En matemáticas, la descomposición de Bruhat (introducida por François Bruhat para los grupos clásicos y por Claude Chevalley en general) G = BWB de ciertos grupos algebraicos G en celdas puede considerarse como una expresión general del principio de eliminación de Gauss-Jordan , que escribe genéricamente una matriz como producto de una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior, pero con casos excepcionales. Está relacionado con la descomposición celular de Schubert de las variedades de banderas: consulte el grupo Weyl para esto.
De manera más general, cualquier grupo con un par ( B , N ) tiene una descomposición de Bruhat.
La descomposición de Bruhat de G es la descomposición
de G como una unión disjunta de clases laterales dobles de B parametrizadas por los elementos del grupo de Weyl W. (Obsérvese que aunque W no es en general un subgrupo de G , la clase lateral wB todavía está bien definida porque el toro máximo está contenido en B ).
Sea G el grupo lineal general GL n de matrices invertibles con entradas en algún campo algebraicamente cerrado, que es un grupo reductivo . Entonces el grupo de Weyl W es isomorfo al grupo simétrico S n en n letras, con matrices de permutación como representantes. En este caso, podemos tomar B como el subgrupo de matrices invertibles triangulares superiores, por lo que la descomposición de Bruhat dice que se puede escribir cualquier matriz invertible A como un producto U 1 PU 2 donde U 1 y U 2 son triangulares superiores, y P es una matriz de permutación. Escribiendo esto como P = U 1 −1 AU 2 −1 , esto dice que cualquier matriz invertible se puede transformar en una matriz de permutación mediante una serie de operaciones de fila y columna, donde solo podemos sumar la fila i (resp. columna i ) a la fila j (resp. columna j ) si i > j (resp. i < j ). Las operaciones de fila corresponden a U 1 −1 y las operaciones de columna corresponden a U 2 −1 .
El grupo lineal especial SL n de matrices invertibles con determinante 1 es un grupo semisimple y, por tanto, reductivo. En este caso, W sigue siendo isomorfo al grupo simétrico S n . Sin embargo, el determinante de una matriz de permutación es el signo de la permutación, por lo que para representar una permutación impar en SL n , podemos tomar uno de los elementos distintos de cero como −1 en lugar de 1. Aquí B es el subgrupo de matrices triangulares superiores. con determinante 1, por lo que la interpretación de la descomposición de Bruhat en este caso es similar al caso de GL n .
Las celdas de la descomposición de Bruhat corresponden a la descomposición de células de Schubert de las variedades bandera. El tamaño de las celdas corresponde a la longitud de la palabra w en el grupo Weyl. La dualidad de Poincaré limita la topología de la descomposición celular y, por tanto, el álgebra del grupo de Weyl; por ejemplo, la celda de dimensión superior es única (representa la clase fundamental ) y corresponde al elemento más largo de un grupo de Coxeter .
El número de celdas en una dimensión dada de la descomposición de Bruhat son los coeficientes del polinomio q [1] del diagrama de Dynkin asociado .
Con dos subgrupos de Borel opuestos, se pueden cruzar las células de Bruhat para cada uno de ellos, dando una descomposición adicional.
