En geometría algebraica , una variedad de Schubert es una cierta subvariedad de un Grassmanniano , de subespacios -dimensionales de un espacio vectorial , generalmente con puntos singulares . Al igual que el Grassmanniano, es una especie de espacio de módulos , cuyos elementos satisfacen condiciones que dan límites inferiores a las dimensiones de las intersecciones de sus elementos , con los elementos de una bandera completa especificada. Aquí puede haber un espacio vectorial sobre un campo arbitrario, pero lo más común es que se trate de números reales o complejos .
Un ejemplo típico es el conjunto de subespacios de dimensiones de un espacio de 4 dimensiones que se cruzan con un subespacio de 2 dimensiones fijo (de referencia) de forma no trivial.
Sobre el campo de números reales , esto se puede representar en el espacio xyz habitual de la siguiente manera. Reemplazando subespacios con sus correspondientes espacios proyectivos y intersecándolos con un parche de coordenadas afines de , obtenemos un subconjunto abierto X ° ⊂ X . Esto es isomorfo al conjunto de todas las líneas L (no necesariamente que pasan por el origen) que cruzan el eje x . Cada una de estas líneas L corresponde a un punto de X °, y mover L continuamente en el espacio (mientras mantiene contacto con el eje x ) corresponde a una curva en X °. Dado que hay tres grados de libertad al mover L (mover el punto en el eje x , rotar e inclinar), X es una variedad algebraica real tridimensional . Sin embargo, cuando L es igual al eje x , se puede rotar o inclinar alrededor de cualquier punto del eje, y este exceso de movimientos posibles convierte a L en un punto singular de X.
De manera más general, una variedad de Schubert se define especificando la dimensión mínima de intersección de un subespacio dimensional con cada uno de los espacios en una bandera completa de referencia fija , donde . (En el ejemplo anterior, esto significaría requerir ciertas intersecciones de la línea L con el eje x y el plano xy ).
En una generalidad aún mayor, dado un grupo algebraico semisimple con un subgrupo de Borel y un subgrupo parabólico estándar , se sabe que el espacio homogéneo , que es un ejemplo de una variedad de bandera , consta de un número finito de órbitas, que pueden estar parametrizadas por ciertos elementos del grupo Weyl . Se denota el cierre de la órbita asociada a un elemento y se denomina variedad Schubert . El caso clásico corresponde al subgrupo parabólico máximo de , por lo que es el Grassmanniano de planos en .
Las variedades de Schubert forman una de las clases más importantes y mejor estudiadas de variedades algebraicas singulares . Una cierta medida de singularidad de las variedades de Schubert la proporcionan los polinomios de Kazhdan-Lusztig , que codifican su cohomología de intersección local de Goresky-MacPherson .
Las álgebras de funciones regulares basadas en variedades de Schubert tienen una profunda importancia en la combinatoria algebraica y son ejemplos de álgebras con una ley de enderezamiento . La (co)homología del Grassmanniano, y más generalmente, de las variedades de bandera más generales, tiene una base que consiste en las clases de (co)homología de las variedades de Schubert, o ciclos de Schubert . El estudio de la teoría de la intersección en el Grassmanniano fue iniciado por Hermann Schubert y continuado por Zeuthen en el siglo XIX bajo el título de geometría enumerativa . David Hilbert consideró que esta área era lo suficientemente importante como para incluirla como el decimoquinto de sus célebres 23 problemas . El estudio continuó en el siglo XX como parte del desarrollo general de la topología algebraica y la teoría de la representación , pero se aceleró en la década de 1990 a partir del trabajo de William Fulton sobre los lugares de degeneración y los polinomios de Schubert , siguiendo investigaciones anteriores de Bernstein – Gelfand – Gelfand y Demazure en teoría de la representación en los años 1970, Lascoux y Schützenberger en combinatoria en los años 1980, y Fulton y MacPherson en teoría de intersección de variedades algebraicas singulares, también en los años 1980.
