Complejificación (grupo de mentiras)

Construcción universal de un grupo de Lie complejo a partir de un grupo de Lie real

En matemáticas , la complejización o complejización universal de un grupo de Lie real viene dada por un homomorfismo continuo del grupo en un grupo de Lie complejo con la propiedad universal de que cada homomorfismo continuo del grupo original en otro grupo de Lie complejo se extiende de manera compatible a un grupo analítico complejo . Homomorfismo entre los complejos grupos de Lie. La complejización, que siempre existe, es única hasta el isomorfismo único . Su álgebra de Lie es un cociente de la complejización del álgebra de Lie del grupo original. Son isomorfos si el grupo original tiene un cociente por un subgrupo normal discreto que es lineal.

Para los grupos de Lie compactos , la complejización, a veces llamada complejización de Chevalley en honor a Claude Chevalley , se puede definir como el grupo de caracteres complejos del álgebra de funciones representativas de Hopf , es decir, los coeficientes matriciales de representaciones de dimensión finita del grupo. En cualquier representación unitaria fiel de dimensión finita del grupo compacto, se puede realizar concretamente como un subgrupo cerrado del grupo lineal general complejo . Consiste en operadores con descomposición polar g = u • exp iX , donde u es un operador unitario en el grupo compacto y X es un operador adjunto sesgado en su álgebra de Lie. En este caso la complejización es un grupo algebraico complejo y su álgebra de Lie es la complejización del álgebra de Lie del grupo de Lie compacto.

Complejificación universal

Definición

Si G es un grupo de Lie, una complejización universal viene dada por un grupo de Lie complejo G _C y un homomorfismo continuo φ : G → G _C con la propiedad universal de que, si f : G → H es un homomorfismo continuo arbitrario en un Lie complejo grupo H , entonces hay un homomorfismo analítico complejo único F : G _C → H tal que f = F ∘ φ .

Las complejizaciones universales siempre existen y son únicas hasta un isomorfismo analítico complejo único (preservando la inclusión del grupo original).

Existencia

Si G es conexo con el álgebra de Lie 𝖌 , entonces su grupo de cobertura universal G es simplemente conexo. Sea G _C el grupo de Lie complejo simplemente conexo con álgebra de Lie 𝖌 _C = 𝖌 ⊗ C , sea Φ: G → G _C el homomorfismo natural (el morfismo único tal que Φ _* : 𝖌 ↪ 𝖌 ⊗ C es la inclusión canónica) y supongamos que π : G → G es el mapa de cobertura universal, de modo que ker π es el grupo fundamental de G . Tenemos la inclusión Φ(ker π ) ⊂ Z( G _C ) , que se deriva del hecho de que el núcleo de la representación adjunta de G _C es igual a su centro, combinado con la igualdad

${\displaystyle (C_{\Phi (k)})_{*}\circ \Phi _{*}=\Phi _{*}\circ (C_{k})_{*}=\Phi _{*}}$

lo cual es válido para cualquier k ∈ ker π . Denotando por Φ(ker π ) ^* el subgrupo de Lie normal cerrado más pequeño de G _C que contiene Φ(ker π ) , ahora también debemos tener la inclusión Φ(ker π ) ^* ⊂ Z( G _C ) . Definimos la complejización universal de G como

${\displaystyle G_{\mathbf {C} }={\frac {\mathbf {G} _{\mathbf {C} }}{\Phi (\ker \pi )^{*}}}.}$

En particular, si G es simplemente conexo, su complejización universal es simplemente G _C . ^[1]

El mapa φ : G → G _C se obtiene pasando al cociente. Dado que π es una inmersión sobreyectiva, la suavidad del mapa π _C ∘ Φ implica suavidad de φ .

Construcción del mapa de complejización.

Para grupos de Lie no conectados G con componente de identidad G ^o y grupo de componentes Γ = G / G ^o , la extensión

${\displaystyle \{1\}\rightarrow G^{o}\rightarrow G\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\}}$

induce una extensión

${\displaystyle \{1\}\rightarrow (G^{o})_{\mathbf {C} }\rightarrow G_{\mathbf {C} }\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\}}$

y el complejo grupo de Lie G _C es una complejización de G . ^[2]

Prueba de la propiedad universal

El mapa φ : G → G _C de hecho posee la propiedad universal que aparece en la definición anterior de complejización. La prueba de esta afirmación se desprende naturalmente de la consideración del siguiente diagrama instructivo.

Aquí hay un homomorfismo suave y arbitrario de grupos de Lie con un grupo de Lie complejo como codominio. ${\displaystyle f\colon G\rightarrow H}$

Existencia del mapa F

Por simplicidad, asumimos que está conectado. Para establecer la existencia de , primero extendemos naturalmente el morfismo de las álgebras de Lie al morfismo único de las álgebras de Lie complejas. Dado que es simplemente conexo, el segundo teorema fundamental de Lie ahora nos proporciona un morfismo analítico complejo único entre grupos de Lie complejos, tal que . Definimos como el mapa inducido por , es decir: para cualquiera . Para mostrar la buena definición de este mapa (es decir ), considere la derivada del mapa . Para cualquiera tenemos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f_{*}\colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\overline {f}}_{*}\colon {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }\rightarrow {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle {\overline {F}}\colon \mathbf {G} _{\mathbf {C} }\rightarrow H}$ ${\displaystyle ({\overline {F}})_{*}={\overline {f}}_{*}}$ ${\displaystyle F\colon G_{\mathbf {C} }\rightarrow H}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F(g\,\Phi (\ker \pi )^{*})={\overline {F}}(g)}$ ${\displaystyle g\in \mathbf {G} _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle \Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {F}}\circ \Phi }$ ${\displaystyle v\in T_{e}\mathbf {G} \cong {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle ({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v}$,

lo cual (por simple conexión de ) implica . Esta igualdad finalmente implica , y dado que es un subgrupo de Lie normal cerrado de , también tenemos . Como es una inmersión sobreyectiva analítica compleja, el mapa es analítico complejo como es. La ansiada igualdad es inminente. ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle {\overline {F}}\circ \Phi =f\circ \pi }$ ${\displaystyle \Phi (\ker \pi )\subset \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle \Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F\circ \varphi =f}$

Unicidad del mapa F

Para mostrar la unicidad de , supongamos que hay dos mapas con . Componiendo desde la derecha y diferenciando, obtenemos , y como es la inclusión , obtenemos . Pero es una inmersión, entonces , por lo tanto, la conexión de implica . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}\circ \varphi =F_{2}\circ \varphi =f}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}}$ ${\displaystyle \Phi _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle (F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle (F_{1})_{*}=(F_{2})_{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

Unicidad

La propiedad universal implica que la complejización universal es única hasta el isomorfismo analítico complejo.

Inyectividad

Si el grupo original es lineal, también lo es la complejización universal y el homomorfismo entre los dos es una inclusión. ^[3] Onishchik y Vinberg (1994) dan un ejemplo de un grupo de Lie real conectado para el cual el homomorfismo no es inyectivo incluso en el nivel de álgebra de Lie: toman el producto de T por el grupo de cobertura universal de SL(2, R ) y cociente por el subgrupo cíclico discreto generado por una rotación irracional en el primer factor y un generador del centro en el segundo.

Ejemplos básicos

Los siguientes isomorfismos de complejizaciones de grupos de Lie con grupos de Lie conocidos se pueden construir directamente a partir de la construcción general de la complejización.

• La complejización del grupo unitario especial de matrices 2x2 es

${\displaystyle \mathrm {SU} (2)_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$.

Esto se desprende del isomorfismo de las álgebras de Lie.

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$,

junto con el hecho de que está simplemente conectado. ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

• La complejización del grupo lineal especial de matrices 2x2 es

${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$.

Esto se desprende del isomorfismo de las álgebras de Lie.

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$,

junto con el hecho de que está simplemente conectado. ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$

• La complejización del grupo ortogonal especial de matrices 3x3 es

${\displaystyle \mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$,

donde denota el grupo de Lorentz ortocrónico adecuado . Esto se desprende del hecho de que es la cobertura universal (doble) de , por lo tanto: ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$.

También utilizamos el hecho de que es la cubierta universal (doble) de . ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$

• La complejización del grupo de Lorentz ortocrónico propio es

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}}$.

Esto se deriva del mismo isomorfismo de las álgebras de Lie que en el segundo ejemplo, utilizando nuevamente la cobertura universal (doble) del grupo de Lorentz ortocrónico adecuado.

• La complejización del grupo ortogonal especial de matrices 4x4 es

${\displaystyle \mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}}$.

Esto se desprende del hecho de que es la cobertura universal (doble) de , de ahí y de tal . ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (4)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$

Los dos últimos ejemplos muestran que los grupos de Lie con complejaciones isomórficas pueden no ser isomórficos. Además, las complejizaciones de los grupos de Lie y muestran que la complejización no es una operación idempotente, es decir (esto también se muestra mediante las complejizaciones de y ). ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle (G_{\mathbf {C} })_{\mathbf {C} }\not \cong G_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$

Complejificación de Chevalley

Álgebra de Hopf de coeficientes matriciales

Si G es un grupo de Lie compacto, el *-álgebra A de coeficientes matriciales de representaciones unitarias de dimensión finita es una *-subálgebra uniformemente densa de C ( G ) , el *-álgebra de funciones continuas de valores complejos en G . Naturalmente, es un álgebra de Hopf con comultiplicación dada por

${\displaystyle \displaystyle {\Delta f(g,h)=f(gh).}}$

Los caracteres de A son los *-homomorfismos de A en C. Se pueden identificar con las evaluaciones puntuales f ↦ f ( g ) para g en G y la comultiplicación permite recuperar la estructura de grupo en G. Los homomorfismos de A en C también forman un grupo. Es un grupo de Lie complejo y puede identificarse con la complejización G _C de G . El *-álgebra A se genera a partir de los coeficientes matriciales de cualquier representación fiel σ de G . De ello se deduce que σ define una representación analítica compleja fiel de G _C . ^[4]

teoría invariante

El enfoque original de Chevalley (1946) para la complejización de un grupo de Lie compacto puede expresarse de manera concisa dentro del lenguaje de la teoría invariante clásica , descrita en Weyl (1946). Sea G un subgrupo cerrado del grupo unitario U ( V ) donde V es un espacio producto interno complejo de dimensión finita. Su álgebra de Lie consta de todos los operadores adjuntos sesgados X tales que exp tX se encuentra en G para todo t real . Establezca W = V ⊕ C con la acción trivial de G en el segundo sumando. El grupo G actúa sobre W ^{⊗ N} , con un elemento u actuando como u ^{⊗ N} . El conmutante (o álgebra centralizadora) se denota por A _N = End _G W ^{⊗ N} . Se genera como un *-álgebra por sus operadores unitarios y su conmutante es el *-álgebra abarcada por los operadores u ^{⊗ N} . La complejización G _C de G consta de todos los operadores g en GL( V ) tales que g ^{⊗ N} conmuta con A _N y g actúa trivialmente sobre el segundo sumando en C . Por definición es un subgrupo cerrado de GL( V ) . Las relaciones definitorias (como conmutante) muestran que G es un subgrupo algebraico. Su intersección con U ( V ) coincide con G , ya que es a priori un grupo compacto más grande para el cual las representaciones irreducibles permanecen irreducibles y no equivalentes cuando se restringen a G . Dado que AN es generado por unitarios, un operador invertible g se encuentra en G _C si el operador unitario u y el operador positivo p en su descomposición polar g = u ⋅ p ambos _se encuentran en G _C . Por tanto, u se encuentra en G y el operador pse puede escribir de forma única como p = exp T con T un operador autoadjunto. Por el cálculo funcional para funciones polinómicas se deduce que h ^{⊗ N} se encuentra en el conmutante de A _N si h = exp z T con z en C . En particular, tomando z puramente imaginario, T debe tener la forma iX con X en el álgebra de Lie de G. Dado que cada representación de dimensión finita de G ocurre como una suma directa de W ^{⊗ N} , G _C la deja invariante y, por lo tanto, cada representación de dimensión finita de G se extiende únicamente a G _C . La extensión es compatible con la descomposición polar. Finalmente, la descomposición polar implica que G es un subgrupo compacto máximo de G _C , ya que un subgrupo compacto estrictamente más grande contendría todas las potencias enteras de un operador positivo p , un subgrupo discreto infinito cerrado. ^[5]

Descomposiciones en la complejización de Chevalley.

Descomposición de Cartan

La descomposición derivada de la descomposición polar.

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot P=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}},}}$

donde 𝖌 es el álgebra de Lie de G , se llama descomposición de Cartan de G _C . El factor exponencial P es invariante bajo conjugación por G pero no es un subgrupo. La complejización es invariante al tomar adjuntos, ya que G consta de operadores unitarios y P de operadores positivos.

Descomposición de Gauss

La descomposición de Gauss es una generalización de la descomposición LU para el grupo lineal general y una especialización de la descomposición de Bruhat . Para GL( V ) establece que con respecto a una base ortonormal dada e ₁ , ..., en _un elemento g de GL( V ) se puede factorizar en la forma

${\displaystyle \displaystyle {g=XDY}}$

con X unitario triangular inferior , Y unitario triangular superior y D diagonal si y solo si todos los menores principales de g no desaparecen. En este caso X , Y y D están determinados unívocamente.

De hecho, la eliminación gaussiana muestra que existe un X único tal que X ⁻¹ g es triangular superior. ^[6]

Las matrices unitarias superior e inferior, N ₊ y N ₋ , son subgrupos unipotentes cerrados de GL( V ). Sus álgebras de Lie constan de matrices estrictamente triangulares superiores e inferiores. El mapeo exponencial es un mapeo polinomial del álgebra de Lie al subgrupo correspondiente por nilpotencia. La inversa viene dada por la aplicación logarítmica que, por unipotencia, también es una aplicación polinómica. En particular, existe una correspondencia entre subgrupos cerrados conectados de N _± y subálgebras de sus álgebras de Lie. El mapa exponencial es correcto en cada caso, ya que la función polinómica log ( e ^A e ^B ) se encuentra en una subálgebra de Lie dada si A y B lo hacen y son suficientemente pequeños. ^[7]

La descomposición de Gauss se puede extender a complejizaciones de otros subgrupos conectados cerrados G de U ( V ) utilizando la descomposición de raíces para escribir el álgebra de Lie complejizada como ^[8]

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }={\mathfrak {n}}_{-}\oplus {\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }\oplus {\mathfrak {n}}_{+},}}$

donde 𝖙 es el álgebra de Lie de un toro máximo T de G y 𝖓 _± son la suma directa de los correspondientes espacios de raíces positivas y negativas. En la descomposición espacial de pesos de V como espacios propios de T , 𝖙 actúa como diagonal, 𝖓 ₊ actúa como operadores descendentes y 𝖓 ₋ como operadores ascendentes. 𝖓 _± son álgebras de Lie nilpotentes que actúan como operadores nilpotentes; son adjuntos de cada uno en V . En particular , T actúa por conjugación de 𝖓 ₊ , de modo que 𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊ es un producto semidirecto de un álgebra de Lie nilpotente por un álgebra de Lie abeliana.

Según el teorema de Engel , si 𝖆 ⊕ 𝖓 es un producto semidirecto, con 𝖆 abeliano y 𝖓 nilpotente, actuando sobre un espacio vectorial de dimensión finita W con operadores en 𝖆 diagonalizable y operadores en 𝖓 nilpotente, existe un vector w que es un vector propio para 𝖆 y es aniquilado por 𝖓 . De hecho, basta con demostrar que existe un vector aniquilado por 𝖓 , que se sigue por inducción en dim 𝖓 , ya que el álgebra derivada 𝖓' aniquila un subespacio distinto de cero de vectores sobre el cual 𝖓 / 𝖓' y 𝖆 actúan con las mismas hipótesis .

Aplicando este argumento repetidamente a 𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊ se muestra que existe una base ortonormal e ₁ , ..., e _n de V que consta de vectores propios de 𝖙 _C con 𝖓 ₊ que actúan como matrices triangulares superiores con ceros en la diagonal.

Si N _± y T _C son los grupos de Lie complejos correspondientes a 𝖓 ₊ y 𝖙 _C , entonces la descomposición de Gauss establece que el subconjunto

${\displaystyle \displaystyle {N_{-}T_{\mathbf {C} }N_{+}}}$

es un producto directo y consta de los elementos de G _C cuyos principales menores no desaparecen. Es abierto y denso. Además, si T denota el toro máximo en U( V ) ,

${\displaystyle \displaystyle {N_{\pm }=\mathbf {N} _{\pm }\cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,T_{\mathbf {C} }=\mathbf {T} _{\mathbf {C} }\cap G_{\mathbf {C} }.}}$

Estos resultados son una consecuencia inmediata de los resultados correspondientes para GL( V ) . ^[9]

Descomposición de Bruhat

Si W = N _G ( T ) / T denota el grupo Weyl de T y B denota el subgrupo de Borel T _C N ₊ , la descomposición de Gauss también es consecuencia de la descomposición de Bruhat más precisa.

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=\bigcup _{\sigma \in W}B\sigma B,}}$

descomponiendo G _C en una unión disjunta de clases laterales dobles de B . La dimensión compleja de una doble clase lateral BσB está determinada por la longitud de σ como elemento de W. La dimensión se maximiza en el elemento Coxeter y proporciona una doble clase lateral densa, abierta y única. Su inversa conjuga B en el subgrupo Borel de matrices triangulares inferiores en G _C . ^[10]

La descomposición de Bruhat es fácil de demostrar para SL( n , C ) . ^[11] Sea B el subgrupo Borel de matrices triangulares superiores y T _C el subgrupo de matrices diagonales. Entonces N( T _C ) / T _C = S _n . Para g en SL( n , C ) , tome b en B para que bg maximice el número de ceros que aparecen al principio de sus filas. Debido a que un múltiplo de una fila se puede sumar a otra, cada fila tiene un número diferente de ceros. Multiplicando por una matriz w en N( T _C ) , se deduce que wbg se encuentra en B . Para la unicidad, si w ₁ b w ₂ = b ₀ , entonces las entradas de w ₁ w ₂ desaparecen debajo de la diagonal. Entonces el producto reside en T _C , demostrando su unicidad.

Chevalley (1955) demostró que la expresión de un elemento g como g = b ₁ σb ₂ se vuelve única si b ₁ se restringe a estar en el subgrupo unitario superior N _σ = N ₊ ∩ σ N ₋ σ ⁻¹ . De hecho, si M _σ = N ₊ ∩ σ N ₊ σ ⁻¹ , esto se sigue de la identidad

${\displaystyle \displaystyle {N_{+}=N_{\sigma }\cdot M_{\sigma }.}}$

El grupo N ₊ tiene una filtración natural por subgrupos normales N ₊ ( k ) con ceros en las primeras k − 1 superdiagonales y los cocientes sucesivos son abelianos. Definiendo N _σ ( k ) y M _σ ( k ) como las intersecciones con N ₊ ( k ) , se sigue por inducción decreciente en k que N ₊ ( k ) = N _σ ( k ) ⋅ M _σ ( k ) . De hecho, N _σ ( k ) N ₊ ( k + 1) y M _σ ( k ) N ₊ ( k + 1) se especifican en N ₊ ( k ) por la desaparición de entradas complementarias ( i , j ) en el k ésimo superdiagonal según si σ conserva el orden i < j o no. ^[12]

La descomposición de Bruhat para los otros grupos simples clásicos se puede deducir de la descomposición anterior utilizando el hecho de que son subgrupos de punto fijo de automorfismos de plegado de SL ( n , C ) . ^[13] Para Sp( n , C ) , sea J la matriz n × n con unos en la antidiagonal y ceros en otros lugares y establezca

${\displaystyle \displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}}$

Entonces Sp( n , C ) es el subgrupo de punto fijo de la involución θ ( g ) = A ( g ^t ) ⁻¹ A ⁻¹ de SL(2 n , C ) . Deja invariantes los subgrupos N _± , T _C y B. Si los elementos base están indexados por n , n −1, ..., 1, −1, ..., − n , entonces el grupo Weyl de Sp( n , C ) consiste en σ que satisface σ ( j ) = − j , es decir, conmutando con θ . Los análogos de B , T _C y N _± se definen por intersección con Sp( n , C ) , es decir, como puntos fijos de θ . La unicidad de la descomposición g = nσb = θ ( n ) θ ( σ ) θ ( b ) implica la descomposición de Bruhat para Sp( n , C ) .

El mismo argumento funciona para SO( n , C ) . Se puede realizar como los puntos fijos de ψ ( g ) = B ( g ^t ) ⁻¹ B ⁻¹ en SL( n , C ) donde B = J .

descomposición de Iwasawa

La descomposición de Iwasawa

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot A\cdot N}}$

da una descomposición para G _C para la cual, a diferencia de la descomposición de Cartan, el factor directo A ⋅ N es un subgrupo cerrado, pero ya no es invariante bajo conjugación por G . Es el producto semidirecto del subgrupo nilpotente N por el subgrupo abeliano A.

Para U( V ) y su complejización GL( V ) , esta descomposición se puede derivar como una reformulación del proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt . ^[14]

De hecho, sea e ₁ , ..., en _una base ortonormal de V y sea g un elemento en GL( V ) . Aplicando el proceso de Gram-Schmidt a ge ₁ , ..., gen , existe una base ortonormal única _f 1 _, ..., f _n y constantes positivas a _i tales que

${\displaystyle \displaystyle {f_{i}=a_{i}ge_{i}+\sum _{j<i}n_{ji}ge_{j}.}}$

Si k es el unitario tomando ( e _i ) a ( f _i ) , se deduce que g ⁻¹ k se encuentra en el subgrupo AN , donde A es el subgrupo de matrices diagonales positivas con respecto a ( e _i ) y N es el subgrupo de matrices unitarias superiores . ^[15]

Usando la notación para la descomposición de Gauss, los subgrupos en la descomposición de Iwasawa para G _C se definen por ^[16]

${\displaystyle \displaystyle {A=\exp i{\mathfrak {t}}=\mathbf {A} \cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,N=\exp {\mathfrak {n}}_{+}=\mathbf {N} \cap G_{\mathbf {C} }.}}$

Dado que la descomposición es directa para GL( V ) , basta comprobar que G _C = GAN . A partir de las propiedades de la descomposición de Iwasawa para GL( V ) , el mapa G × A × N es un difeomorfismo sobre su imagen en G _C , que es cerrada. Por otro lado, la dimensión de la imagen es la misma que la dimensión de G _C , por lo que también está abierta. Entonces G _C = GAN porque G _C está conexo. ^[17]

Zhelobenko (1973) ofrece un método para calcular explícitamente los elementos de la descomposición. ^[18] Para g en G _C establezca h = g * g . Este es un operador autoadjunto positivo por lo que sus menores principales no desaparecen. Por lo tanto, mediante la descomposición de Gauss, se puede escribir de forma única en la forma h = XDY con X en N ₋ , D en T _C e Y en N ₊ . Dado que h es autoadjunto, la unicidad obliga a Y = X * . Como también es positivo, D debe estar en A y tener la forma D = exp iT para algún T único en 𝖙 . Sea a = exp iT /2 su raíz cuadrada única en A . Establecer n = Y y k = g n ⁻¹ a ⁻¹ . Entonces k es unitario, también lo es en G , y g = kan .

Estructuras complejas en espacios homogéneos.

La descomposición de Iwasawa se puede utilizar para describir estructuras complejas en las órbitas G en un espacio proyectivo complejo de vectores de mayor peso de representaciones irreducibles de dimensión finita de G. En particular la identificación entre G / T y G _C / B puede utilizarse para formular el teorema de Borel-Weil . Afirma que cada representación irreducible de G puede obtenerse por inducción holomorfa a partir de un carácter de T , o equivalentemente que se realiza en el espacio de secciones de un haz de líneas holomorfas en G / T .

Los subgrupos cerrados y conectados de G que contienen T se describen mediante la teoría de Borel-de Siebenthal . Son exactamente los centralizadores de tori S ⊆ T . Dado que cada toro es generado topológicamente por un solo elemento x , estos son lo mismo que los centralizadores C _G ( X ) de los elementos X en 𝖙 . Por un resultado de Hopf, C _G ( x ) siempre está conectado: de hecho, cualquier elemento y está junto con S contenido en algún toro máximo, necesariamente contenido en C _G ( x ) .

Dada una representación irreducible de dimensión finita V _λ con el vector de peso más alto v de peso λ , el estabilizador de C v en G es un subgrupo cerrado H. Dado que v es un vector propio de T , H contiene T . La complexificación G _C también actúa sobre V y el estabilizador es un subgrupo complejo cerrado P que contiene T _C . Dado que v es aniquilado por cada operador creciente correspondiente a una raíz positiva α , P contiene el subgrupo B de Borel . El vector v también es un vector de mayor peso para la copia de sl ₂ correspondiente a α , por lo que es aniquilado por el operador reductor que genera 𝖌 _{− α} si ( λ , α ) = 0 . El álgebra de Lie p de P es la suma directa de 𝖙 _C y vectores espaciales raíces que aniquilan v , de modo que

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}\oplus \bigoplus _{(\alpha ,\lambda )=0}{\mathfrak {g}}_{-\alpha }.}}$

El álgebra de Lie de H = P ∩ G viene dada por p ∩ 𝖌 . Por la descomposición de Iwasawa G _C = GAN . Dado que AN fija C v , la órbita G de v en el espacio proyectivo complejo de V _λ coincide con la órbita G _C y

${\displaystyle \displaystyle {G/H=G_{\mathbf {C} }/P.}}$

En particular

${\displaystyle \displaystyle {G/T=G_{\mathbf {C} }/B.}}$

Utilizando la identificación del álgebra de Lie de T con su dual, H es igual al centralizador de λ en G y, por tanto, es conexo. El grupo P también está conexo. De hecho, el espacio G / H es simplemente conexo, ya que puede escribirse como el cociente del grupo de cobertura universal (compacto) del grupo compacto semisimple G / Z por un subgrupo conexo, donde Z es el centro de G. ^[19] Si P ^o es el componente identidad de P , G _C / P tiene G _C / P ^o como espacio de cobertura, de modo que P = P ^o . El espacio homogéneo G _C / P tiene una estructura compleja, porque P es un subgrupo complejo. La órbita en el espacio proyectivo complejo está cerrada en la topología de Zariski según el teorema de Chow , por lo que lo es una variedad proyectiva suave. El teorema de Borel-Weil y sus generalizaciones se analizan en este contexto en Serre (1954), Helgason (1994), Duistermaat & Kolk (2000) y Sepanski (2007).

El subgrupo parabólico P también se puede escribir como una unión de clases laterales dobles de B

${\displaystyle \displaystyle {P=\bigcup _{\sigma \in W_{\lambda }}B\sigma B,}}$

donde W _λ es el estabilizador de λ en el grupo Weyl W. Se genera por las reflexiones correspondientes a las raíces simples ortogonales a λ . ^[20]

Formas reales no compactas

Hay otros subgrupos cerrados de la complejización de un grupo de Lie G compacto y conectado que tienen el mismo álgebra de Lie complejizada. Estas son las otras formas reales de G _C. ^[21]

Involuciones de grupos de Lie compactos simplemente conectados

Si G es un grupo de Lie compacto simplemente conexo y σ es un automorfismo de orden 2, entonces el subgrupo de punto fijo K = G ^σ está automáticamente conexo . (De hecho, esto es cierto para cualquier automorfismo de G , como lo muestran Steinberg y, en general, Borel para ^los automorfismos internos ).

Esto se puede ver más directamente cuando la involución σ corresponde a un espacio simétrico hermitiano . En ese caso σ es interno y está implementado por un elemento en un subgrupo de un parámetro exp tT contenido en el centro de G ^σ . La interioridad de σ implica que K contiene un toro máximo de G , por lo que tiene rango máximo. Por otro lado, el centralizador del subgrupo generado por el toro S de elementos exp tT es conexo, ya que si x es cualquier elemento en K existe un toro máximo que contiene x y S , que se encuentra en el centralizador. Por otro lado, contiene K ya que S es central en K y está contenido en K ya que z se encuentra en S. Entonces K es el centralizador de S y, por tanto, conexo. En particular , K contiene el centro de G. ^[23]

Para una involución general σ, la conectividad de G ^σ se puede ver de la siguiente manera. ^[24]

El punto de partida es la versión abeliana del resultado: si T es un toro máximo de un grupo G simplemente conexo y σ es una involución que deja T invariante y una elección de raíces positivas (o equivalentemente una cámara de Weyl ), entonces el subgrupo de punto fijo T ^σ está conectado. De hecho, el núcleo del mapa exponencial de T es una red Λ con una base Z indexada por raíces simples, que σ permuta. Dividiendo según órbitas, T puede escribirse como un producto de términos T sobre los cuales σ actúa trivialmente o términos T ² donde σ intercambia los factores. El subgrupo de punto fijo corresponde exactamente a tomar los subgrupos diagonales en el segundo caso, por lo que es conexo. ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Ahora sea x cualquier elemento fijado por σ, sea S un toro máximo en C _G ( x ) ^σ y sea T la componente identidad de C _G ( x , S ). Entonces T es un toro máximo en G que contiene x y S. Es invariante bajo σ y el componente de identidad de T ^σ es S. De hecho, dado que x y S conmutan, están contenidos en un toro máximo que, por ser conexo, debe estar en T. Por construcción , T es invariante bajo σ. El componente identidad de T ^σ contiene S , se encuentra en C _G ( x ) ^σ y centraliza S , por lo que es igual a S . Pero S es central en T , para T debe ser abeliano y por tanto un toro máximo. Porque σ actúa como multiplicación por −1 en el álgebra de Lie , por lo que también es abeliano. ${\displaystyle {\mathfrak {t}}\ominus {\mathfrak {s}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

La prueba se completa demostrando que σ conserva una cámara de Weyl asociada a T. Entonces T ^σ es conexo, por lo que debe ser igual a S. Por tanto x está en S . Dado que x era arbitrario, G ^σ debe ser conexo.

Para producir una invariante de cámara de Weyl bajo σ, tenga en cuenta que no hay un espacio de raíces en el que x y S actúen trivialmente, ya que esto contradeciría el hecho de que C _G ( x , S ) tiene el mismo álgebra de Lie que T. Por tanto, debe haber un elemento s en S tal que t = xs actúe de forma no trivial en cada espacio raíz. En este caso t es un elemento regular de T : el componente identidad de su centralizador en G es igual a T. Hay un nicho de Weyl único A tal que t se encuentra en exp A y 0 se encuentra en el cierre de A. Dado que t está fijado por σ, el nicho queda invariante por σ y, por lo tanto, también lo es la cámara de Weyl C que lo contiene. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Conjugaciones sobre la complexificación

Sea G un grupo de Lie compacto simplemente conexo con complexificación G _C . El mapa c ( g ) = ( g *) ⁻¹ define un automorfismo de G _C como un grupo de Lie real con G como subgrupo de punto fijo. Es lineal conjugado y satisface c ² = id. Estos automorfismos de G _C o se denominan conjugaciones . Dado que G _C también es simplemente conexo, cualquier conjugación c ₁ corresponde a un automorfismo único c ₁ de G _C . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$

La clasificación de conjugaciones c ₀ se reduce a la de involuciones σ de G porque dado a c ₁ existe un automorfismo φ del grupo complejo G _C tal que

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}=\varphi \circ c_{1}\circ \varphi ^{-1}}}$

viaja con c . La conjugación c ₀ entonces deja G invariante y se restringe a un automorfismo involutivo σ. Por conectividad simple ocurre lo mismo en el nivel de álgebras de Lie. En el nivel de álgebra de Lie, c ₀ se puede recuperar de σ mediante la fórmula

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}(X+iY)=\sigma (X)-i\sigma (Y)}}$

para X , Y en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para probar la existencia de φ sea ψ = c ₁ c un automorfismo del grupo complejo G _C . En el nivel de álgebra de Lie, define un operador autoadjunto para el producto interno complejo.

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)=-B(X,c(Y)),}}$

donde B es la forma de matar en . Por tanto, ψ ² es un operador positivo y un automorfismo junto con todas sus potencias reales. en particular tomar ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }}$

${\displaystyle \displaystyle {\varphi =(\psi ^{2})^{1/4}}}$

Satisface

${\displaystyle \displaystyle {c_{0}c=\varphi c_{1}\varphi ^{-1}c=\varphi cc_{1}\varphi =(\psi ^{2})^{1/2}\psi ^{-1}=\varphi ^{-1}cc_{1}\varphi ^{-1}=c\varphi c_{1}\varphi ^{-1}=cc_{0}.}}$

Descomposición de Cartan en forma real.

Para la complejización G _C , la descomposición de Cartan se describe arriba. Derivado de la descomposición polar en el grupo lineal general complejo , da un difeomorfismo

${\displaystyle \displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}}=G\cdot P=P\cdot G.}}$

En G _C hay un operador de conjugación c correspondiente a G así como una involución σ que conmuta con c . Sea c ₀ = c σ y sea G ₀ el subgrupo de punto fijo de c . Está cerrado en el grupo matricial G _C y por tanto es un grupo de Lie. La involución σ actúa tanto sobre G como sobre G ₀ . Para el álgebra de Lie de G existe una descomposición

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

en los espacios propios +1 y −1 de σ. El subgrupo de punto fijo K de σ en G es conexo ya que G es simplemente conexo. Su álgebra de Lie es el espacio propio +1 . El álgebra de Lie de G ₀ viene dada por ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}}$

y el subgrupo de punto fijo de σ es nuevamente K , de modo que G ∩ G ₀ = K . En G ₀ , hay una descomposición de Cartan

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=K\cdot \exp i{\mathfrak {p}}=K\cdot P_{0}=P_{0}\cdot K}}$

que es nuevamente un difeomorfismo directo y corresponde a la descomposición polar de matrices. Es la restricción de la descomposición en G _C . El producto da un difeomorfismo en un subconjunto cerrado de G ₀ . Para comprobar que es sobreyectivo, para g en G ₀ escribe g = u ⋅ p con u en G y p en P . Dado que c ₀ g = g , la unicidad implica que σ u = u y σ p = p ⁻¹ . Por tanto, u se encuentra en K y p en P ₀ .

La descomposición de Cartan en G ₀ muestra que G ₀ es conexo, simplemente conexo y no compacto, debido al factor directo P ₀ . Por tanto, G ₀ es un grupo de Lie semisimple real no compacto. ^[25]

Además, dada una subálgebra abeliana máxima en , A = exp es un subgrupo toral tal que σ( a ) = a ⁻¹ en A ; y dos de ellos están conjugados por un elemento de K . Las propiedades de A se pueden mostrar directamente. A está cerrado porque el cierre de A es un subgrupo toral que satisface σ( a ) = a ⁻¹ , por lo que su álgebra de Lie se encuentra en la maximalidad y, por tanto, es igual a ella. A puede generarse topológicamente mediante un solo elemento exp X , al igual que el centralizador de X in . En la órbita K de cualquier elemento de hay un elemento Y tal que (X,Ad k Y) se minimiza en k = 1. Si establece k = exp tT con T in , se deduce que ( X ,[ T , Y ] ) = 0 y por tanto [ X , Y ] = 0, por lo que Y debe estar en . Así es la unión de los conjugados de . En particular, algún conjugado de X reside en cualquier otra elección de , que centralice ese conjugado; entonces, por maximalidad, las únicas posibilidades son los conjugados de . ^[26] ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Afirmaciones similares se aplican a la acción de K on in . Además, de la descomposición de Cartan para G ₀ , si A ₀ = exp , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=i{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$

${\displaystyle \displaystyle {G_{0}=KA_{0}K.}}$

Descomposición de Iwasawa en forma real.

Ver también

• Forma real (teoría de la mentira)

Notas

1. Ver:
   • Hochschild 1965
   • Bourbaki 1981, págs. 212-214
2. Bourbaki 1981, págs. 210-214
3. Hochschild 1966
4. Ver:
   • Hochschild 1965
   • Chevalley 1946
   • Brocker y tom Dieck 1985
5. Ver:
   • Chevalley 1946
   • Weil 1946
6. Zhelobenko 1973, pag. 28
7. Golpe 2004, págs. 202-203
8. Ver:
   • Golpe 2004
   • Zhelobenko 1973
9. Zhelobenko 1973
10. Ver:
    • Gelfand & Naimark 1950, sección 18, para SL( n , C )
    • Bruhat 1956, pág. 187 para SO( n , C ) y Sp( n , C )
    • Chevalley 1955 para la complejización de grupos de Lie compactos simples
    • Helgason 1978, págs. 403–406 para el método de Harish-Chandra
    • Humphreys 1981 para un tratamiento que utiliza grupos algebraicos
    • Carter 1972, Capítulo 8
    • Dieudonné 1977, págs. 216-217
    • Golpe 2004, págs. 205-211
11. Steinberg 1974, pag. 73
12. Chevalley 1955, pag. 41
13. Ver:
    • Steinberg 1974, págs. 73–74
    • Bourbaki 1981a, págs. 53-54
14. Sepanski 2007, pag. 8
15. Knapp 2001, pag. 117
16. Ver:
    • Zhelobenko 1973, págs. 288-290
    • Dieudonné 1977, págs. 197-207
    • Helgason 1978, págs. 257-262
    • Golpe 2004, págs. 197-204
17. Golpe 2004, págs. 203-204
18. Zhelobenko 1973, pag. 289
19. Helgason 1978
20. Ver:
    • Humphreys 1981
    • Bourbaki 1981a
21. Dieudonné 1977, págs. 164-173
22. Ver:
    • Helgason 1978, págs. 320–321
    • Bourbaki 1982, págs. 46-48
    • Duistermaat y Kolk 2000, págs. 194-195
    • Dieudonné 1977, pág. 151, Ejercicio 11
23. Lobo 2010
24. Ver: Bourbaki 1982, págs. 46–48
25. Dieudonné 1977, págs. 166-168
26. Helgason 1978, pag. 248

Referencias

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