH . Si reemplazamos G / H con el cociente de homotopía G H en la secuencia G → G/H → BH , obtenemos un paquete G principal llamado fibración de Borel de la acción de multiplicación correcta de H sobre G , y podemos usar el cohomológico Secuencia espectral de Serre de este haz para comprender el homomorfismo de restricción de fibra H *( G / H ) → H *( G ) y el mapa característico H *( BH ) → H *( G / H ), llamado así porque su imagen, el subanillo característico de H *( G / H ), lleva las clases características del paquete original H → G → G / H .
Restringamos ahora nuestro anillo de coeficientes a un campo k de característica cero, de modo que, según el teorema de Hopf , H *( G ) es un álgebra exterior en generadores de grado impar (el subespacio de elementos primitivos ). De ello se deduce que los homomorfismos de borde
de la secuencia espectral debe eventualmente tomar el espacio de los elementos primitivos en la columna izquierda H *( G ) de la página E 2 biyectivamente en la fila inferior H *( BH ): sabemos que G y H tienen el mismo rango , entonces si el La colección de homomorfismos de aristas no tenía rango completo en el subespacio primitivo, entonces la imagen de la fila inferior H *( BH ) en la página final H *( G / H ) de la secuencia sería de dimensión infinita como un k -espacio vectorial , lo cual es imposible, por ejemplo nuevamente por cohomología celular , porque un espacio compacto homogéneo admite una estructura CW finita .
Por lo tanto, el mapa de anillos H *( G / H ) → H *( G ) es trivial en este caso, y el mapa característico es sobreyectivo, de modo que H *( G / H ) es un cociente de H *( BH ). El núcleo del mapa es el ideal generado por las imágenes de elementos primitivos bajo los homomorfismos de borde, que también es el ideal generado por elementos de grado positivo en la imagen del mapa canónico H *( BG ) → H *( BH ) inducido por la inclusión de H en G .
El mapa H *( BG ) → H *( BT ) es inyectivo, y lo mismo para H , con imagen del subanillo H *( BT ) W ( G ) de elementos invariantes bajo la acción del grupo Weyl , por lo que finalmente se obtiene el descripción concisa
donde denota elementos de grado positivo y los paréntesis la generación de un ideal. Por ejemplo, para la variedad de banderas compleja completa U ( n ) / T n , se tiene
donde los t j son de grado 2 y los σ j son los primeros n polinomios simétricos elementales en las variables t j . Para un ejemplo más concreto, tomemos n = 2, de modo que U ( 2 )/[ U (1) × U (1)] es el complejo Grassmanniano Gr(1, 2 ) ≈ P 1 ≈ S 2 . Entonces esperamos que el anillo de cohomología sea un álgebra exterior en un generador de grado dos (la clase fundamental ), y de hecho,
como se esperaba.
Si G es un grupo algebraico semisimple (o grupo de Lie) y V es una representación de mayor peso (de dimensión finita) de G , entonces el espacio de mayor peso es un punto en el espacio proyectivo P( V ) y su órbita bajo la acción de G. es una variedad algebraica proyectiva . Esta variedad es una variedad bandera (generalizada) y, además, toda variedad bandera (generalizada) para G surge de esta manera.
Armand Borel demostró [ cita necesaria ] que esto caracteriza las variedades bandera de un grupo algebraico semisimple general G : son precisamente los espacios homogéneos completos de G , o equivalentemente (en este contexto), las variedades G homogéneas proyectivas .
Sea G un grupo de Lie semisimple con subgrupo compacto máximo K . Entonces K actúa transitivamente sobre cualquier clase de conjugación de subgrupos parabólicos y, por lo tanto, la variedad de bandera generalizada G / P es una variedad de Riemann homogénea compacta K / ( K ∩ P ) con grupo de isometría K. Además, si G es un grupo de Lie complejo, G / P es una variedad de Kähler homogénea .
Invirtiendo esto, los espacios homogéneos riemannianos
admitir un grupo de transformaciones de Lie estrictamente mayor, a saber, G . Especializándose en el caso de que M es un espacio simétrico , esta observación produce todos los espacios simétricos que admiten un grupo de simetría tan grande, y estos espacios han sido clasificados por Kobayashi y Nagano.
Si G es un grupo de Lie complejo, los espacios simétricos M que surgen de esta manera son los espacios simétricos hermitianos compactos : K es el grupo de isometría y G es el grupo de biholomorfismo de M.
Sobre los números reales, una variedad de bandera real también se llama espacio R, y los espacios R que son espacios simétricos de Riemann bajo K se conocen como espacios R simétricos. Los espacios R simétricos que no son simétricos hermitianos se obtienen tomando G como una forma real del grupo biholomorfismo G c de un espacio simétrico hermitiano G c / P c tal que P := P c ∩ G es un subgrupo parabólico de G. Los ejemplos incluyen espacios proyectivos (con G el grupo de transformaciones proyectivas ) y esferas (con G el grupo de transformaciones conformes ).
![{\displaystyle H^{*}{\big (}U(n)/T^{n}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},\ldots ,t_{n}]/ (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2d0836367cb61b9c72923023b03aafe4224973)
![{\displaystyle H^{*}{\big (}U(2)/T^{2}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},t_{2}]/(t_{ 1}+t_{2},t_{1}t_{2})\cong \mathbb {Q} [t_{1}]/(t_{1}^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3342f125f5b23da00db3dffa0c08272d4b82b2f)