Descomposición de Bruhat

En matemáticas, la descomposición en celdas de Bruhat (introducida por François Bruhat para los grupos clásicos y por Claude Chevalley en general) de ciertos grupos algebraicos puede considerarse como una expresión general del principio de eliminación de Gauss-Jordan , que escribe genéricamente una matriz como un producto de matrices triangulares superiores e inferiores, pero con casos excepcionales. Está relacionada con la descomposición en celdas de Schubert de variedades bandera: véase el grupo de Weyl para esto. ${\displaystyle G=BWB}$ ${\displaystyle G=BWB}$

De manera más general, cualquier grupo con un par ( B , N ) tiene una descomposición de Bruhat.

Definiciones

• ${\displaystyle G}$es un grupo algebraico reductivo y conexo sobre un campo algebraicamente cerrado .
• ${\displaystyle B}$es un subgrupo de Borel de ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle W}$es un grupo de Weyl de correspondiente a un toro máximo de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$

La descomposición de Bruhat es la descomposición ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=BWB=\bigsqcup _{w\in W}BwB}$

de como una unión disjunta de clases laterales dobles de parametrizadas por los elementos del grupo de Weyl . (Tenga en cuenta que aunque no es en general un subgrupo de , la clase lateral todavía está bien definida porque el toro máximo está contenido en ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle wB}$ ${\displaystyle B}$

Ejemplos

Sea el grupo lineal general GL _n de matrices invertibles con entradas en algún cuerpo algebraicamente cerrado, que es un grupo reductivo . Entonces el grupo de Weyl es isomorfo al grupo simétrico en letras, con matrices de permutación como representantes. En este caso, podemos tomar como el subgrupo de matrices invertibles triangulares superiores, por lo que la descomposición de Bruhat dice que uno puede escribir cualquier matriz invertible como un producto donde y son triangulares superiores, y es una matriz de permutación. Escribiendo esto como , esto dice que cualquier matriz invertible puede transformarse en una matriz de permutación a través de una serie de operaciones de fila y columna, donde solo se nos permite sumar fila (resp. columna ) a fila (resp. columna ) si (resp. ). Las operaciones de fila corresponden a , y las operaciones de columna corresponden a . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U_{1}PU_{2}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P=U_{1}^{-1}AU_{2}^{-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i>j}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle U_{1}^{-1}}$ ${\displaystyle U_{2}^{-1}}$

El grupo lineal especial SL _n de matrices invertibles con determinante es un grupo semisimple y, por lo tanto, reductivo. En este caso, sigue siendo isomorfo al grupo simétrico . Sin embargo, el determinante de una matriz de permutación es el signo de la permutación, por lo que para representar una permutación impar en SL _n , podemos tomar uno de los elementos distintos de cero como en lugar de . Aquí está el subgrupo de matrices triangulares superiores con determinante , por lo que la interpretación de la descomposición de Bruhat en este caso es similar al caso de GL _n . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 1}$

Geometría

Las celdas de la descomposición de Bruhat corresponden a la descomposición de celdas de Schubert de variedades de banderas. La dimensión de las celdas corresponde a la longitud de la palabra en el grupo de Weyl. La dualidad de Poincaré restringe la topología de la descomposición de celdas y, por lo tanto, el álgebra del grupo de Weyl; por ejemplo, la celda de dimensión superior es única (representa la clase fundamental ) y corresponde al elemento más largo de un grupo de Coxeter . ${\displaystyle w}$

Cálculos

El número de celdas en una dimensión dada de la descomposición de Bruhat son los coeficientes del polinomio ^[1] del diagrama de Dynkin asociado . ${\displaystyle q}$

Celdas dobles de Bruhat

Con dos subgrupos de Borel opuestos, se pueden intersecar las celdas de Bruhat para cada uno de ellos, lo que da una descomposición adicional. $${\displaystyle G=\bigsqcup _{w_{1},w_{2}\in W}(Bw_{1}B\cap B_{-}w_{2}B_{-}).}$$

Véase también

• Descomposiciones del grupo de Lie
• Factorización de Birkhoff , un caso especial de la descomposición de Bruhat para grupos afines.
• Álgebra de grupos

Notas

1. Hallazgos de esta semana en Física Matemática, semana 186

Referencias

• Borel, Armand . Grupos algebraicos lineales (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag, 1991. ISBN  0-387-97370-2 .
• Bourbaki, Nicolas , Grupos de Lie y álgebras de Lie: capítulos 4-6 (Elementos de matemáticas) , Springer-Verlag, 2008. ISBN 3-540-42650-7