Resolución de Bott-Samelson

En geometría algebraica , la resolución de Bott-Samelson de una variedad de Schubert es una resolución de singularidades . Fue introducida por Bott y Samelson (1958) en el contexto de los grupos de Lie compactos . ^[1] La formulación algebraica se debe independientemente a Hansen (1973) y Demazure (1974).

Definición

Sea G un grupo algebraico complejo reductivo conexo , B un subgrupo de Borel y T un toro maximalista contenido en B.

Sea cualquier w que pueda escribirse como un producto de reflexiones por raíces simples. Corrija al mínimo una expresión de este tipo: ${\displaystyle w\in W=N_{G}(T)/T.}$

${\displaystyle {\underline {w}}=(s_{i_{1}},s_{i_{2}},\ldots ,s_{i_{\ell }})}$

de manera que . ( ℓ es la longitud de w .) Sea el subgrupo generado por B y un representante de . Sea el cociente: ${\displaystyle w=s_{i_{1}}s_{i_{2}}\cdots s_{i_{\ell }}}$ ${\displaystyle P_{i_{j}}\subset G}$ ${\displaystyle s_{i_{j}}}$ ${\displaystyle Z_{\underline {w}}}$

${\displaystyle Z_{\underline {w}}=P_{i_{1}}\times \cdots \times P_{i_{\ell }}/B^{\ell }}$

con respecto a la acción de por ${\displaystyle B^{\ell }}$

${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{\ell })\cdot (p_{1},\ldots ,p_{\ell })=(p_{1}b_{1}^{-1},b_{1}p_{2}b_{2}^{-1},\ldots ,b_{\ell -1}p_{\ell }b_{\ell }^{-1}).}$

Es una variedad proyectiva suave . Escribiendo para la variedad de Schubert para w , el mapa de multiplicación ${\displaystyle X_{w}={\overline {BwB}}/B=(P_{i_{1}}\cdots P_{i_{\ell }})/B}$

${\displaystyle \pi :Z_{\underline {w}}\to X_{w}}$

es una resolución de singularidades llamada resolución Bott-Samelson. tiene la propiedad: y En otras palabras, tiene singularidades racionales . ^[2] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi _{*}{\mathcal {O}}_{Z_{\underline {w}}}={\mathcal {O}}_{X_{w}}}$ ${\displaystyle R^{i}\pi _{*}{\mathcal {O}}_{Z_{\underline {w}}}=0,\,i\geq 1.}$ ${\displaystyle X_{w}}$

Existen también otras construcciones; véase, por ejemplo, Vakil (2006).

Notas

1. Gorodski y Thorbergsson (2002).
2. Brion (2005, Teorema 2.2.3.)

Referencias

• Bott, Raoul ; Samelson, Hans (1958), "Aplicaciones de la teoría de Morse a espacios simétricos", American Journal of Mathematics , 80 : 964–1029, doi :10.2307/2372843, MR  0105694.
• Brion, Michel (2005), "Conferencias sobre la geometría de variedades de banderas", Temas de estudios cohomológicos de variedades algebraicas , Trends Math., Birkhäuser, Basilea, págs. 33–85, arXiv : math/0410240 , doi :10.1007/3-7643-7342-3_2, MR  2143072.
• Demazure, Michel (1974), "Désingularisation des variétés de Schubert généralisées", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (en francés), 7 : 53–88, SEÑOR  0354697.
• Gorodski, Claudio; Thorbergsson, Gudlaugur (2002), "Ciclos de tipo Bott-Samelson para representaciones tensas", Annals of Global Analysis and Geometry , 21 (3): 287–302, arXiv : math/0101209 , doi :10.1023/A:1014911422026, MR  1896478.
• Hansen, HC (1973), "Sobre ciclos en variedades de banderas", Mathematica Scandinavica , 33 : 269–274 (1974), doi : 10.7146/math.scand.a-11489 , MR  0376703.
• Vakil, Ravi (2006), "Una regla geométrica de Littlewood-Richardson", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 164 (2): 371–421, arXiv : math.AG/0302294 , doi :10.4007/annals.2006.164.371, MR  2247964.