Polinomio de Laurent

Polynomial with finitely many terms of the form axⁿ where n ∈ Z

En matemáticas , un polinomio de Laurent (llamado así por Pierre Alphonse Laurent ) en una variable sobre un cuerpo es una combinación lineal de potencias positivas y negativas de la variable con coeficientes en . Los polinomios de Laurent en forman un anillo denotado . ^[1] Se diferencian de los polinomios ordinarios en que pueden tener términos de grado negativo. La construcción de polinomios de Laurent puede iterarse, lo que lleva al anillo de polinomios de Laurent en varias variables. Los polinomios de Laurent son de particular importancia en el estudio de variables complejas . ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} [X,X^{-1}]}$

Definición

Un polinomio de Laurent con coeficientes en un campo es una expresión de la forma ${\displaystyle \mathbb {F} }$

${\displaystyle p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} }$

donde es una variable formal, el índice de suma es un entero (no necesariamente positivo) y solo un número finito de coeficientes son distintos de cero. Dos polinomios de Laurent son iguales si sus coeficientes son iguales. Tales expresiones se pueden sumar, multiplicar y devolver a la misma forma mediante la reducción de términos similares. Las fórmulas para la suma y la multiplicación son exactamente las mismas que para los polinomios ordinarios, con la única diferencia de que pueden estar presentes tanto potencias positivas como negativas de : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}+{\bigg (}\sum _{i}b_{i}X^{i}{\bigg )}=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

y

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\sum _{j}b_{j}X^{j}{\bigg )}=\sum _{k}{\Bigg (}\sum _{i,j \atop i+j=k}a_{i}b_{j}{\Bigg )}X^{k}.}$

Dado que solo hay un número finito de coeficientes y no son cero, todas las sumas, en efecto, tienen solo un número finito de términos y, por lo tanto, representan polinomios de Laurent. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{j}}$

Propiedades

• Un polinomio de Laurent puede verse como una serie de Laurent en la que solo un número finito de coeficientes son distintos de cero. ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• El anillo de polinomios de Laurent es una extensión del anillo de polinomios obtenido por "inversión ". Más rigurosamente, es la localización del anillo de polinomios en el conjunto multiplicativo formado por las potencias no negativas de . Muchas propiedades del anillo de polinomios de Laurent se desprenden de las propiedades generales de localización. ${\displaystyle R\left[X,X^{-1}\right]}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• El anillo de polinomios de Laurent es un subanillo de las funciones racionales .
• El anillo de polinomios de Laurent sobre un cuerpo es noetheriano (pero no artiniano ).
• Si es un dominio integral , las unidades del anillo de polinomios de Laurent tienen la forma , donde es una unidad de y es un entero. En particular, si es un cuerpo, entonces las unidades de tienen la forma , donde es un elemento distinto de cero de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\left[X,X^{-1}\right]}$ ${\displaystyle uX^{k}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[X,X^{-1}]}$ ${\displaystyle aX^{k}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K}$
• El anillo de polinomios de Laurent es isomorfo al anillo de grupo del grupo de números enteros sobre . De manera más general, el anillo de polinomios de Laurent en variables es isomorfo al anillo de grupo del grupo abeliano libre de rango . De ello se deduce que el anillo de polinomios de Laurent puede estar dotado de una estructura de álgebra de Hopf conmutativa y co-conmutativa . ${\displaystyle R[X,X^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Polinomio de Jones

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra, Textos de posgrado en matemáticas, 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR 1878556

1. Weisstein, Eric W. "Polinomio de Laurent". MundoMatemático .