En matemáticas, la factorización de Birkhoff o descomposición de Birkhoff , introducida por George David Birkhoff (1909), es la factorización de una matriz invertible M con coeficientes que son polinomios de Laurent en z en un producto M = M + M 0 M − , donde M + tiene entradas que son polinomios en z , M 0 es diagonal y M − tiene entradas que son polinomios en z −1 . Existen varias variaciones en las que el grupo lineal general se reemplaza por algún otro grupo algebraico reductivo, debido a Alexander Grothendieck (1957).
La factorización de Birkhoff implica el teorema de Birkhoff-Grothendieck de Grothendieck (1957) de que los haces de vectores sobre la línea proyectiva son sumas de haces de líneas .
La factorización de Birkhoff se deriva de la descomposición de Bruhat para grupos Kac-Moody afines (o grupos de bucles ) y, a la inversa, la descomposición de Bruhat para el grupo lineal general afín se deriva de la factorización de Birkhoff junto con la descomposición de Bruhat para el grupo lineal general ordinario.